第三章 機械能
一、主要內(nèi)容
本章內(nèi)容包括功、功率、動能、勢能(包括重力勢能和彈性勢能)等基本概念，以動能定理、重力做功的特點、重力做功與重力勢能變化的關(guān)系及機械能守恒定律等基本規(guī)律。其中對于功的計算、功率的理解、做功與物體能量變化關(guān)系的理解及機械能守恒定律的適用條件是本章的重點內(nèi)容。
二、基本方法
本章中所涉及到的基本方法有：用矢量分解的方法處理恒力功的計算，這里既可以將力矢量沿平行于物體位移方向和垂直于物體位移方向進行分解，也可以將物體的位移沿平行于力的方向和垂直于力的方向進行分解，從而確定出恒力對物體的作用效果;對于重力勢能這種相對物理量，可以通過巧妙的選取零勢能面的方法，從而使有關(guān)重力勢能的計算得以簡化。
三、錯解分析
在本章知識應(yīng)用的過程中，初學者常犯的錯誤主要表現(xiàn)在：“先入為主”導致解決問題的思路過于僵化，如在計算功的問題中，一些學生一看到要計算功，就只想到W= Fscosθ，而不能將思路打開，從W=Pt和W=ΔEt等多條思路進行考慮;不注意物理規(guī)律的適用條件，導致亂套機械能守恒定律。
例1 如圖3-1，小物塊位于光滑斜面上，斜面位于光滑水平地面上，在小物塊沿斜面下滑的過程中，斜面對小物塊的作用力 [ ]
A.垂直于接觸面，做功為零
B.垂直于接觸面，做功不為零
C.不垂直于接觸面，做功為零
D.不垂直于接觸面，做功不為零
「錯解」斜面對小物塊的作用力是支持力，應(yīng)與斜面垂直，因為支持力總與接觸面垂直，所以支持力不做功。故A選項正確。
「錯解原因」斜面固定時，物體沿斜面下滑時，支持力做功為零。受此題影響，有些人不加思索選A.這反映出對力做功的本質(zhì)不太理解，沒有從求功的根本方法來思考，是形成錯解的原因。
「分析解答」根據(jù)功的定義W=F.scosθ為了求斜面對小物塊的支持力所做的功，應(yīng)找到小物塊的位移。由于地面光滑，物塊與斜面體構(gòu)成的系統(tǒng)在水平方向不受外力，在水平方向系統(tǒng)動量守恒。初狀態(tài)系統(tǒng)水平方向動量為零，當物塊有水平向左的動量時，斜面體必有水平向右的動量。由于m
「評析」求解功的問題一般來說有兩條思路。一是可以從定義出發(fā)。二是可以用功能關(guān)系。如本題物塊從斜面上滑下來時，減少的重力勢能轉(zhuǎn)化為物塊的動能和斜面的動能，物塊的機械能減少了，說明有外力對它做功。所以支持力做功。
例2 以20m/s的初速度，從地面豎直向上勢出一物體，它上升的高度是18m.如果物體在運動過程中所受阻力的大小不變，則物體在離地面多高處，物體的動能與重力勢能相等。(g=10m/s2)
「錯解」以物體為研究對象，畫出運動草圖3-3，設(shè)物體上升到h高處動能與重力勢能相等
此過程中，重力阻力做功，據(jù)動能定量有
物體上升的高度為H
由式①，②，③解得h=9.5m
「錯解原因」初看似乎任何問題都沒有，仔細審題，問物全體離地面多高處，物體動能與重力勢相等一般人首先是將問題變形為上升過程中什么位置動能與重力勢能相等。而實際下落過程也有一處動能與重力勢能相等。
「分析解答」上升過程中的解同錯解。
設(shè)物體下落過程中經(jīng)過距地面h′處動能等于重力勢能，運動草圖如3-4.
