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垂徑定理教學(xué)設(shè)計教資篇一
本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是使學(xué)生理解圓的軸對稱性，掌握垂徑定理，并學(xué)會運用垂徑定理解決有關(guān)弦、弧、弦心距以及半徑之間的證明和計算問題。垂徑定理是圓的軸對稱性的重要體現(xiàn)，是今后解決有關(guān)計算、證明和作圖問題的重要依據(jù)，它有著廣泛的應(yīng)用，因此，本節(jié)課的教學(xué)重點是：垂徑定理及其應(yīng)用。垂徑定理的推導(dǎo)利用了圓的軸對稱性，它是一種運動變換，這種證明方法學(xué)生不常用到，與嚴(yán)格的邏輯推理比較，在證明的表述上學(xué)生會發(fā)生困難，因此垂徑定理的推導(dǎo)是本節(jié)課的難點。這節(jié)課我通過七個環(huán)節(jié)來完成本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，采用了類比，啟發(fā)等教學(xué)方法。
圓是軸對稱圖形，每一條直徑所在的直線都是對稱軸。這點學(xué)生理解的很好。
根據(jù)這個性質(zhì)先按課本進行合作學(xué)習(xí)
1.任意作一個圓和這個圓的任意一條直徑cd；
2.作一條和直徑cd的垂線的弦，ab與cd相交于點e.
提出問題：把圓沿著直徑cd所在的直線對折，你發(fā)現(xiàn)哪些點、線段、圓弧重合？
在學(xué)生探索的基礎(chǔ)上，得出結(jié)論：（先介紹弧相等的概念）
①ea=eb；②ac=bc，ad=bd.
理由如下：∵∠oea=∠oeb=rt∠，根據(jù)圓的軸軸對稱性，可得射線ea與eb重合，
∴點a與點b重合，弧ac和弧bc重合，弧ad和弧bd重合。
∴ea=eb，ac=bc，ad=bd.
然后把此結(jié)論歸納成命題的形式：
垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的`弧。
垂徑定理的幾何語言
∵cd為直徑，cd⊥ab（oc⊥ab）
∴ea=eb，ac=bc，ad=bd.
在學(xué)生掌握了垂徑定理后，及時應(yīng)用定理畫圖和解決實際問題，練習(xí)由基礎(chǔ)到提高，層層深入，學(xué)生很有興趣。做完題目后總計解題的主要方法：
（1）畫弦心距是圓中常見的輔助線；
（2）半徑（r）、半弦、弦心距（d）組成的直角三角形是研究與圓有關(guān)問題的主要思路，它們之間的關(guān)系：弦長
本節(jié)課不足之處是在處理垂徑定理的推論時，應(yīng)歸納相關(guān)垂徑定理的五個元素：直徑、弦中點、垂直、優(yōu)弧中點、劣弧中點的規(guī)律：“知二得三”。鼓勵學(xué)生積極探討符合垂徑定理以外的所有推論，以增長學(xué)生的知識面及提高學(xué)生的探究水平。
垂徑定理教學(xué)設(shè)計教資篇二
首先講下這節(jié)課，我的一些思路：
在教學(xué)方法與教材處理方面，根據(jù)現(xiàn)在的教材特點，教學(xué)內(nèi)容以及在新課標(biāo)理念的指導(dǎo)下，最后決定讓學(xué)生在課堂上多動手、多觀察、多交流，最后得出定理，這個方法符合新課程理念觀點，也符合教師的主導(dǎo)作用與學(xué)生的主體地位相統(tǒng)一的原則。
同時，在教學(xué)中，我充分利用教具和投影儀，提高教學(xué)效率。在實驗，演示，操作，觀察，練習(xí)等師生的共同活動中啟發(fā)學(xué)生，培養(yǎng)學(xué)生直覺思維能力，結(jié)合學(xué)生實際情況作適當(dāng)?shù)耐貜V。
我參加這次教學(xué)技能大賽，獲益良多主要體現(xiàn)在以下幾個方面：
（1）在數(shù)學(xué)教學(xué)中，一些結(jié)論的表述是很重要的，而我在這節(jié)課上有些表述確實不是很正確；而且我在課堂上，尤其是知識點的聯(lián)系方面的引導(dǎo)詞，更加需要再努力鉆研。今后我將在這方面下工夫，在去聽其他數(shù)學(xué)老師的課時，要注意其他老師在知識點同知識點之間的過渡語句。
（2）一些該讓學(xué)生知道的知識點，講得不夠透徹。如cd是直徑，其實應(yīng)該可以拓展為過圓心的直線（要多強調(diào)，而不是一筆帶過）；不能夠用數(shù)量關(guān)系求的，應(yīng)該要適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生設(shè)未知數(shù)。而不是直接告訴學(xué)生這種題目就是要設(shè)未知數(shù)。同樣在已知一條邊，不夠條件求解時，也要引導(dǎo)學(xué)生利用未知數(shù)來解題的這種題目，引導(dǎo)得不夠，或者話引導(dǎo)得不夠深刻，學(xué)生就會覺得是老師直接將知識倒向他，而他不一定能接受。
（3）在學(xué)案設(shè)計方面，在時間上把握得不夠準(zhǔn)確，設(shè)計的學(xué)案內(nèi)容太多，在這節(jié)課上如果估計過量已經(jīng)足夠的話，垂徑定理的推論其實可以放在下節(jié)課。這樣就不會使得后面講推論的時間太短，太倉促。前面復(fù)習(xí)用的時間太長，在復(fù)習(xí)的部分應(yīng)該多加些關(guān)于勾股定理的計算的題目，使學(xué)生在后面解直角三角形時能夠更加快，更熟練；而學(xué)案中練習(xí)題的量太少，而且是題型太單一，可以再做多些找相等的量的基礎(chǔ)訓(xùn)練，對b班的學(xué)生更加熟悉垂徑定理，基礎(chǔ)題目的掌握對b班大有好處。
（4）其實這節(jié)課還有個作圖思想要灌輸比學(xué)生，即是教學(xué)生如果見到弦心距，弦，那么直接連半徑構(gòu)成直角三角形；如果就是只知道一條弦的題目，就要邊弦心距都要作出來，而這兩種題目我的訓(xùn)練都不到位。
（5）還有其他很多問題：例題的講解不夠詳細，深刻。給學(xué)生思考的時間不夠；題目的梯度設(shè)計得不是很好……
最后，這些失誤給了我一個今后的努力的方向。在今后的學(xué)習(xí)中，我努力鉆研教材改正自己缺點。
垂徑定理教學(xué)設(shè)計教資篇三
垂直于弦的直徑也叫垂經(jīng)定理，是初中九年級人教版第二十四章第2節(jié)內(nèi)容，它是圓中有關(guān)計算方面比較重要的一節(jié)。
本節(jié)課主要經(jīng)過了三個環(huán)節(jié)：第一個環(huán)節(jié)是讓學(xué)生通過折自制的圓形圖片得出圓是軸對稱圖形，每一條經(jīng)過圓心的直線都是它的對稱軸，它有無數(shù)條對稱軸。第二個環(huán)節(jié)是讓學(xué)生通過探究得出垂經(jīng)定理的內(nèi)容。第三個環(huán)節(jié)是利用垂經(jīng)定理解決有關(guān)方面的計算。其中，第二個環(huán)節(jié)是本節(jié)課的重點，也是我這節(jié)課的一個亮點。具體經(jīng)過以下5個步驟：
（1）讓學(xué)生拿出自己手中的圓形圖片對折圓，找出圓心。（學(xué)生 很感興趣，有些同學(xué)折的 是兩條互相垂直的直徑得出圓心，有些同學(xué)折的是兩條斜交的直徑得出圓心，但方法都很好。 ）
（2）讓兩條互相垂直的直徑其中一條不動，另一條直徑向下平移，變成一條普通的弦，并且和原來的一條直徑仍然保持垂直關(guān)系。
（3）讓學(xué)生在自己的圖片上畫出與直徑垂直的弦，并讓他們把圓形圖片沿直徑對折，問學(xué)生會發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？（平分弦，也平分弦所對的兩條?。?BR> （4）問學(xué)生在什么樣條件下得出這些結(jié)論的？
（5）最后引導(dǎo)學(xué)生歸納出垂經(jīng)定理的內(nèi)容，教師再補充、強調(diào)并板書。
通過這一探究過程，大部分學(xué)生參與到課堂中去，并培養(yǎng)了學(xué)生動手操作和創(chuàng)新的能力，也激發(fā)了學(xué)生探究問題的興趣，學(xué)生就在這種輕松、愉快的活動中掌握了垂徑定理，實現(xiàn)了教學(xué)的有效性，這是在這節(jié)課中我感覺最成功的地方。
當(dāng)然，整節(jié)課也有許多不足之處。例如，在對垂經(jīng)定理有關(guān)計算方面的安排上欠妥，具體表現(xiàn)在：
（1）把課本中趙州橋的問題作為第一個練習(xí)題讓學(xué)生解決稍微偏難，應(yīng)該先解決一些簡單的類型題。比如：已知弦的長度和圓心到弦的距離，求圓的半徑這類題，這樣的話學(xué)生不但鞏固了垂經(jīng)定理，而且也能體會到成功的喜悅，等再處理趙州橋的問題就變成水到渠成的事情了。
（2）垂經(jīng)定理中平分弦的證明過程盡量給學(xué)生留點時間讓學(xué)生板書出來，這樣可以防止學(xué)生缺少主動性，并且會有更多的學(xué)生參與到課堂中去。
（3）應(yīng)該給學(xué)生滲透一些情感教育，讓學(xué)生知道數(shù)學(xué)來源于生活，又應(yīng)用于生活。 總之，在教學(xué)設(shè)計和課堂教學(xué)中應(yīng)充分了解學(xué)生，研究學(xué)生，我們不僅要備教材，而且還要備學(xué)生。要真正樹立以學(xué)生的發(fā)展為本的教學(xué)理念。只有這樣，才能為學(xué)生提供充分的教學(xué)活動和交流的機會，使學(xué)生從單純的的知識接受者變?yōu)閿?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人。
垂徑定理教學(xué)設(shè)計教資篇四
學(xué)情分析
本節(jié)課是在上節(jié)課學(xué)習(xí)了圓的概念及弧、弦等概念的基礎(chǔ)上的一節(jié)課。在上節(jié)課結(jié)束時留給學(xué)生這樣一個問題“你還想進一步研究什么？”通過學(xué)習(xí)，學(xué)生很容易聯(lián)系到上節(jié)課學(xué)習(xí)了圓、弧、弦、直徑、半徑等有關(guān)知識。那么圓內(nèi)這些元素還具有哪些性質(zhì)呢？學(xué)生自然地從上節(jié)課過渡到這節(jié)課的學(xué)習(xí)，同時培養(yǎng)了學(xué)生勤于動腦，勤于思考的好習(xí)慣，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣與熱情。
本節(jié)課主要有兩方面的內(nèi)容：一是圓的軸對稱性，二是垂徑定理及其推論。開始以趙州橋的問題引入課題，帶著問題進行學(xué)習(xí)。圓的軸對稱性主要是通過動手操作得出結(jié)論，圓是軸對稱圖形，根據(jù)軸對稱性進一步研究圓中相等的弦、弧得出垂徑定理及其推論。利用此定理再去解決趙州橋問題，每一個環(huán)節(jié)都是環(huán)環(huán)相扣，不是孤立存在的。
教學(xué)目標(biāo)
經(jīng)歷探索圓的軸對稱性及相關(guān)性質(zhì)的過程，進一步體會和理解研究幾何圖形的各種方法。理解并應(yīng)用垂徑定理進行有關(guān)的計算。
