【例1】 買一些4分和8分的郵票，共花6元8角.已知8分的郵票比4分的郵票多40張，那么兩種郵票各買了多少張?
解一：如果拿出40張8分的郵票，余下的郵票中8分與4分的張數(shù)就一樣多.
(680-8×40)÷(8+4)=30(張)，這就知道，余下的郵票中，8分和4分的各有30張.
因此8分郵票有40+30=70(張).
答：買了8分的郵票70張，4分的郵票30張.
也可以用任意假設(shè)一個(gè)數(shù)的辦法.
解二：譬如，假設(shè)有20張4分，根據(jù)條件“8分比4分多40張”，那么應(yīng)有60張8分.以“分”作為計(jì)算單位，此時(shí)郵票總值是4×20+8×60=560.比680少，因此還要增加郵票.為了保持“差”是40，每增加1張4分，就要增加1張8分，每種要增加的張數(shù)是：
(680-4×20-8×60)÷(4+8)=10(張).
因此4分有20+10=30(張)，8分有60+10=70(張).
【例2】 一項(xiàng)工程，如果全是晴天，15天可以完成.倘若下雨，雨天一天工程要多少天才能完成?
解：類似于例3，我們設(shè)工程的全部工作量是150份，晴天每天完成10份，雨天每天完成8份.用上一例題解一的方法，晴天有
(150-8×3)÷(10+8)= 7(天).
雨天是7+3=10天，總共7+10=17(天).
答：這項(xiàng)工程17天完成.
請注意，如果把“雨天比晴天多3天”去掉，而換成已知工程是17天完成，由此又回到上一節(jié)的問題.差是3，與和是17，知道其一，就能推算出另一個(gè).這說明了例7、例8與上一節(jié)基本問題之間的關(guān)系.
總腳數(shù)是“兩數(shù)之和”，如果把條件換成“兩數(shù)之差”，又應(yīng)該怎樣去解呢?
【例3】 雞與兔共100只，雞的腳數(shù)比兔的腳數(shù)少28.問雞與兔各幾只?
解一：假如再補(bǔ)上28只雞腳，也就是再有雞28÷2=14(只)，雞與兔腳數(shù)就相等，兔的腳是雞的腳4÷2=2(倍)，于是雞的只數(shù)是兔的只數(shù)的2倍.
兔的只數(shù)是：(100+28÷2)÷(2+1)=38(只).
雞是：100-38=62(只).
答：雞62只，兔38只.
當(dāng)然也可以去掉兔28÷4=7(只).兔的只數(shù)是(100-28÷4)÷(2+1)+7=38(只).
也可以用任意假設(shè)一個(gè)數(shù)的辦法.
解二：假設(shè)有50只雞，就有兔100-50=50(只).此時(shí)腳數(shù)之差是：
4×50-2×50=100，
比28多了72.就說明假設(shè)的兔數(shù)多了(雞數(shù)少了).為了保持總數(shù)是100，一只兔換成一只雞，少了4只兔腳，多了2只雞腳，相差為6只(千萬注意，不是2).因此要減少的兔數(shù)是：
(100-28)÷(4+2)=12(只).
兔只數(shù)是：
50-12=38(只).
另外，還存在下面這樣的問題：總頭數(shù)換成“兩數(shù)之差”，總腳數(shù)也換成“兩數(shù)之差”.
【例4】 古詩中，五言絕句是四句詩，每句都是五個(gè)字;七言絕句是四句詩，每句都是七個(gè)字.有一詩選集，其中五言絕句比七言絕句多13首，總字?jǐn)?shù)卻反而少了20個(gè)字.問兩種詩各多少首.
解一：如果去掉13首五言絕句，兩種詩首數(shù)就相等，此時(shí)字?jǐn)?shù)相差
13×5×4+20=280(字).
每首字?jǐn)?shù)相差：7×4-5×4=8(字).
因此，七言絕句有：28÷(28-20)=35(首).
五言絕句有：35+13=48(首).
答：五言絕句48首，七言絕句35首.
解二：假設(shè)五言絕句是23首，那么根據(jù)相差13首，七言絕句是10首.字?jǐn)?shù)分別是20×23=460(字)，28×10=280(字)，五言絕句的字?jǐn)?shù)，反而多了：460-280=180(字).與題目中“少20字”相差：180+20=200(字).