據(jù)動能定量
解得h′=8.5m
「評析」在此較復(fù)雜問題中，應(yīng)注意不要出現(xiàn)漏解。比較好的方法就是逐段分析法。
例3 如圖3-5，木塊B與水平桌面間的接觸是光滑的，子彈A沿水平方向射入木塊后留在木塊內(nèi)，將彈簧壓縮到最短。現(xiàn)將子彈、木塊和彈簧合在一起作研究對象，則此系統(tǒng)在從子彈開始射入木塊到彈簧壓縮到最短的過程中 [ ]
A.動量守恒，機械能守恒
B.動量不守恒，機械能不守恒
C.動量守恒，機械能不守恒
D.動量不守恒，機械能守恒
「錯解」以子彈、木塊和彈簧為研究對象。因為系統(tǒng)處在光滑水平桌面上，所以系統(tǒng)水平方向不受外力，系統(tǒng)水平方向動量守恒。又因系統(tǒng)只有彈力做功，系統(tǒng)機械能守恒。故A正確。
「錯解原因」錯解原因有兩個一是思維定勢，一見光滑面就認為不受外力。二是規(guī)律適用條件不清。
「分析解答」以子彈、彈簧、木塊為研究對象，分析受力。在水平方向，彈簧被壓縮是因為受到外力，所以系統(tǒng)水平方向動量不守恒。由于子彈射入木塊過程，發(fā)生巨烈的摩擦，有摩擦力做功，系統(tǒng)機械能減少，也不守恒，故B正確。
例4 如圖3-6，質(zhì)量為M的木塊放在光滑水平面上，現(xiàn)有一質(zhì)量為m的子彈以速度v0射入木塊中。設(shè)子彈在木塊中所受阻力不變，大小為f，且子彈未射穿木塊。若子彈射入木塊的深度為D，則木塊向前移動距離是多少?系統(tǒng)損失的機械能是多少?
「錯解」(1)以木塊和子彈組成的系統(tǒng)為研究對象。系統(tǒng)沿水平方向不受外力，所以沿水平方向動量守恒。設(shè)子彈和木塊共同速度為v.據(jù)動量守恒有mv0=(M+m)v
解得v=mv0
子彈射入木塊過程中，摩擦力對子彈做負功
(2)系統(tǒng)損失的機械能
即為子彈損失的功能
「錯解原因」錯解①中錯誤原因是對摩擦力對子彈做功的位移確定錯誤。子彈對地的位移并不是D，而D打入深度是相對位移。而求解功中的位移都要用對地位移。錯解②的錯誤是對這一物理過程中能量的轉(zhuǎn)換不清楚。子彈打入木塊過程中，子彈動能減少并不等于系統(tǒng)機械能減少量。因為子彈減少的功能有一部分轉(zhuǎn)移為木塊的動能，有一部轉(zhuǎn)化為焦耳熱。
「分析解答」以子彈、木塊組成系統(tǒng)為研究對象。畫出運算草圖，如圖3—7.系統(tǒng)水平方向不受外力，故水平方向動量守恒。據(jù)動量守恒定律有
mv0=(M+m)v(設(shè)v0方向為正)
子彈打入木塊到與木塊有相同速度過程中摩擦力做功：
由運動草圖可S木=S子-D ③
「評析」子彈和木塊相互作用過程中，子彈的速度由V0減為V，同時木塊的速度由0增加到V.對于這樣的一個過程，因為其間的相互作用力為恒力，所以我們可以從牛頓運動定律(即f使子彈和木塊產(chǎn)生加速度，使它們速度發(fā)生變化)、能量觀點、或動量觀點三條不同的思路進行研究和分析。類似這樣的問題都可以采用同樣的思路。一般都要首先畫好運動草圖。例：如圖3-8在光滑水平面上靜止的長木板上，有一粗糙的小木塊以v0沿木板滑行。情況與題中極其相似，只不過作用位置不同，但相互作用的物理過程完全一樣。
參考練習：如圖3-9一質(zhì)量為M、長為l的長方形木板B放在光滑的水平地面上，在其右端放一質(zhì)量為m的小木塊A，m