重點難點
掌握垂徑定理及其推論，學(xué)會運用垂徑定理等結(jié)論解決一些有關(guān)證明、計算和作圖問題。
反思之一：實際問題的意義的看法
數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活。在實際生活中，數(shù)、形隨處可見，無處不在。好的實際問題容易引起學(xué)生的興趣，激發(fā)學(xué)生探索和發(fā)現(xiàn)問題的欲望，使學(xué)生感到數(shù)學(xué)課很熟悉，數(shù)學(xué)知識離我們很近。學(xué)生在解決實際問題的過程中，主要困難有兩點，一是學(xué)生一見到實際問題就畏懼，根本不去讀題，二是學(xué)生對實際背景不熟悉。為此，本節(jié)課設(shè)計了一個實際問題，這樣做的好處，一是具有非常實際的用途，二是與本節(jié)課的內(nèi)容具有直接關(guān)系。這個問題解決了，以后學(xué)生再講到類似的實際問題時，就不會感到陌生。
每種教學(xué)模式都有其優(yōu)劣，如果一味地按一種教學(xué)模式貫穿于整個教學(xué)過程，并不能達到最好的教學(xué)效果。對于我們教師來說，應(yīng)根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容，選擇不同的教學(xué)模式來教學(xué)，這樣效果會更好。本節(jié)課，由于學(xué)生的差異較大，所以選擇了小組合作這種教學(xué)模式，發(fā)揮小組合作學(xué)習(xí)的優(yōu)勢，給學(xué)生創(chuàng)造一個寬松的學(xué)習(xí)環(huán)境，使學(xué)生消除畏懼怕錯的心理壓力，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新精神，幫助學(xué)生樹立學(xué)好知識的信心和勇氣。
反思之二：需要更加關(guān)注學(xué)生
教學(xué)中，把尊重學(xué)生，關(guān)注學(xué)生的發(fā)展動態(tài)始終放在第一位。在這節(jié)課中，注重學(xué)生間的合作交流，給學(xué)生多次展示自己的機會，鍛煉學(xué)生的膽量，培養(yǎng)學(xué)生語言表達能力及邏輯推理能力，并給予適當(dāng)?shù)墓膭詈捅頁P，使學(xué)生有成功感，增強學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。
在知識發(fā)生發(fā)展與應(yīng)用過程中注重教學(xué)思想方法的滲透，如本節(jié)課從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，交給學(xué)生解決問題的辦法，使學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)。
垂徑定理教學(xué)設(shè)計教資篇五
垂徑定理說課稿
一、教材分析：
（一）教材的地位與作用
本節(jié)課圓的性質(zhì)的重要體現(xiàn)，是圓的軸對稱性的具體化，也是今后證明線段等、角等、弧等、垂直關(guān)系的重要依據(jù)，同時也為圓的計算和作圖提供了方法和依據(jù)，所以它在教材中處于舉足輕重的位置。
另外，本節(jié)課通過“實驗--觀察--猜想--合作交流--證明”的途徑，進一步培養(yǎng)學(xué)生的動手能力，觀察能力，分析、聯(lián)想能力、與人合作交流的能力，同時利用圓的軸對稱性，可以對學(xué)生進行數(shù)學(xué)美的教育。
因此，掌握垂徑定理對學(xué)生更好地認(rèn)識現(xiàn)實世界，建立空間觀念、培養(yǎng)推理論證能力具有十分重要的作用。
（二）教學(xué)目標(biāo)
根據(jù)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對這部分知識的要求及本課的特點，結(jié)合學(xué)生的實情，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)確定為：
（1）知識與技能目標(biāo)
使學(xué)生理解圓的軸對稱性；掌握垂徑定理；學(xué)會運用垂徑定理解決有關(guān)的證明、計算和作圖問題。 培養(yǎng)學(xué)生觀察能力、分析能力及聯(lián)想能力。
（2）過程與方法目標(biāo)
在實驗過程中，培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想、猜測、推理、探索發(fā)現(xiàn)新知識的能力和創(chuàng)新思維、創(chuàng)新想象的能力。通過分組訓(xùn)練、深化新知，共同感受收獲的喜悅。
（3）情感與態(tài)度目標(biāo)
在解決問題過程中，培養(yǎng)學(xué)生敢于面對挑戰(zhàn)和善于克服困難的意志，鼓勵學(xué)生大膽嘗試，勇于探索，從中獲得成功的經(jīng)驗，充分享受數(shù)學(xué)之美，從而體驗學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣。
知識與技能目標(biāo)固然重要，對于本節(jié)課：過程與方法和情感與態(tài)度更重要，因為這部分是幾何教學(xué)的重點，是由實驗幾何向論證幾何的過渡，過程與方法可以幫助學(xué)生學(xué)會認(rèn)識事物、分析問題的方法；有良好的情感態(tài)度能培養(yǎng)好的學(xué)習(xí)興趣，養(yǎng)成好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。
（三）教學(xué)重點和難點
教學(xué)重點：垂徑定理及其應(yīng)用。
（由于垂徑定理的題設(shè)與結(jié)論比較復(fù)雜，很容易混淆遺漏，所以，對垂徑定理的題設(shè)與結(jié)論區(qū)分是難點之一，同時，對定理的證明方法“疊合法”學(xué)生不常用到，是本節(jié)的又一難點。）
教學(xué)難點：對垂徑定理題設(shè)與結(jié)論的區(qū)分及定理的證明方法。
突出重點、突破難點的關(guān)鍵：創(chuàng)設(shè)具有啟發(fā)性的問題情境，通過學(xué)生動手操作，多媒體生動直觀地演示，讓學(xué)生經(jīng)歷“提出問題——探究討論——歸納發(fā)現(xiàn)”的過程，在這個過程中，要給學(xué)生在充足的活動時間，使學(xué)生在積極思維的狀態(tài)下參與探究性學(xué)習(xí) 。
而理解垂徑定理的關(guān)鍵是圓的軸對稱性。
二、教材處理
關(guān)于教材的處理：
(1)對于圓的軸對稱性及垂徑定理的發(fā)現(xiàn)、證明，采用師生共同演示的方法。
(2)探究例1后引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)常見輔助線“半徑半弦弦心距”，得直角三角形中三邊的關(guān)系式 .注意前后知識的鏈接.
三、教學(xué)方法的選擇與應(yīng)用
本節(jié)課我采用實驗操作，直觀演示，合作交流等方法指導(dǎo)學(xué)生動眼觀察、動手操作、動腦思考、動口表述，讓學(xué)生從實踐中獲取知識，并通過討論來深化對知識的理解。
同時采用多媒體輔助教學(xué)和實物演示，直觀生動地反映圖形特點。
四、教學(xué)模式
為了實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，優(yōu)化教學(xué)過程，本節(jié)課通過“創(chuàng)設(shè)情境——自主探索——合作交流——應(yīng)用拓展——反思歸納”的教學(xué)模式，力求著眼于學(xué)生探究能力和多向思維的培養(yǎng)。
五、教學(xué)過程
本節(jié)課我設(shè)計了七個環(huán)節(jié)組織教學(xué)：
1）創(chuàng)設(shè)情景，導(dǎo)入新課
展示我國隋朝建造的趙州石拱橋，提出問題，你能求出橋拱所在圓的半徑嗎？以此情境，導(dǎo)入圓的學(xué)習(xí)。
通過課本自學(xué)，讓學(xué)生了解圓中的弧，弦等概念。
并提出疑問：那么我們將要學(xué)習(xí)的圓到底有什么樣的性質(zhì)呢？
設(shè)計意圖：通過我們的古老文明激發(fā)學(xué)生解決問題的欲望，引起學(xué)生的聯(lián)想，為學(xué)生探究新知識埋下鋪墊。
2）動手操作，探究新知
實踐探究一
把一個圓沿著它的任意一條直徑對折，重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？
在教學(xué)過程中，注重對學(xué)生自主探索與合作交流能力的培養(yǎng)，在引入新課的同時，運用教具與學(xué)具（學(xué)生自制的圓形紙片）演示，讓每個學(xué)生都動手實驗、觀察，通過實驗，引導(dǎo)學(xué)生得出結(jié)論：
(1)圓是軸對稱圖形；
(2)經(jīng)過圓心的每一條直線（注：不能說直徑）都是它的對稱軸；
(3)圓的對稱軸有無數(shù)條。
實踐探究二
請同學(xué)們在自己作的圓中作圖：
（1）任意作一條弦 ab；(2)過圓心作ab的垂線得直徑cd且交ab于e。
引導(dǎo)學(xué)生分析直徑cd與弦ab的垂直關(guān)系，說明cd是垂于弦的直徑，并設(shè)問：它除了上述性質(zhì)外，是否還有其他性質(zhì)呢？這樣就很自然地導(dǎo)出本節(jié)課的課題，此時板書課題 垂徑定理 這樣通過全體學(xué)生參與實驗，逐步導(dǎo)出新課。
設(shè)計意圖：上述一系列活動的目的是讓學(xué)生經(jīng)歷“實驗（問題）——探究——歸納”的探索過程，在這個過程中，讓學(xué)生獲得直接參與的機會，在參與中，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣；在實驗中，積累對數(shù)學(xué)的感知；在思考中，尋找解決問題的途徑；在探究中，形成對數(shù)學(xué)的理解；在交流中，完善自己的想法。整個過程，體現(xiàn)學(xué)生的自主探究，合作學(xué)習(xí)。從而，培養(yǎng)學(xué)生善于觀察，勇于猜想，敢于發(fā)現(xiàn)的精神。
3）引入新課---揭示課題：
首先讓學(xué)生實驗、觀察并得出猜想
①ea=eb；② 弧ac=bc；③弧ad=bd．
你是如何得到這個結(jié)論的？（可能有的學(xué)生用的是疊合法，有的學(xué)生用的是論證法，此處都予以表揚）
這里要引導(dǎo)學(xué)生分析上述猜想的條件和結(jié)論，并將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，要能寫出
已知：cd是直徑，cd⊥ab
求證：①ea=eb；② 弧ac=bc；③弧ad=bd．
這樣做為分清定理的題設(shè)和結(jié)論作好鋪墊，從而達到解決難點的目的。此時板書垂徑定理的內(nèi)容。
垂徑定理 垂直于弦的直徑,平分弦,并且平分弦所對的兩條弧.