說明假設(shè)詩的首數(shù)少了.為了保持相差13首，增加一首五言絕句，也要增一首七言絕句，而字?jǐn)?shù)相差增加8.因此五言絕句的首數(shù)要比假設(shè)增加
200÷8=25(首).
五言絕句有
23+25=48(首).
七言絕句有
10+25=35(首).
在寫出“雞兔同籠”公式的時(shí)候，我們假設(shè)都是兔，或者都是雞，對于例1、例2和例3三個(gè)問題，當(dāng)然也可以這樣假設(shè).現(xiàn)在來具體做一下，把列出的計(jì)算式子與“雞兔同籠”公式對照一下，就會發(fā)現(xiàn)非常有趣的事.
【例1】，假設(shè)都是8分郵票，4分郵票張數(shù)是(680-8×40)÷(8+4)=30(張).
【例2】，假設(shè)都是兔，雞的只數(shù)是(100×4-28)÷(4+2)=62(只).
【例3】，假設(shè)都是五言絕句，七言絕句的首數(shù)是(20×13+20)÷(28-20)=35(首).
首先，請讀者先弄明白上面三個(gè)算式的由來，然后與“雞兔同籠”公式比較，這三個(gè)算式只是有一處“-”成了“+”.其奧妙何在呢?當(dāng)你進(jìn)入初中，有了負(fù)數(shù)的概念，并會列二元一次方程組，就會明白，從數(shù)學(xué)上說，這一講前兩節(jié)列舉的所有例子都是同一件事.
【例4】
有一輛貨車運(yùn)輸2000只玻璃瓶，運(yùn)費(fèi)按到達(dá)時(shí)完好的瓶子數(shù)目計(jì)算，每只2角，如有破損，破損瓶子不給運(yùn)費(fèi)，還要每只賠償1元.結(jié)果得到運(yùn)費(fèi)379.6元，問這次搬運(yùn)中玻璃瓶破損了幾只?
解：如果沒有破損，運(yùn)費(fèi)應(yīng)是400元.但破損一只要減少1+0.2=1.2(元).因此破損只數(shù)是(400-379.6)÷(1+0.2)=17(只).
答：這次搬運(yùn)中破損了17只玻璃瓶.
請你想一想，這是“雞兔同籠”同一類型的問題嗎?
【例5】 有兩次自然測驗(yàn)，第一次24道題，答對1題得5分，答錯(cuò)(包含不答)1題倒扣1分;第二次15道題，答對1題8分，答錯(cuò)或不答1題倒扣2分，小明兩次測驗(yàn)共答對30道題，但第一次測驗(yàn)得分比第二次測驗(yàn)得分多10分，問小明兩次測驗(yàn)各得多少分?
解一：如果小明第一次測驗(yàn)24題全對，得5×24=120(分).那么第二次只做對30-24=6(題)得分是：8×6-2×(15-6)=30(分). 兩次相差：120-30=90(分).
比題目中條件相差10分，多了80分.說明假設(shè)的第一次答對題數(shù)多了，要減少.第一次答對減少一題，少得5+1=6(分)，而第二次答對增加一題不 但不倒扣2分，還可得8分，因此增加8+2=10分.兩者兩差數(shù)就可減少6+10=16(分).(90-10)÷(6+10)=5(題).
因此，第一次答對題數(shù)要比假設(shè)(全對)減少5題，也就是第一次答對19題，第二次答對：30-19=11(題).
第一次得分：5×19-1×(24- 9)=90.
第二次得分：8×11-2×(15-11)=80.
答：第一次得90分，第二次得80分.
解二：答對30題，也就是兩次共答錯(cuò)
24+15-30=9(題).
第一次答錯(cuò)一題，要從滿分中扣去5+1=6(分)，第二次答錯(cuò)一題，要從滿分中扣去8+2=10(分).答錯(cuò)題互換一下，兩次得分要相差6+10=16(分).
如果答錯(cuò)9題都是第一次，要從滿分中扣去6×9.但兩次滿分都是120分.比題目中條件“第一次得分多10分”，要少了6×9+10.因此，第二次答錯(cuò)題數(shù)是：(6×9+10)÷(6+10)=4(題)·
第一次答錯(cuò) 9-4=5(題).
第一次得分 5×(24-5)-1×5=90(分).