提示：注意分析物理過程。情景如圖3-10.其中隱含條件A剛好沒離B板，停在B板的左端，意為此時A，B無相對運動。A，B作用力大小相等，但加速度不同，由于A的加速度大，首先減為零，然后加速達到與B同速。
例5 下列說法正確的是( )
A.合外力對質(zhì)點做的功為零，則質(zhì)點的動能、動量都不變
B.合外力對質(zhì)點施的沖量不為零，則質(zhì)點動量必將改變，動能也一定變
C.某質(zhì)點受到合力不為零，其動量、動能都改變
D.某質(zhì)點的動量、動能都改變，它所受到的合外力一定不為零。
「錯解」錯解一：因為合外力對質(zhì)點做功為零，據(jù)功能定理有△EA=0，因為動能不變，所以速度V不變，由此可知動量不變。故A正確。
錯解二：由于合外力對質(zhì)點施的沖量不為零，則質(zhì)點動量必將改變，V改變，動能也就改變。故B正確。
「錯解原因」形成上述錯解的主要原因是對速度和動量的矢量性不理解。對矢量的變化也就出現(xiàn)理解的偏差。矢量發(fā)生變化時，可以是大小改變，也可能是大小不改變，而方向改變。這時變化量都不為零。而動能則不同，動能是標量，變化就一定是大小改變。所以△Ek=0只能說明大小改變。而動量變化量不為零就有可能是大小改變，也有可能是方向改變。
「分析解答」本題正確選項為D.
因為合外力做功為零，據(jù)動能定理有△Ek=0，動能沒有變化，說明速率無變化，但不能確定速度方向是否變化，也就不能推斷出動量的變化量是否為零。故A錯。合外力對質(zhì)點施沖量不為零，根據(jù)動量定理知動量一定變，這既可以是速度大小改變，也可能是速度方向改變。若是速度方向改變，則動能不變。故B錯。同理C選項中合外力不為零，即是動量發(fā)生變化，但動能不一定改變，C選項錯。D選項中動量、動能改變，根據(jù)動量定量，沖量一定不為零，即合外力不為零。故D正確。
「評析」對于全盤肯定或否定的判斷，只要找出一反例即可判斷。要證明它是正確的就要有充分的論據(jù)。
一、主要內(nèi)容
本章內(nèi)容包括功、功率、動能、勢能(包括重力勢能和彈性勢能)等基本概念，以動能定理、重力做功的特點、重力做功與重力勢能變化的關(guān)系及機械能守恒定律等基本規(guī)律。其中對于功的計算、功率的理解、做功與物體能量變化關(guān)系的理解及機械能守恒定律的適用條件是本章的重點內(nèi)容。
二、基本方法
本章中所涉及到的基本方法有：用矢量分解的方法處理恒力功的計算，這里既可以將力矢量沿平行于物體位移方向和垂直于物體位移方向進行分解，也可以將物體的位移沿平行于力的方向和垂直于力的方向進行分解，從而確定出恒力對物體的作用效果;對于重力勢能這種相對物理量，可以通過巧妙的選取零勢能面的方法，從而使有關(guān)重力勢能的計算得以簡化。
三、錯解分析
在本章知識應(yīng)用的過程中，初學者常犯的錯誤主要表現(xiàn)在：“先入為主”導致解決問題的思路過于僵化，如在計算功的問題中，一些學生一看到要計算功，就只想到W= Fscosθ，而不能將思路打開，從W=Pt和W=ΔEt等多條思路進行考慮;不注意物理規(guī)律的適用條件，導致亂套機械能守恒定律。
例1 如圖3-1，小物塊位于光滑斜面上，斜面位于光滑水平地面上，在小物塊沿斜面下滑的過程中，斜面對小物塊的作用力 [ ]
A.垂直于接觸面，做功為零
B.垂直于接觸面，做功不為零
C.不垂直于接觸面，做功為零
D.不垂直于接觸面，做功不為零