<目標(biāo)訓(xùn)練，及時反饋>
為了強調(diào)定理中的條件，出示一組練習(xí)：在下列圖形中，符合垂徑定理的條件嗎？讓學(xué)生搶答，根據(jù)實際情況進一步強調(diào)“垂”與“徑”缺一不可。
設(shè)計意圖：及時給出練習(xí)，便于學(xué)生理解概念，有利于新知識的內(nèi)化。本環(huán)節(jié)要注重學(xué)生在活動中的思考，鼓勵學(xué)生有條理地表達自己的思考過程，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。
實踐探究三
1.想一想：如下圖示，ab是⊙o的弦(不是直徑)，作一條平分ab的直徑cd，交ab于點m．
2.同學(xué)們利用圓紙片動手做一做，然后回答：（1）此圖是軸對稱圖形嗎?如果是，其對稱軸是什么?（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系？說一說你的理由。
學(xué)生依據(jù)探究二的經(jīng)驗來論證探究三，從而得到垂徑定理的逆定理
3.拓展垂徑定理的逆定理，即“知二推三”
4）運用新知，體驗成功
例1：如圖，已知在⊙o中，弦ab的長為8cm，圓心o到ab的距離為3cm，求⊙o的半徑。
1. 介紹弦心距的概念：圓心到圓的一條弦的距離叫做弦心距．
2. 規(guī)范解題步驟
3. 總結(jié)圓中常用的輔助線思路
<目標(biāo)訓(xùn)練，及時反饋>
1．半徑為4cm的⊙o中，弦ab=4cm, 那么圓心o到弦ab的距離是 。
2．半徑為2cm的圓中，過半徑中點且垂直于這條半徑的弦長是 。
3.如圖，mn所在的直線垂直平分ab，利用這樣的工具，最少兩次就可以找到圓形工件的圓心，你能說出理論依據(jù)嗎？
<學(xué)有所用>
趙州橋主橋拱的跨度(弧所對的弦的長)為37.4m,拱高(弧的中點到弦的距離)為7.2m，你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？
設(shè)計意圖：為了及時鞏固，幫助學(xué)生對所學(xué)定理的加深理解與使用講完定理及逆定理后，我依據(jù)學(xué)生的實際情況及他們的心理特點，設(shè)計了有梯度的，循序漸進的習(xí)題，讓學(xué)生嘗試。
本環(huán)節(jié)我采用學(xué)生自主探索與合作交流的方法，通過學(xué)生的探究體驗垂徑定理性質(zhì)的應(yīng)用。
5）知識梳理，自主評價
談?wù)劚竟?jié)課的收獲（包括知識、方法、感想方面的梳理）
設(shè)計意圖：本環(huán)節(jié)我采用學(xué)生自己回憶并敘述的方式，讓其梳理知識，感受方法。這樣做的目的，既是對所學(xué)內(nèi)容的復(fù)習(xí)鞏固，又訓(xùn)練了學(xué)生的歸納和表達能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，形成知識體系。
6）學(xué)有所用，綜合提升
一座橋，橋拱是圓弧形（水面以上部分），測量時只測到橋下水面寬ab為16m（如圖），橋拱最高處離水面4m
（1）求橋拱半徑；
（2）若大雨過后，橋下面河面寬度為12m，問水面漲高了多少？．
2. 如圖，兩個圓都以點o為圓心，大圓的弦ab交小圓于c，d，求證：ac＝bd．
設(shè)計意圖：本題在趙州橋的基礎(chǔ)上進行了綜合，使學(xué)生進一步理解垂徑定理，運用垂徑定理。
7）作業(yè)
作業(yè)設(shè)計本著有益有趣的原則，給學(xué)生以充分的發(fā)展空間，并鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容。
設(shè)計方案：為了適應(yīng)各層次學(xué)生學(xué)習(xí)的需要，設(shè)計了分層作業(yè)，
必作題是課本練習(xí)題
選作題是課后試一試
另外，又設(shè)計了應(yīng)用練習(xí)，如何確定殘缺的圓形零件的圓心？
讓學(xué)生帶著數(shù)學(xué)問題走出課堂，從而把學(xué)生的思維引向一個更加廣闊的空間，讓學(xué)生在課外運用所學(xué)的知識進行實踐、探究。
垂徑定理教學(xué)設(shè)計教資篇六
《垂徑定理》典型練習(xí)題
垂徑定理是“圓”一章的重要內(nèi)容。它揭示了垂直于弦的直徑和這條弦以及這條弦所對的兩條弧之間的內(nèi)在關(guān)系，是圓的.軸對稱性的具體化；它不僅是證明線段相等、角相等、弧相等、垂直關(guān)系的重要依據(jù)，同時也為今后進行圓的有關(guān)計算和作圖提供了方法和依據(jù)。由于它在教材中處于非常重要的位置，所以成為每年中考必考的知識點之一。
一、垂徑定理及推理的內(nèi)容
1.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。
如圖，幾何表述為：
∵cd過圓心，cd⊥ab于e
∴ae=be，-=-，-=-
2.垂徑定理推論1：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。如圖，幾何表述為：
∵cd過圓心，ae=be(ab不是直徑)
∴cd⊥ab于e，-=-，-=-
3.垂徑定理其他推論的幾何表述：
①∵cd過圓心，-=-
∴cd⊥ab，ae=be，-=-
②∵cd過圓心，-=-
∴cd⊥ab，ae=be，-=-
(未完待續(xù))
垂徑定理的基本圖形
垂徑定理教學(xué)設(shè)計教資篇七
教學(xué)難點：垂徑定理的證明方法，其中圓的軸對稱性是理解垂徑定理的關(guān)鍵。
二、教學(xué)目標(biāo)的確立
根據(jù)本課的具體內(nèi)容、學(xué)生的實際情況，我確立了如下的教學(xué)目標(biāo)：
1、通過直觀演示了解圓的軸對稱性。
2、通過“試驗——觀察——猜想——證明”掌握垂徑定理及其推論。
3、運用垂徑定理解決有關(guān)的證明、計算和作圖問題。 4、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺能力、抽象概括能力。激發(fā)學(xué)生的探索精神。
三、教學(xué)方法與手段的選擇
在教學(xué)方法方面:本節(jié)課主要采用了教師啟發(fā)引導(dǎo)下的學(xué)生自主探究、小組合作學(xué)習(xí)以及分層教學(xué)、分層評價的方法。
在教學(xué)過程中，遵循“實驗－觀察－猜想－證明－討論－總結(jié)－應(yīng)用”這一思路，使學(xué)生由感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識，再到實際應(yīng)用。遵循“階梯式發(fā)展”原則，引導(dǎo)學(xué)生在獨立分析、認(rèn)真思考的基礎(chǔ)上，以小組討論等形式合作探究，進而解決問題、掌握方法。同時，考慮到不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)需要，在所提問題、例題、習(xí)題的設(shè)置上，均力爭使每名學(xué)生都有所得。
在教學(xué)手段方面：我采用教（學(xué)）具直觀演示與計算機輔助教學(xué)，以提高課堂教學(xué)效率。
四、教學(xué)過程的設(shè)計
1、堅持一條原則：學(xué)生是主體，教師是教學(xué)過程的組織者、引導(dǎo)者、合作者。
2、圍繞一個目的：落實教學(xué)目標(biāo)
3、突出一個特點：通過“實驗－觀察－猜想－證明－應(yīng)用”幫助學(xué)生實現(xiàn)由感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的過渡
4、采用一種手段：借助教具的直觀性和計算機輔助教學(xué)，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)定理，從而抽象概括出定理
5、收到一個效果：使學(xué)生通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，能夠理解定理的內(nèi)涵，學(xué)會運用定理解決問題。同時使學(xué)習(xí)知識、培養(yǎng)能力和優(yōu)化思維品質(zhì)融為一體。
學(xué)法指導(dǎo)：
動手操作、 觀察猜測、 交流討論、 分析推理、 歸納總結(jié)，在此過程中使學(xué)生積極參與，交流互動。
本課的教學(xué)過程包括：
以舊引新、引導(dǎo)探究——動手操作、觀察猜想——指導(dǎo)論證、引申結(jié)論——多方練習(xí)、分層評價——反思小結(jié)、布置作業(yè)五個環(huán)節(jié)。
（一）以舊引新、引導(dǎo)探究
人類認(rèn)識事物大多遵循由感性認(rèn)識到理性認(rèn)識，由舊知到新知的上升過程，為此我先引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)與本課新知識有關(guān)的舊知識，出示如下兩個問題：
（1）什么是軸對稱圖形
（2）觀察下列圖形哪些是軸對稱圖形？并指出對稱軸條數(shù)。
其中第一題的目的在于喚起學(xué)生記憶，明確軸對稱圖形的概念。進而選取幾種常見的幾何圖形讓學(xué)生判斷，其中的平行四邊形是從反面強化對軸對稱圖形的理解。 第二組是有關(guān)車標(biāo)圖案的軸對稱圖形，使學(xué)生知道我們身邊隨時隨地都有軸對稱圖形的存在，此時可讓學(xué)生再舉幾個實際例子，以激發(fā)學(xué)生的興趣。
然后出示圓，提問：圓是軸對稱圖形嗎？
它有幾條對稱軸？
對稱軸在什么位置？
進而通過學(xué)生折疊圓形紙片、
教師投影演示明確：
圓是軸對稱圖形，它有無數(shù)條對稱軸，過圓心的每一條直線都是它的對稱軸。
這樣通過創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生的求知欲，以舊引新，引出本課課題——圓的軸對稱性。
（二）動手操作，觀察猜想
首先讓學(xué)生按要求在事先準(zhǔn)備好的圓形紙片中畫圖折疊、觀察、猜想。 ⅰ 畫出⊙o的一條弦ab
ⅱ 過o畫ab的垂線交⊙o于c、d兩點，垂足為e.