第二次得分 8×(15-4)-2×4=80(分).
解一：如果拿出40張8分的郵票，余下的郵票中8分與4分的張數(shù)就一樣多.
(680-8×40)÷(8+4)=30(張)，這就知道，余下的郵票中，8分和4分的各有30張.
因此8分郵票有40+30=70(張).
答：買了8分的郵票70張，4分的郵票30張.
也可以用任意假設(shè)一個(gè)數(shù)的辦法.
解二：譬如，假設(shè)有20張4分，根據(jù)條件“8分比4分多40張”，那么應(yīng)有60張8分.以“分”作為計(jì)算單位，此時(shí)郵票總值是4×20+8×60=560.比680少，因此還要增加郵票.為了保持“差”是40，每增加1張4分，就要增加1張8分，每種要增加的張數(shù)是：
(680-4×20-8×60)÷(4+8)=10(張).
因此4分有20+10=30(張)，8分有60+10=70(張).
【例2】 一項(xiàng)工程，如果全是晴天，15天可以完成.倘若下雨，雨天一天工程要多少天才能完成?
解：類似于例3，我們設(shè)工程的全部工作量是150份，晴天每天完成10份，雨天每天完成8份.用上一例題解一的方法，晴天有
(150-8×3)÷(10+8)= 7(天).
雨天是7+3=10天，總共7+10=17(天).
答：這項(xiàng)工程17天完成.
請注意，如果把“雨天比晴天多3天”去掉，而換成已知工程是17天完成，由此又回到上一節(jié)的問題.差是3，與和是17，知道其一，就能推算出另一個(gè).這說明了例7、例8與上一節(jié)基本問題之間的關(guān)系.
總腳數(shù)是“兩數(shù)之和”，如果把條件換成“兩數(shù)之差”，又應(yīng)該怎樣去解呢?
【例3】 雞與兔共100只，雞的腳數(shù)比兔的腳數(shù)少28.問雞與兔各幾只?
解一：假如再補(bǔ)上28只雞腳，也就是再有雞28÷2=14(只)，雞與兔腳數(shù)就相等，兔的腳是雞的腳4÷2=2(倍)，于是雞的只數(shù)是兔的只數(shù)的2倍.
兔的只數(shù)是：(100+28÷2)÷(2+1)=38(只).
雞是：100-38=62(只).
答：雞62只，兔38只.
當(dāng)然也可以去掉兔28÷4=7(只).兔的只數(shù)是(100-28÷4)÷(2+1)+7=38(只).
也可以用任意假設(shè)一個(gè)數(shù)的辦法.
解二：假設(shè)有50只雞，就有兔100-50=50(只).此時(shí)腳數(shù)之差是：
4×50-2×50=100，
比28多了72.就說明假設(shè)的兔數(shù)多了(雞數(shù)少了).為了保持總數(shù)是100，一只兔換成一只雞，少了4只兔腳，多了2只雞腳，相差為6只(千萬注意，不是2).因此要減少的兔數(shù)是：
(100-28)÷(4+2)=12(只).
兔只數(shù)是：
50-12=38(只).
另外，還存在下面這樣的問題：總頭數(shù)換成“兩數(shù)之差”，總腳數(shù)也換成“兩數(shù)之差”.
【例4】 古詩中，五言絕句是四句詩，每句都是五個(gè)字;七言絕句是四句詩，每句都是七個(gè)字.有一詩選集，其中五言絕句比七言絕句多13首，總字?jǐn)?shù)卻反而少了20個(gè)字.問兩種詩各多少首.
解一：如果去掉13首五言絕句，兩種詩首數(shù)就相等，此時(shí)字?jǐn)?shù)相差
13×5×4+20=280(字).
每首字?jǐn)?shù)相差：7×4-5×4=8(字).
因此，七言絕句有：28÷(28-20)=35(首).
五言絕句有：35+13=48(首).
答：五言絕句48首，七言絕句35首.
解二：假設(shè)五言絕句是23首，那么根據(jù)相差13首，七言絕句是10首.字?jǐn)?shù)分別是20×23=460(字)，28×10=280(字)，五言絕句的字?jǐn)?shù)，反而多了：460-280=180(字).與題目中“少20字”相差：180+20=200(字).