「錯解」斜面對小物塊的作用力是支持力，應(yīng)與斜面垂直，因為支持力總與接觸面垂直，所以支持力不做功。故A選項正確。
「錯解原因」斜面固定時，物體沿斜面下滑時，支持力做功為零。受此題影響，有些人不加思索選A.這反映出對力做功的本質(zhì)不太理解，沒有從求功的根本方法來思考，是形成錯解的原因。
「分析解答」根據(jù)功的定義W=F.scosθ為了求斜面對小物塊的支持力所做的功，應(yīng)找到小物塊的位移。由于地面光滑，物塊與斜面體構(gòu)成的系統(tǒng)在水平方向不受外力，在水平方向系統(tǒng)動量守恒。初狀態(tài)系統(tǒng)水平方向動量為零，當物塊有水平向左的動量時，斜面體必有水平向右的動量。由于m
「評析」求解功的問題一般來說有兩條思路。一是可以從定義出發(fā)。二是可以用功能關(guān)系。如本題物塊從斜面上滑下來時，減少的重力勢能轉(zhuǎn)化為物塊的動能和斜面的動能，物塊的機械能減少了，說明有外力對它做功。所以支持力做功。
例2 以20m/s的初速度，從地面豎直向上勢出一物體，它上升的高度是18m.如果物體在運動過程中所受阻力的大小不變，則物體在離地面多高處，物體的動能與重力勢能相等。(g=10m/s2)
「錯解」以物體為研究對象，畫出運動草圖3-3，設(shè)物體上升到h高處動能與重力勢能相等
此過程中，重力阻力做功，據(jù)動能定量有
物體上升的高度為H
由式①，②，③解得h=9.5m
「錯解原因」初看似乎任何問題都沒有，仔細審題，問物全體離地面多高處，物體動能與重力勢相等一般人首先是將問題變形為上升過程中什么位置動能與重力勢能相等。而實際下落過程也有一處動能與重力勢能相等。
「分析解答」上升過程中的解同錯解。
設(shè)物體下落過程中經(jīng)過距地面h′處動能等于重力勢能，運動草圖如3-4.
據(jù)動能定量
解得h′=8.5m
「評析」在此較復(fù)雜問題中，應(yīng)注意不要出現(xiàn)漏解。比較好的方法就是逐段分析法。
例3 如圖3-5，木塊B與水平桌面間的接觸是光滑的，子彈A沿水平方向射入木塊后留在木塊內(nèi)，將彈簧壓縮到最短。現(xiàn)將子彈、木塊和彈簧合在一起作研究對象，則此系統(tǒng)在從子彈開始射入木塊到彈簧壓縮到最短的過程中 [ ]
A.動量守恒，機械能守恒
B.動量不守恒，機械能不守恒
C.動量守恒，機械能不守恒
D.動量不守恒，機械能守恒
「錯解」以子彈、木塊和彈簧為研究對象。因為系統(tǒng)處在光滑水平桌面上，所以系統(tǒng)水平方向不受外力，系統(tǒng)水平方向動量守恒。又因系統(tǒng)只有彈力做功，系統(tǒng)機械能守恒。故A正確。
「錯解原因」錯解原因有兩個一是思維定勢，一見光滑面就認為不受外力。二是規(guī)律適用條件不清。
「分析解答」以子彈、彈簧、木塊為研究對象，分析受力。在水平方向，彈簧被壓縮是因為受到外力，所以系統(tǒng)水平方向動量不守恒。由于子彈射入木塊過程，發(fā)生巨烈的摩擦，有摩擦力做功，系統(tǒng)機械能減少，也不守恒，故B正確。
例4 如圖3-6，質(zhì)量為M的木塊放在光滑水平面上，現(xiàn)有一質(zhì)量為m的子彈以速度v0射入木塊中。設(shè)子彈在木塊中所受阻力不變，大小為f，且子彈未射穿木塊。若子彈射入木塊的深度為D，則木塊向前移動距離是多少?系統(tǒng)損失的機械能是多少?