問題1：過o點垂直ab的直線有幾條？（說出理由）
設(shè)計意圖：明確垂直于弦的直線有且只有一條。
問題2：直徑cd還有什么性質(zhì)？（投影）
1、引導(dǎo)學(xué)生將⊙o紙片沿直徑cd折疊，觀察重合部分，猜想結(jié)論
2、小組交流猜想結(jié)論。
3、教師投影演示與學(xué)生共享猜想結(jié)論
設(shè)計意圖：通過調(diào)動學(xué)生的多種感官功能，使學(xué)生在動手動腦中強化思維品質(zhì)。同時為用“疊合法”證明垂徑定理起鋪路搭橋的作用。
（三）指導(dǎo)論證，引申結(jié)論
在師生共同得出猜想結(jié)論后，教師追問質(zhì)疑：猜想的結(jié)果是否正確，必須要加以證明，將學(xué)生的活躍思維從實驗猜想拉回到對猜想的嚴(yán)格證明中。 教學(xué)安排：
學(xué)生回答已知、求證后教師投影。
隨后指導(dǎo)學(xué)生從圓的軸對稱性入手，討論出聯(lián)結(jié)oa和ob后，抓住只要能夠證出直徑cd既是等腰三角形oab的對稱軸，又是圓的對稱軸，即可利用圓的`軸對稱性證明出結(jié)論。進而讓學(xué)生試述，教師板書證明過程。
進而總結(jié)出垂徑定理的內(nèi)容。并引導(dǎo)學(xué)生分析出定理的題設(shè)和結(jié)論。說明知道了題設(shè)的兩個條件，就可以得出三個結(jié)論。
此時出示判斷題
(1)過圓心的直徑平分弦（×）
(2)垂直于弦的直線平分弦（×）
(3)⊙o中，oe⊥弦ae于e，則ae=be（√）】
引導(dǎo)小組討論，允許爭論，關(guān)鍵要讓學(xué)生說明理由，舉反例。交流討論、統(tǒng)一思想后，教師要充分利用評價機制鼓勵學(xué)生，并強調(diào)垂徑定理 圓的軸對稱性——垂徑定理及其推論題設(shè)中的兩個條件缺一不可。同時說明垂徑定理條件中的“直徑”是指過圓心的直線，但在應(yīng)用該條件時可以不為直徑，如半徑、圓心到弦的距離照樣可以得到平分弦的結(jié)論。
然后再次通過提問：如果將題設(shè)中的兩個條件改為“直徑平分弦”，能否得出其它三個結(jié)論呢？自然的引出對例1的教學(xué)：
【例1：已知:如圖，在⊙o中，直徑cd交弦ab于e，ae=be
求證：cd⊥ab, 】
通過教師引導(dǎo)、小組討論分析證明出垂徑定理的推論：平分弦(非直徑)的直徑垂直于弦，且平分弦所對的兩條弧。使學(xué)生初步認(rèn)識到將定理中題設(shè)的兩個條件之一與三個結(jié)論之一交換一個，也可得出其它三個結(jié)論。然后再次出示小組討論題，
【小組討論：下列命題是否正確？說明理由
1、弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，且平分弦所對的兩條弧。(√)
2、平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，且平分弦所對的另一條弧(√)】
進一步強化剛才的初步認(rèn)識，進而歸納總結(jié)出其中規(guī)律：五個條件，知二推三。在整個過程中教師要及時引導(dǎo)學(xué)生通過畫圖分析、討論，說明理由，辨別正誤，從而有效的突破難點，突出重點。
o
（四）多方練習(xí)，分層評價
【例2、已知：如圖在⊙o中，弦ab的長是8cm，圓心o到ab的距離為3cm，求⊙o的半徑?！?BR> 1、選題意圖
至此，學(xué)生們對垂徑定理及其推論的基本知識應(yīng)該掌握了，為了使學(xué)生再上一個臺階，更好的將知識點落到實處。我安排了例2，試圖通過此例，使學(xué)生明確：在解決有關(guān)弦、半徑（直徑）、圓心到弦的距離等問題時，通常是將垂徑定理和勾股定理結(jié)合起來。達到一通百通的目的。并為例3的教學(xué)鋪平道路。
2、教學(xué)安排
ⅰ 解決問題：此題先提醒學(xué)生審清題意，思考如何構(gòu)造出圓的半徑及圓心o到弦ab的距離。在個人獨立思考建立圖形以后，進行小組交流、討論。最后各組派代表展示學(xué)習(xí)成果并說明理由，教師點撥，最后投影出完整解題步驟。 ⅱ 反思拓展：提問：在解答此題的過程中，你用到了幾個定理？
通過討論，使學(xué)生體會到：在解決有關(guān)弦、半徑（直徑）、圓心到弦的距離等問題時，通常是通過構(gòu)造直角三角形將垂徑定理和勾股定理結(jié)合起來。
然后，趁熱打鐵，通過三個難度不同的練習(xí)，進一步鞏固剛才討論得出的成果。
【 a組 在圓中某弦長為8cm，圓的直徑是10cm，則圓心到弦的距離是( 3 )cm b組 在圓o中弦cd＝24，圓心到弦cd的距離為5,則圓o的直徑是( 26 ) c組 若ab為圓o的直徑，弦cd⊥ab于e，ae＝16，be=4,則cd＝( 16 )】 ⅲ 分層評價：學(xué)生的認(rèn)知水平是不同的，所以我有意識的將題目按由易到難的順序分成了a、b、c三組，其中a組題是為學(xué)困生編寫的；b組題絕大多數(shù)同學(xué)應(yīng)該掌握；c組題難度稍大，但稍微動一動腦，也不是不能做出的，是為中上等同學(xué)準(zhǔn)備的。
需要說明的是：學(xué)生每做對一組題就可獲得一個滿分，教師此時巡視指導(dǎo)并及時評判各組當(dāng)中做完的同學(xué)，而且不管是誰只要做對了題，都可以為本組同學(xué)判題打分。這樣安排，使不同層次的學(xué)生都學(xué)有所得，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。
然后各組請代表說明解題思路。熱身之后，出示例3：
【例3、已知⊙o的直徑為4cm，弦ab=，求∠oab的度數(shù)】
1、選題意圖：在鞏固例2成果基礎(chǔ)之上，出示例3，是為了將解直角三角形與垂徑定理的知識銜接起來，使知識之間融匯貫通——你中有我，我中有你。
2、教學(xué)安排：
ⅰ 解決問題：提問：求角度問題，可否通過解直角三角形的問題解決？ 學(xué)生自然會聯(lián)想到構(gòu)造直角三角形，進而作出正確的輔助線。然后利用特殊角的三角函數(shù)值求出銳角的度數(shù)。學(xué)生展示成果后，教師出示完整解題格式，并追問：還有沒有其它的解題方法？此時 圓的軸對稱性可能有的學(xué)生通過得出弦心距的長度，利用在直角三角形中，若一條直角邊等于斜邊一半，則該直角邊所對角為30°，亦可。教師要給予充分的肯定和鼓勵性評價。然后再通過一道證明題，
【練習(xí)：已知如圖，在以o為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦ab交小圓于c、d兩點。 求證：ac=bd 】
再一次的鞏固垂徑定理及輔助線的做法。
ⅱ 反思拓展：在圓中，解有關(guān)弦的問題時，常常需要作出“垂直于弦的直徑”作為輔助線，實際上，往往只需從圓心作弦的垂線段。
（五）反思小結(jié)、布置作業(yè)
這個環(huán)節(jié)主要讓學(xué)生談?wù)劚竟?jié)課的收獲和體會。我根據(jù)情況適當(dāng)補充。然后仍按照學(xué)生層次布置分層作業(yè)。這樣最大限度的調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，使不同層次的學(xué)生都有所獲，在原有的基礎(chǔ)上得以發(fā)展、提高。
以上是我對本節(jié)課的說明，不妥之處，敬請專家、評委指正。謝謝大家！
垂徑定理教學(xué)設(shè)計教資篇八
各位專家、評委：
你們好！很高興能有機會參加這次活動，并得到您的指導(dǎo)。
我說課的題目是：圓的軸對稱性——垂徑定理及其推論。它是人教版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書《數(shù)學(xué)》九年級上冊第二十四章第一節(jié)的第二部分《垂直于弦的直徑》的內(nèi)容。。
這部分內(nèi)容教材安排了兩課時，其中第一課時講圓的軸對稱性，第二課時講圓的旋轉(zhuǎn)不變性。
結(jié)合我對教材的理解和我所任教班級學(xué)生的實際情況，我將圓的軸對稱性一課時內(nèi)容調(diào)整為兩課時，今天我所講的是第一課時——垂徑定理及其推論。
下面，我就從教學(xué)內(nèi)容，教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)方法與手段、教學(xué)過程設(shè)計等四個方面進行說明。
一、教學(xué)內(nèi)容的說明
教師只有對教材有較為準(zhǔn)確、深刻、本質(zhì)的理解，并從“假如我是學(xué)生”的角度審視學(xué)生的可接受性，才能處理好教材。