說明假設(shè)詩的首數(shù)少了.為了保持相差13首，增加一首五言絕句，也要增一首七言絕句，而字?jǐn)?shù)相差增加8.因此五言絕句的首數(shù)要比假設(shè)增加
200÷8=25(首).
五言絕句有
23+25=48(首).
七言絕句有
10+25=35(首).
在寫出“雞兔同籠”公式的時(shí)候，我們假設(shè)都是兔，或者都是雞，對于例1、例2和例3三個(gè)問題，當(dāng)然也可以這樣假設(shè).現(xiàn)在來具體做一下，把列出的計(jì)算式子與“雞兔同籠”公式對照一下，就會發(fā)現(xiàn)非常有趣的事.
【例1】，假設(shè)都是8分郵票，4分郵票張數(shù)是(680-8×40)÷(8+4)=30(張).
【例2】，假設(shè)都是兔，雞的只數(shù)是(100×4-28)÷(4+2)=62(只).
【例3】，假設(shè)都是五言絕句，七言絕句的首數(shù)是(20×13+20)÷(28-20)=35(首).
首先，請讀者先弄明白上面三個(gè)算式的由來，然后與“雞兔同籠”公式比較，這三個(gè)算式只是有一處“-”成了“+”.其奧妙何在呢?當(dāng)你進(jìn)入初中，有了負(fù)數(shù)的概念，并會列二元一次方程組，就會明白，從數(shù)學(xué)上說，這一講前兩節(jié)列舉的所有例子都是同一件事.
【例4】
有一輛貨車運(yùn)輸2000只玻璃瓶，運(yùn)費(fèi)按到達(dá)時(shí)完好的瓶子數(shù)目計(jì)算，每只2角，如有破損，破損瓶子不給運(yùn)費(fèi)，還要每只賠償1元.結(jié)果得到運(yùn)費(fèi)379.6元，問這次搬運(yùn)中玻璃瓶破損了幾只?
解：如果沒有破損，運(yùn)費(fèi)應(yīng)是400元.但破損一只要減少1+0.2=1.2(元).因此破損只數(shù)是(400-379.6)÷(1+0.2)=17(只).
答：這次搬運(yùn)中破損了17只玻璃瓶.
請你想一想，這是“雞兔同籠”同一類型的問題嗎?
【例5】 有兩次自然測驗(yàn)，第一次24道題，答對1題得5分，答錯(cuò)(包含不答)1題倒扣1分;第二次15道題，答對1題8分，答錯(cuò)或不答1題倒扣2分，小明兩次測驗(yàn)共答對30道題，但第一次測驗(yàn)得分比第二次測驗(yàn)得分多10分，問小明兩次測驗(yàn)各得多少分?
解一：如果小明第一次測驗(yàn)24題全對，得5×24=120(分).那么第二次只做對30-24=6(題)得分是：8×6-2×(15-6)=30(分). 兩次相差：120-30=90(分).
比題目中條件相差10分，多了80分.說明假設(shè)的第一次答對題數(shù)多了，要減少.第一次答對減少一題，少得5+1=6(分)，而第二次答對增加一題不 但不倒扣2分，還可得8分，因此增加8+2=10分.兩者兩差數(shù)就可減少6+10=16(分).(90-10)÷(6+10)=5(題).
因此，第一次答對題數(shù)要比假設(shè)(全對)減少5題，也就是第一次答對19題，第二次答對：30-19=11(題).
第一次得分：5×19-1×(24- 9)=90.
第二次得分：8×11-2×(15-11)=80.
答：第一次得90分，第二次得80分.
解二：答對30題，也就是兩次共答錯(cuò)
24+15-30=9(題).
第一次答錯(cuò)一題，要從滿分中扣去5+1=6(分)，第二次答錯(cuò)一題，要從滿分中扣去8+2=10(分).答錯(cuò)題互換一下，兩次得分要相差6+10=16(分).
如果答錯(cuò)9題都是第一次，要從滿分中扣去6×9.但兩次滿分都是120分.比題目中條件“第一次得分多10分”，要少了6×9+10.因此，第二次答錯(cuò)題數(shù)是：(6×9+10)÷(6+10)=4(題)·
第一次答錯(cuò) 9-4=5(題).
第一次得分 5×(24-5)-1×5=90(分).
第二次得分 8×(15-4)-2×4=80(分).