「錯解」(1)以木塊和子彈組成的系統(tǒng)為研究對象。系統(tǒng)沿水平方向不受外力，所以沿水平方向動量守恒。設(shè)子彈和木塊共同速度為v.據(jù)動量守恒有mv0=(M+m)v
解得v=mv0
子彈射入木塊過程中，摩擦力對子彈做負功
(2)系統(tǒng)損失的機械能
即為子彈損失的功能
「錯解原因」錯解①中錯誤原因是對摩擦力對子彈做功的位移確定錯誤。子彈對地的位移并不是D，而D打入深度是相對位移。而求解功中的位移都要用對地位移。錯解②的錯誤是對這一物理過程中能量的轉(zhuǎn)換不清楚。子彈打入木塊過程中，子彈動能減少并不等于系統(tǒng)機械能減少量。因為子彈減少的功能有一部分轉(zhuǎn)移為木塊的動能，有一部轉(zhuǎn)化為焦耳熱。
「分析解答」以子彈、木塊組成系統(tǒng)為研究對象。畫出運算草圖，如圖3—7.系統(tǒng)水平方向不受外力，故水平方向動量守恒。據(jù)動量守恒定律有
mv0=(M+m)v(設(shè)v0方向為正)
子彈打入木塊到與木塊有相同速度過程中摩擦力做功：
由運動草圖可S木=S子-D ③
「評析」子彈和木塊相互作用過程中，子彈的速度由V0減為V，同時木塊的速度由0增加到V.對于這樣的一個過程，因為其間的相互作用力為恒力，所以我們可以從牛頓運動定律(即f使子彈和木塊產(chǎn)生加速度，使它們速度發(fā)生變化)、能量觀點、或動量觀點三條不同的思路進行研究和分析。類似這樣的問題都可以采用同樣的思路。一般都要首先畫好運動草圖。例：如圖3-8在光滑水平面上靜止的長木板上，有一粗糙的小木塊以v0沿木板滑行。情況與題中極其相似，只不過作用位置不同，但相互作用的物理過程完全一樣。
參考練習：如圖3-9一質(zhì)量為M、長為l的長方形木板B放在光滑的水平地面上，在其右端放一質(zhì)量為m的小木塊A，m
提示：注意分析物理過程。情景如圖3-10.其中隱含條件A剛好沒離B板，停在B板的左端，意為此時A，B無相對運動。A，B作用力大小相等，但加速度不同，由于A的加速度大，首先減為零，然后加速達到與B同速。
例5 下列說法正確的是( )
A.合外力對質(zhì)點做的功為零，則質(zhì)點的動能、動量都不變
B.合外力對質(zhì)點施的沖量不為零，則質(zhì)點動量必將改變，動能也一定變
C.某質(zhì)點受到合力不為零，其動量、動能都改變
D.某質(zhì)點的動量、動能都改變，它所受到的合外力一定不為零。
「錯解」錯解一：因為合外力對質(zhì)點做功為零，據(jù)功能定理有△EA=0，因為動能不變，所以速度V不變，由此可知動量不變。故A正確。
錯解二：由于合外力對質(zhì)點施的沖量不為零，則質(zhì)點動量必將改變，V改變，動能也就改變。故B正確。
「錯解原因」形成上述錯解的主要原因是對速度和動量的矢量性不理解。對矢量的變化也就出現(xiàn)理解的偏差。矢量發(fā)生變化時，可以是大小改變，也可能是大小不改變，而方向改變。這時變化量都不為零。而動能則不同，動能是標量，變化就一定是大小改變。所以△Ek=0只能說明大小改變。而動量變化量不為零就有可能是大小改變，也有可能是方向改變。
「分析解答」本題正確選項為D.
因為合外力做功為零，據(jù)動能定理有△Ek=0，動能沒有變化，說明速率無變化，但不能確定速度方向是否變化，也就不能推斷出動量的變化量是否為零。故A錯。合外力對質(zhì)點施沖量不為零，根據(jù)動量定理知動量一定變，這既可以是速度大小改變，也可能是速度方向改變。若是速度方向改變，則動能不變。故B錯。同理C選項中合外力不為零，即是動量發(fā)生變化，但動能不一定改變，C選項錯。D選項中動量、動能改變，根據(jù)動量定量，沖量一定不為零，即合外力不為零。故D正確。
「評析」對于全盤肯定或否定的判斷，只要找出一反例即可判斷。要證明它是正確的就要有充分的論據(jù)。