垂徑定理及其推論反映了圓的重要性質(zhì)，是證明線段相等、弧相等、垂直關(guān)系的重要依據(jù)，為進行圓的計算和作圖提供了重要依據(jù)，因此這部分內(nèi)容是學(xué)習(xí)的重點， 垂徑定理及其推論的題設(shè)和結(jié)論較為復(fù)雜，容易混淆，因此也是學(xué)習(xí)的難點。
鑒于這種理解，通覽教材，我確定出如下教學(xué)內(nèi)容：
(1)了解圓的軸對稱性。
(2) 弄清垂徑定理及其推論的題設(shè)和結(jié)論。 (3)運用垂徑定理及其推論進行有關(guān)的計算和證明。
(4)學(xué)會與垂徑定理有關(guān)的添加輔助線的方法。
垂徑定理教學(xué)設(shè)計教資篇九
正弦定理的教學(xué)設(shè)計
一教學(xué)內(nèi)容分析
正弦定理是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書數(shù)學(xué)(必修5)》(人教版)第一章第一節(jié)的主要內(nèi)容它既是初中解直角三角形內(nèi)容的直接延拓也是三角函數(shù)一般知識和平面向量等知識在三角形中的具體運用是解可轉(zhuǎn)化為三角形計算問題的其它數(shù)學(xué)問題及生產(chǎn)生活實際問題的重要工具因此具有廣泛的應(yīng)用價值。為什么要研究正弦定理?正弦定理是怎樣發(fā)現(xiàn)的?其證明方法是怎樣想到的?還有別的證法嗎?這些都是教材沒有回答而確實又是學(xué)生所關(guān)心的問題。
本節(jié)課是正弦定理教學(xué)的第一課時其主要任務(wù)是引入并證明正弦定理在課型上屬于定理教學(xué)課。因此做好正弦定理的教學(xué)不僅能復(fù)習(xí)鞏固舊知識使學(xué)生掌握新的有用的知識體會聯(lián)系發(fā)展等辯證觀點而且通過對定理的探究能使學(xué)生體驗到數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程進而培養(yǎng)學(xué)生提出問題解決問題等研究性學(xué)習(xí)的能力。
二學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析
學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了解直角三角形的內(nèi)容在必修4中又學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識和平面向量的有關(guān)內(nèi)容對解直角三角形三角函數(shù)平面向量已形成初步的知識框架這不僅是學(xué)習(xí)正弦定理的認(rèn)知基礎(chǔ)同時又是突破定理證明障礙的強有力的工具。正弦定理是關(guān)于任意三角形邊角關(guān)系的重要定理之一《課程標(biāo)準(zhǔn)》強調(diào)在教學(xué)中要重視定理的探究過程并能運用它解決一些實際問題可以使學(xué)生進一步了解數(shù)學(xué)在實際中的應(yīng)用從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣也為學(xué)習(xí)正弦定理提供一種親和力與認(rèn)同感。
三設(shè)計思想
培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)學(xué)會探究是全面發(fā)展學(xué)生能力的重要前提是高中新課程改革的主要任務(wù)。如何培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)學(xué)會探究呢?建構(gòu)主義認(rèn)為：知識不是被動吸收的而是由認(rèn)知主體主動建構(gòu)的。這個觀點從教學(xué)的角度來理解就是：知識不是通過教師傳授得到的而是學(xué)生在一定的情境中運用已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗并通過與他人(在教師指導(dǎo)和學(xué)習(xí)伙伴的幫助下)協(xié)作主動建構(gòu)而獲得的建構(gòu)主義教學(xué)模式強調(diào)以學(xué)生為中心視學(xué)生為認(rèn)知的主體教師只對學(xué)生的意義建構(gòu)起幫助和促進作用。本節(jié)正弦定理的教學(xué)將遵循這個原則而進行設(shè)計。
四教學(xué)目標(biāo)
1知識與技能：通過對任意三角形的邊與其對角的關(guān)系的探索掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法。
2過程與方法：讓學(xué)生從已有的`知識出發(fā),共同探究在任意三角形中邊與其對角的關(guān)系引導(dǎo)學(xué)生通過觀察歸納猜想證明由特殊到一般得到正弦定理等方法體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程。
3情感態(tài)度與價值觀：在平等的教學(xué)氛圍中通過學(xué)生之間師生之間的交流合作和評價實現(xiàn)共同探究教學(xué)相長的教學(xué)情境。
五教學(xué)重點與難點
重點：正弦定理的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)
難點：正弦定理的推導(dǎo)
教學(xué)準(zhǔn)備：制作多媒體課件學(xué)生準(zhǔn)備計算器直尺量角器。
六教學(xué)過程設(shè)計
（一）設(shè)置情境
教師：展示情景圖如圖1船從港口b航行到港口c測得bc的距離為
船在港口c卸貨后繼續(xù)向港口a航行由于船員的疏忽沒有測得ca距離如果船上有測角儀我們能否計算出ab的距離?
學(xué)生：思考提出測量角ac。
教師：若已知測得
如何計算ab兩地距離?
師生共同回憶解直角三角形①直角三角形中已知兩邊可以求第三邊及兩個角。②直角三角形中已知一邊和一角可以求另兩邊及第三個角。
教師引導(dǎo)：
是斜三角形能否利用解直角三角形精確計算ab呢?
設(shè)計意圖：興趣是最好的老師。如果一節(jié)課有良好的開頭那就意味著成功的一半。因此我通過從學(xué)生日常生活中的實際問題引入激發(fā)學(xué)生思維激發(fā)學(xué)生的求知欲引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題在解決問題后對特殊問題一般化得出一個猜測性的結(jié)論猜想培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般思想意識培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維能力。
（二）數(shù)學(xué)實驗驗證猜想
教師：給學(xué)生指明一個方向我們先通過特殊例子檢驗
是否成立舉出特例。
(1)在△abc中abc分別為
對應(yīng)的邊長a：b：c為1：1：1對應(yīng)角的正弦值分別為
引導(dǎo)學(xué)生考察
的關(guān)系。(學(xué)生回答它們相等)
(2)在△abc中abc分別為
對應(yīng)的邊長a：b：c為1：1：
對應(yīng)角的正弦值分別為
1;(學(xué)生回答它們相等)
(3)在△abc中abc分別為
對應(yīng)的邊長a：b：c為1：
：2對應(yīng)角的正弦值分別為
1。(學(xué)生回答它們相等)(圖3)
教師：對于
呢?
學(xué)生：思考交流得出如圖4在rt
abc中設(shè)bc=a,ac=b,ab=c,
則有
又
,
則
從而在直角三角形abc中
教師：那么任意三角形是否有
呢?
借助于電腦與多媒體利用《幾何畫板》軟件演示正弦定理教學(xué)課件。邊演示邊引導(dǎo)學(xué)生觀察三角形形狀的變化與三個比值的變化情況。
結(jié)論：
對于任意三角形都成立。
設(shè)計意圖：通過《幾何畫板》軟件的演示使學(xué)生對結(jié)論的認(rèn)識從感性逐步上升到理性。
（三）證明猜想得出定理
師生活動：
教師：我們雖然經(jīng)歷了數(shù)學(xué)實驗多媒體技術(shù)支持對任意的三角形如何用數(shù)學(xué)的思想方法證明
呢?前面探索過程對我們有沒有啟發(fā)?學(xué)生分組討論每組派一個代表總結(jié)。(以下證明過程根據(jù)學(xué)生回答情況進行敘述)
學(xué)生：思考得出
(1)在
中成立如前面檢驗。
(2)在銳角三角形中如圖5設(shè)
(3)在鈍角三角形中如圖6設(shè)
同銳角三角形證明可知
教師：我們把這條性質(zhì)稱為正弦定理：在一個三角形中各邊和它所對角的正弦的比相等即
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教師：還有其它證明方法嗎?
學(xué)生：思考得出分析圖形(圖7)對于任意△abc由初中所學(xué)過的面積公式可以得出：
而由圖中可以看出：
等式
中均除以
后可得
即
教師邊分析邊引導(dǎo)學(xué)生同時板書證明過程。
在剛才的證明過程中大家是否發(fā)現(xiàn)三角形高
三角形的面積：
能否得到新面積公式
學(xué)生：
得到三角形面積公式
設(shè)計意圖：經(jīng)歷證明猜想的過程進一步引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生利用已有的數(shù)學(xué)知識論證猜想力圖讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程。
（四）利用定理解決引例
師生活動：
教師：現(xiàn)在大家再用正弦定理解決引例中提出的問題。
學(xué)生：馬上得出
在
中
（五）了解解三角形概念
設(shè)計意圖：讓學(xué)生了解解三角形概念形成知識的完整性。
教師：一般地把三角形的三個角
和它們的對邊
叫做三角形的元素已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形。
設(shè)計意圖：利用正弦定理重新解決引例讓學(xué)生體會用新的知識新的定理解決問題更方便更簡單激發(fā)學(xué)生不斷探索新知識的欲望。
（六）運用定理解決例題
師生活動：
教師：引導(dǎo)學(xué)生從分析方程思想分析正弦定理可以解決的問題。
學(xué)生：討論正弦定理可以解決的問題類型：
(1)如果已知三角形的任意兩個角與一邊求三角形的另一角和另兩邊如
;
(2)如果已知三角形任意兩邊與其中一邊的對角求另一邊與另兩角如
。
師生：例1的處理先讓學(xué)生思考回答解題思路教師板書讓學(xué)生思考主要是突出主體教師板書的目的是規(guī)范解題步驟。
例1：在
中已知
解三角形。
分析已知三角形中兩角及一邊求其他元素第一步可由三角形內(nèi)角和為
求出第三個角c再由正弦定理求其他兩邊。
例2：在
中已知
解三角形。
例2的處理目的是讓學(xué)生掌握分類討論的數(shù)學(xué)思想可先讓中等學(xué)生講解解題思路其他同學(xué)補充交流。
學(xué)生：反饋練習(xí)(教科書第5頁的練習(xí))
用實物投影儀展示學(xué)生中解題步驟規(guī)范的解答。
設(shè)計意圖：自己解決問題提高學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情和動力使學(xué)生體驗到成功的愉悅感變要我學(xué)為我要學(xué)我要研究的主動學(xué)習(xí)。
（七）嘗試小結(jié)：
教師：提示引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容。
學(xué)生：思考交流歸納總結(jié)。
師生：讓學(xué)生嘗試小結(jié)教師及時補充要體現(xiàn)：
(1)正弦定理的內(nèi)容(
)及其證明思想方法。
(2)正弦定理的應(yīng)用范圍：①已知三角形中兩角及一邊求其他元素;②已知三角形中兩邊和其中一邊所對的角求其他元素。
(3)分類討論的數(shù)學(xué)思想。
設(shè)計意圖：通過學(xué)生的總結(jié)培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)能力和語言表達能力。
（八）作業(yè)設(shè)計
作業(yè)：第10頁[習(xí)題1.1]a組第12題。
垂徑定理教學(xué)設(shè)計教資篇十
《垂徑定理》九年級數(shù)學(xué)上冊教學(xué)反思
“垂徑定理”是圓的重要性質(zhì)之一，也是全章的基礎(chǔ)之一，在整章中占有舉足輕重的地位，是今后研究圓與其他圖形位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)，這些知識在日常生活和生產(chǎn)中有廣泛的應(yīng)用。由于垂徑定理及其推論反映了圓的重要性質(zhì)，是證明線段相等、角相等、垂直關(guān)系的重要依據(jù)，因此，它是整節(jié)書的重點及難點。
對本節(jié)課的教學(xué)我有以下幾點反思：
1、本節(jié)課主要有兩方面的內(nèi)容：一是圓的軸對稱性，二是垂徑定理及其推論。開始以趙州橋的問題引入課題，帶著問題進行學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)有目標(biāo)，圓的軸對稱性主要是通過動手操作得出結(jié)論，圓是軸對稱圖形，根據(jù)軸對稱性進一步研究圓中相等的弦，弧得出垂徑定理及其推論。利用此定理再去解決趙州橋問題，每一個環(huán)節(jié)都是環(huán)環(huán)相扣，不是孤立存在的。
2.在數(shù)學(xué)教學(xué)中,語言的嚴(yán)密性，邏輯性很重要的,而我在課堂上,尤其是知識點的聯(lián)系方面的引導(dǎo)詞,結(jié)論的表述，更加需要再努力鉆研.今后我將在這方面下工夫,在去聽其他數(shù)學(xué)老師的課時,要注意其他老師在知識點同知識點之間的過渡語句.
3在教案設(shè)計方面,在時間上把握得不夠準(zhǔn)確。有點前松后緊。前面在復(fù)習(xí)的部分應(yīng)該加些關(guān)于勾股定理的計算的題目,使學(xué)生在后面解直角三角形時能夠更加快,更熟練;在多媒體中，題目的梯度設(shè)計雖然很好但時間緊練習(xí)題量太小。
4，其實這節(jié)課還有個作圖思想要灌輸給學(xué)生,即教學(xué)生如果見到弦心距,弦,那么直接連半徑構(gòu)成直角三角形;如果就是只知道一條弦的題目,就要連弦心距都要作出來,應(yīng)加強兩種題目的訓(xùn)練。.
通過反思這一課的課堂教學(xué)，我認(rèn)識到要善于處理好教學(xué)中知識傳授與能力培養(yǎng)的關(guān)系，巧妙地引導(dǎo)學(xué)生解決生活中的數(shù)學(xué)問題。不斷地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與主動性，培養(yǎng)學(xué)生思維能力、想象力和創(chuàng)新精神，使每個學(xué)生的身心都能得到充分的發(fā)展。這些問題給了我一個今后的努力的方向.在今后的教學(xué)中,我會更加努力。
垂徑定理教學(xué)設(shè)計教資篇十一
一、教學(xué)內(nèi)容分析
本節(jié)內(nèi)容安排在《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書?數(shù)學(xué)必修5》（北師大版）第二章，正弦定理第一課時，是在高一學(xué)生學(xué)習(xí)了三角等知識之后，顯然是對三角知識的應(yīng)用；同時，作為三角形中的一個定理，也是對初中解直角三角形內(nèi)容的直接延伸，因而定理本身的應(yīng)用又十分廣泛。
根據(jù)實際教學(xué)處理，正弦定理這部分內(nèi)容共分為三個層次：第一層次教師通過引導(dǎo)學(xué)生對實際問題的探索，并大膽提出猜想；第二層次由猜想入手，帶著疑問，以及特殊三角形中邊角的關(guān)系的驗證，通過“作高法”、“等積法”、“外接圓法”、“ 向量法”等多種方法證明正弦定理，驗證猜想的正確性，并得到三角形面積公式；第三層次利用正弦定理解決引例，最后進行簡單的應(yīng)用。學(xué)生通過對任意三角形中正弦定理的探索、發(fā)現(xiàn)和證明，感受“觀察――實驗――猜想――證明――應(yīng)用”這一思維方法，養(yǎng)成大膽猜想、善于思考的品質(zhì)和勇于求真的精神。
二、學(xué)情分析
布魯納指出，學(xué)生不是被動的、消極的知識的接受者，而是主動的、積極的知識的探究者。教師的作用是創(chuàng)設(shè)學(xué)生能夠獨立探究的情境，引導(dǎo)學(xué)生去思考，參與知識獲得的過程。因此，做好“余弦定理”的教學(xué)，不僅能復(fù)習(xí)鞏固舊知識，使學(xué)生掌握新的有用的知識，體會聯(lián)系、發(fā)展等辯證觀點，而且能培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識和實踐操作能力，以及提出問題、解決問題等研究性學(xué)習(xí)的能力。
三、設(shè)計思想：
《正弦定理》一課教學(xué)模式和策略設(shè)計就是想讓素質(zhì)教育如何落實在課堂教學(xué)的每一個環(huán)節(jié)上進行一些探索和研究。旨在通過學(xué)生自己的思維活動獲取數(shù)學(xué)知識，提高學(xué)生基礎(chǔ)性學(xué)力(基礎(chǔ)能力)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)展性學(xué)力(培養(yǎng)終身學(xué)習(xí)能力)，誘發(fā)學(xué)生創(chuàng)造性學(xué)力(提高應(yīng)用能力)，最終達到素質(zhì)教育目的。為此，我在設(shè)計這節(jié)課時，采用問題開放式課堂教學(xué)模式，以學(xué)生參與為主，教師啟發(fā)、點撥的課堂教學(xué)策略。通過設(shè)置開放性問題，問題的層次性推進和教師啟發(fā)、點撥發(fā)展學(xué)生有效思維，提高數(shù)學(xué)能力，達到上述三種學(xué)力的提高、培養(yǎng)和誘發(fā)。以學(xué)生參與為主，教師啟發(fā)、點撥教學(xué)策略是體現(xiàn)以學(xué)生發(fā)展為本的現(xiàn)代教育觀，在開放式討論過程中，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)能力，發(fā)展學(xué)生的各種數(shù)學(xué)需要，使其獲得終身受用的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)能力和創(chuàng)造才能。建構(gòu)主義強調(diào)，學(xué)生并不是空著腦袋走進教室的。在日常生活中，在以往的學(xué)習(xí)中，他們已經(jīng)形成了豐富的經(jīng)驗，小到身邊的衣食住行，大到宇宙、星體的運行，從自然現(xiàn)象到社會生活，他們幾乎都有一些自己的看法。而且，有些問題即使他們還沒有接觸過，沒有現(xiàn)成的經(jīng)驗，但當(dāng)問題一旦呈現(xiàn)在面前時，他們往往也可以基于相關(guān)的經(jīng)驗，依靠他們的認(rèn)知能力，形成對問題的某種解釋。而且，這種解釋并不都是胡亂猜測，而是從他們的經(jīng)驗背景出發(fā)而推出的合乎邏輯的假設(shè)。所以，教學(xué)不能無視學(xué)生的這些經(jīng)驗，另起爐灶，從外部裝進新知識，而是要把學(xué)生現(xiàn)有的知識經(jīng)驗作為新知識
的生長點，引導(dǎo)學(xué)生從原有的知識經(jīng)驗中“生長”出新的知識經(jīng)驗。
為此我們根據(jù)“問題教學(xué)”模式，沿著“設(shè)置情境--提出問題--解決問題--反思應(yīng)用”這條主線，把從情境中探索和提出數(shù)學(xué)問題作為教學(xué)的出發(fā)點，以“問題”為主線組織教學(xué)，形成以提出問題與解決問題相互引發(fā)攜手并進的“情境--問題”學(xué)習(xí)鏈，使學(xué)生真正成為提出問題和解決問題的主體，成為知識的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，使教學(xué)過程成為學(xué)生主動獲取知識、發(fā)展能力、體驗數(shù)學(xué)的過程。
根據(jù)上述精神，做出了如下設(shè)計：
1、創(chuàng)設(shè)一個現(xiàn)實問題情境作為提出問題的背景；
2、啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生提出自己關(guān)心的現(xiàn)實問題，逐步將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化、抽象成過渡性數(shù)學(xué)問題，解決過渡性問題時需要使用正弦定理，借此引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，揭示解斜三角形的必要性，并使學(xué)生產(chǎn)生進一步探索解決問題的動機。然后引導(dǎo)學(xué)生抓住問題的數(shù)學(xué)實質(zhì)，將過渡性問題引伸成一般的數(shù)學(xué)問題：已知三角形的兩條邊和一邊的對角，求另一邊的對角及第三邊。解決這兩個問題需要先回答目標(biāo)問題：在三角形中，兩邊與它們的對角之間有怎樣的關(guān)系？
3、為了解決提出的目標(biāo)問題，引導(dǎo)學(xué)生回到他們所熟悉的直角三角形中，得出目標(biāo)問題在直角三角形中的解，從而形成猜想，然后引導(dǎo)學(xué)生對猜想進行驗證。
四、教學(xué)目標(biāo)：
1．讓學(xué)生從已有的幾何知識出發(fā), 通過對任意三角形邊角關(guān)系的探索，共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，實驗，猜想，驗證，證明，由特殊到一般歸納出正弦定理，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法，理解三角形面積公式，并學(xué)會運用正弦定理解決解斜三角形的兩類基本問題。
2．通過對實際問題的探索，培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，增強學(xué)生的協(xié)作能力和交流能力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的能力。
3．通過學(xué)生自主探索、合作交流，親身體驗數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、善于發(fā)現(xiàn)、不畏艱辛的創(chuàng)新品質(zhì)，增強學(xué)習(xí)的成功心理，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。
4．培養(yǎng)學(xué)生合情合理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思想方法，通過平面幾何、三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。
五、教學(xué)重點與難點
教學(xué)重點：正弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明；正弦定理的簡單應(yīng)用。
教學(xué)難點：正弦定理的猜想提出過程。
六教學(xué)過程
1、設(shè)置情境
利用投影展示：一條河的兩岸平行，河寬d=1km，因上游突發(fā)洪水，在洪峰到來之前，急需將碼頭a處囤積的重要物資及人員用船轉(zhuǎn)運到正對岸的碼頭b處或其下游1 km的碼頭c處。已知船在靜水中的速度ovlo= 5 kmmh，水流速度ov2o=3 kmmh。
2、提出問題
師：為了確定轉(zhuǎn)運方案，請同學(xué)們設(shè)身處地地考慮一下有關(guān)的問題，將各自的問題經(jīng)小組(前后4人為一小組)匯總整理后交給我。
待各小組將題紙交給老師后，老師篩選幾張有代表性的題紙通過投影向全班展示，經(jīng)大家歸納整理后得到如下的5個問題：
(l)船應(yīng)開往b處還是c處？
(2)船從a開到b、c分別需要多少時間？
(3)船從a到b、c的距離分別是多少？
(4)船從a到b、c時的速度大小分別是多少？
(5)船應(yīng)向什么方向開，才能保證沿直線到達b、c？
師：大家討論一下，應(yīng)該怎樣解決上述問題？
大家經(jīng)過討論達成如下共識：要回答問題(l)，需要解決問題(2)，要解決問題(2)，需要先解決問題(3)和(4)，問題(3)用直角三角形知識可解，所以重點是解決問題(4)，問題(4)與問題(5)是兩個相關(guān)問題，因此，解決上述問題的關(guān)鍵是解決問題(4)和(5)。
師：請同學(xué)們根據(jù)平行四邊形法則，先在練習(xí)本上做出與問題對應(yīng)的示意圖，明確已知什么，要求什么，怎樣求解。
生：船從a開往b的情況如圖2，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及解直角三角形的知識，可求得船在河水中的速度大小ovo及vl與v2的夾角θ：
生：船從a開往c的情況如圖3，oado=ov1o= 5，odeo=oafo=ov2o=3，易求得∠aed =∠eaf = 450，還需求θ及v。我不知道怎樣解這兩個問題，因為以前從未解過類似的問題。
師：請大家想一下，這兩個問題的數(shù)學(xué)實質(zhì)是什么？
部分學(xué)生：在三角形中，已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角和第三邊。
師：請大家討論一下，如何解決這兩個問題？
生：在已知條件下，若能知道三角形中兩條邊與其對角這4個元素之間的數(shù)量關(guān)系，則可以解決上述問題，求出另一邊的對角。
生：如果另一邊的對角已經(jīng)求出，那么第三個角也能夠求出。只要能知道三角形中兩條邊與其對角這4個元素的數(shù)量關(guān)系，則第三邊也可求出。
生：在已知條件下，如果能知道三角形中三條邊和一個角這4個元素之間的數(shù)量關(guān)系，也能求出第三邊和另一邊的對角。
師：同學(xué)們的設(shè)想很好，只要能知道三角形中兩邊與它們的對角間的數(shù)量關(guān)系，或者三條邊與一個角間的數(shù)量關(guān)系，則兩個問題都能夠順利解決。下面我們先來解答問題：三角形中，任意兩邊與其對角之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？
3、解決問題
師：請同學(xué)們想一想，我們以前遇到這種一般問題時，是怎樣處理的？
眾學(xué)生：先從特殊事例入手，尋求答案或發(fā)現(xiàn)解法。直角三角形是三角形的特例，可以先在直角三角形中試探一下。
師：請各小組研究在rt△abc中，任意兩邊及其對角這4個元素間有什么關(guān)系？
多數(shù)小組很快得出結(jié)論：a／sina = b／sinb = c／sinc。
師：a／sina = b／sinb = c／sinc在非rt△abc中是否成立？
眾學(xué)生：不一定，可以先用具體例子檢驗。若有一個不成立，則否定結(jié)論；若都成立，則說明這個結(jié)論很可能成立，再想辦法進行嚴(yán)格的證明。
師：這是個好主意。請每個小組任意做出一個非rt△abc，用量角器和刻度尺量出各邊的長和各角的大小，用計算器作為計算工具，具體檢驗一下，然后報告檢驗結(jié)果。
幾分鐘后，多數(shù)小組報告結(jié)論成立，只有一個小組因測量和計算誤差，得出否定的結(jié)論。教師在引導(dǎo)學(xué)生找出失誤的原因后指出：此關(guān)系式在任意△abc中都能成立，請大家先考慮一下證明思路。
生：想法將問題轉(zhuǎn)化成直角三角形中的問題進行解決。
生：因為要證明的是一個等式，所以應(yīng)先找到一個可以作為證明基礎(chǔ)的等量關(guān)系。
師：在三角形中有哪些可以作為證明基礎(chǔ)的等量關(guān)系呢？
學(xué)生七嘴八舌地說出一些等量關(guān)系，經(jīng)討論后確定如下一些與直角三角形有關(guān)的等量關(guān)系可能有利用價值：1、三角形的面積不變；2、三角形同一邊上的高不變；3、三角形外接圓直徑不變。
師：據(jù)我所知，從ac+cb=ab出發(fā)，也能證得結(jié)論，請大家討論一下。
生：要想辦法將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系。
生：利用向量的數(shù)量積運算可將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系。
生：還要想辦法將有三個項的關(guān)系式轉(zhuǎn)化成兩個項的關(guān)系式。
生：因為兩個垂直向量的數(shù)量積為0，可考慮選一個與三個向量中的一個向量(如向量ac)垂直的向量與向量等式的兩邊分別作數(shù)量積。
師：同學(xué)們通過自己的努力，發(fā)現(xiàn)并證明了正弦定理。正弦定理揭示了三角形中任意兩邊與其對角的關(guān)系，請大家留意身邊的事例，正弦定理能夠解決哪些問題。
4.運用定理，解決例題
師生活動：
教師：引導(dǎo)學(xué)生從分析方程思想分析正弦定理可以解決的問題。
學(xué)生：討論正弦定理可以解決的問題類型：
①如果已知三角形的任意兩個角與一邊，求三角形的另一角和另兩邊，如 ；
②如果已知三角形任意兩邊與其中一邊的對角，求另一邊與另兩角，如 。
師生：例1的處理，先讓學(xué)生思考回答解題思路，教師板書，讓學(xué)生思考主要是突出主體，教師板書的目的是規(guī)范解題步驟。
例1：在 中，已知 ， ， ，解三角形。
分析“已知三角形中兩角及一邊，求其他元素”，第一步可由三角形內(nèi)角和為 求出第三個角∠c，再由正弦定理求其他兩邊。
例2：在 中，已知 ， ， ，解三角形。
例2的處理，目的是讓學(xué)生掌握分類討論的數(shù)學(xué)思想，可先讓中等學(xué)生講解解題思路，其他同學(xué)補充交流
5. 反饋練習(xí)（教科書第5頁的練習(xí)）
6.嘗試小結(jié)：
教師：提示引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容。
學(xué)生：思考交流，歸納總結(jié)。
師生：讓學(xué)生嘗試小結(jié)，教師及時補充，要體現(xiàn)：
（1）正弦定理的內(nèi)容（ ）及其證明思想方法。
（2）正弦定理的應(yīng)用范圍：①已知三角形中兩角及一邊，求其他元素；②已知三角形中兩邊和其中一邊所對的角，求其他元素。
（3）分類討論的數(shù)學(xué)思想。
7.作業(yè)設(shè)計
作業(yè)：第10頁[習(xí)題1.1]a組第1、2題。
七.教學(xué)反思
在本課的教學(xué)中，教師立足于所創(chuàng)設(shè)的情境，通過學(xué)生自主探索、合作交流，親身經(jīng)歷了提出問題、解決問題、應(yīng)用反思的過程，學(xué)生成為正弦定理的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，切身感受了創(chuàng)造的苦和樂，知識目標(biāo)、能力目標(biāo)、情感目標(biāo)均得到了較好的落實。
創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境是這種教學(xué)模式的基礎(chǔ)環(huán)節(jié)，教師必須對學(xué)生的身心特點、知識水平、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)等因素進行綜合考慮，對可用的情境進行比較，選擇具有較好的教育功能的情境。這種教學(xué)模式主張以問題為連線組織教學(xué)活動，以學(xué)生作為提出問題的主體，因此，如何引導(dǎo)學(xué)生提出問題是教學(xué)成敗的關(guān)鍵。教學(xué)實驗表明，學(xué)生能否提出數(shù)學(xué)問題，不僅受其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、生活經(jīng)歷、學(xué)習(xí)方式等自身因素的影響，還受其所處的環(huán)境、教師對提問的態(tài)度等外在因素的制約。因此，教師不僅要注重創(chuàng)設(shè)適宜的數(shù)學(xué)情境，而且要真正轉(zhuǎn)變對學(xué)生提問的態(tài)度，提高引導(dǎo)水平，一方面要鼓勵學(xué)生大膽地提出問題，另一方面要妥善處理學(xué)生提出的問題。教師還要積極引導(dǎo)學(xué)生對所提的問題進行分析、整理，篩選出有價值的問題，注意啟發(fā)學(xué)生揭示問題的數(shù)學(xué)實質(zhì)，將提問引向深入.
[正弦定理概念教學(xué)設(shè)計]
垂徑定理教學(xué)設(shè)計教資篇十二
一、教學(xué)內(nèi)容分析
本節(jié)課是高一數(shù)學(xué)第五章《三角比》第三單元中正弦定理的第一課時，它既是初中“解直角三角形”內(nèi)容的直接延拓，也是坐標(biāo)法等知識在三角形中的具體運用，是生產(chǎn)、生活實際問題的重要工具，正弦定理揭示了任意三角形的邊角之間的一種等量關(guān)系，它與后面的余弦定理都是解三角形的重要工具。
本節(jié)課其主要任務(wù)是引入證明正弦定理及正弦定理的基本應(yīng)用，在課型上屬于“定理教學(xué)課”。因此，做好“正弦定理”的教學(xué)，不僅能復(fù)習(xí)鞏固舊知識，使學(xué)生掌握新的有用的知識，體會聯(lián)系、發(fā)展等辯證觀點，學(xué)生通過對定理證明的探究和討論，體驗到數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，進而培養(yǎng)學(xué)生提出問題、解決問題等研究性學(xué)習(xí)的能力。
二、學(xué)情分析
對高一的學(xué)生來說，一方面已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面幾何，解直角三角形，任意角的三角比等知識，具有一定觀察分析、解決問題的能力;但另一方面對新舊知識間的聯(lián)系、理解、應(yīng)用往往會出現(xiàn)思維障礙，思維靈活性、深刻性受到制約。根據(jù)以上特點，教師恰當(dāng)引導(dǎo)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)主動性，注意前后知識間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生直接參與分析問題、解決問題。
三、設(shè)計思想：
培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)、學(xué)會探究是全面發(fā)展學(xué)生能力的重要方面，也是高中新課程改革的主要任務(wù)。如何培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)、學(xué)會探究呢?建構(gòu)主義認(rèn)為：“知識不是被動吸收的，而是由認(rèn)知主體主動建構(gòu)的?！边@個觀點從教學(xué)的角度來理解就是：知識不僅是通過教師傳授得到的，更重要的是學(xué)生在一定的情境中，運用已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，并通過與他人(在教師指導(dǎo)和學(xué)習(xí)伙伴的幫助下)協(xié)作，主動建構(gòu)而獲得的，建構(gòu)主義教學(xué)模式強調(diào)以學(xué)生為中心，視學(xué)生為認(rèn)知的主體，教師只對學(xué)生的意義建構(gòu)起幫助和促進作用。本節(jié)“正弦定理”的教學(xué)，將遵循這個原則而進行設(shè)計。
四、教學(xué)目標(biāo)：
1、在創(chuàng)設(shè)的問題情境中，讓學(xué)生從已有的幾何知識和處理幾何圖形的常用方法出發(fā)，探索和證明正弦定理，體驗坐標(biāo)法將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題的優(yōu)越性，感受數(shù)學(xué)論證的嚴(yán)謹(jǐn)性.
2、理解三角形面積公式，能運用正弦定理解決三角形的兩類基本問題，并初步認(rèn)識用正弦定理解三角形時，會有一解、兩解、無解三種情況。
3、通過對實際問題的探索，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識既來源于生活，又服務(wù)與生活。
五、教學(xué)重點與難點
教學(xué)重點：正弦定理的探索與證明;正弦定理的基本應(yīng)用。
教學(xué)難點：正弦定理的探索與證明。
突破難點的手段：抓知識選擇的切入點，從學(xué)生原有的認(rèn)知水平和所需的知識特點入手，教師在學(xué)生
主體下給于適當(dāng)?shù)奶崾竞椭笇?dǎo)。
六、復(fù)習(xí)引入：
1.在任意三角形行中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關(guān)系?是否可以把邊、角關(guān)系準(zhǔn)確量化?
2.在abc中，角a、b、c的正弦對邊分別是a,b,c，你能發(fā)現(xiàn)它們之間有什么關(guān)系嗎?
結(jié)論：
證明：(向量法)過a作單位向量j垂直于ac，由ac+cb=ab邊同乘以單位向量。
正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等。
垂徑定理教學(xué)設(shè)計教資篇十三
《三垂線定理》教學(xué)設(shè)計
一、教學(xué)目標(biāo)：
1．認(rèn)知目標(biāo)：
掌握三垂線定理及其逆定理
(1) ?定理的證明
(2) ?定理的應(yīng)用
2．能力目標(biāo)：(1)能夠利用“線線垂直”→“線面垂直”及
“線面垂直”→“線線垂直”
(2)能夠熟練的想象出“線線”、“線面”間的位置關(guān)系
3．情感目標(biāo)：(1)通過自己發(fā)現(xiàn),探索,找出結(jié)論,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣;
(2)培養(yǎng)學(xué)生主動探求、發(fā)現(xiàn)的精神。
二、重點、難點：
本節(jié)課重點是三垂線定理及逆定理的證明及初步應(yīng)用
本節(jié)課難點是三垂線定理及逆定理中各線、面的作用
三、對象分析及教學(xué)設(shè)計：
該班學(xué)生基礎(chǔ)中等，有一定的分析問題、解決問題的能力，但積極性不夠。同時解決問題的能力有限,對于一些問題需要及時強化鞏固?？紤]用多媒體技術(shù)來激發(fā)學(xué)生的主動性，使他們能夠積極的投入到學(xué)習(xí)中去，自主去感受。使學(xué)習(xí)者個體自我潛能得到真正有意義的開發(fā)和發(fā)展。
四、網(wǎng)絡(luò)教學(xué)環(huán)境設(shè)計：
在多媒體網(wǎng)絡(luò)教室實施教學(xué),學(xué)生機上都裝有《幾何畫板》4.03及本課件，使得每個學(xué)生都能通過自己的操作體會到線線、線面之間的位置關(guān)系。同時教師又能控制學(xué)生的電腦，能夠進行課件的演示。
五、教學(xué)過程設(shè)計與分析：
教學(xué)過程
設(shè)計思路及多媒體應(yīng)用分析
[復(fù)習(xí)]
線線垂直的定義及線面垂直的定義
在計算機上，學(xué)生自己瀏覽和復(fù)習(xí)
演示斜線及斜線在平面上的射影
[提出問題、引入］
已知一平面α和平面的一斜線pa，在平面內(nèi)有沒有直線與已知直線垂直,如果沒有,請說明理由;如有,找出其中一條.
由于前面復(fù)習(xí)時演示了斜線及斜線在平面上的射影,在計算機上演示直線和平面,通過線面之間圖形的旋轉(zhuǎn),讓學(xué)生體會線面之間的關(guān)系,學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)結(jié)論
[學(xué)生回答]
[學(xué)生1]在平面內(nèi)和斜線在平面上的射影垂直的直線是滿足條件的直線
[學(xué)生2]一定嗎?
學(xué)生2提出疑問,可以讓學(xué)生自己在電腦上拖動直線a,觀察是否始終和直線pa垂直.
[教師演示]
顯示平面的垂線,斜線在平面上的射影,旋轉(zhuǎn)平面的位置,移動直線a的位置.
在整個動態(tài)變化過程中,讓學(xué)生體會它們之間的關(guān)系
[提問]
如何進行證明此結(jié)論呢?
[學(xué)生分析完成證明]
在電腦上打出證明過程.
[講解]此定理為三垂線定理,
垂徑定理教學(xué)設(shè)計教資篇一
本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是使學(xué)生理解圓的軸對稱性，掌握垂徑定理，并學(xué)會運用垂徑定理解決有關(guān)弦、弧、弦心距以及半徑之間的證明和計算問題。垂徑定理是圓的軸對稱性的重要體現(xiàn)，是今后解決有關(guān)計算、證明和作圖問題的重要依據(jù)，它有著廣泛的應(yīng)用，因此，本節(jié)課的教學(xué)重點是：垂徑定理及其應(yīng)用。垂徑定理的推導(dǎo)利用了圓的軸對稱性，它是一種運動變換，這種證明方法學(xué)生不常用到，與嚴(yán)格的邏輯推理比較，在證明的表述上學(xué)生會發(fā)生困難，因此垂徑定理的推導(dǎo)是本節(jié)課的難點。這節(jié)課我通過七個環(huán)節(jié)來完成本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，采用了類比，啟發(fā)等教學(xué)方法。
圓是軸對稱圖形，每一條直徑所在的直線都是對稱軸。這點學(xué)生理解的很好。
根據(jù)這個性質(zhì)先按課本進行合作學(xué)習(xí)
1.任意作一個圓和這個圓的任意一條直徑cd；
2.作一條和直徑cd的垂線的弦，ab與cd相交于點e.
提出問題：把圓沿著直徑cd所在的直線對折，你發(fā)現(xiàn)哪些點、線段、圓弧重合？
在學(xué)生探索的基礎(chǔ)上，得出結(jié)論：（先介紹弧相等的概念）
①ea=eb；②ac=bc，ad=bd.
理由如下：∵∠oea=∠oeb=rt∠，根據(jù)圓的軸軸對稱性，可得射線ea與eb重合，
∴點a與點b重合，弧ac和弧bc重合，弧ad和弧bd重合。
∴ea=eb，ac=bc，ad=bd.
然后把此結(jié)論歸納成命題的形式：
垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的`弧。
垂徑定理的幾何語言
∵cd為直徑，cd⊥ab（oc⊥ab）
∴ea=eb，ac=bc，ad=bd.
在學(xué)生掌握了垂徑定理后，及時應(yīng)用定理畫圖和解決實際問題，練習(xí)由基礎(chǔ)到提高，層層深入，學(xué)生很有興趣。做完題目后總計解題的主要方法：
（1）畫弦心距是圓中常見的輔助線；
（2）半徑（r）、半弦、弦心距（d）組成的直角三角形是研究與圓有關(guān)問題的主要思路，它們之間的關(guān)系：弦長
本節(jié)課不足之處是在處理垂徑定理的推論時，應(yīng)歸納相關(guān)垂徑定理的五個元素：直徑、弦中點、垂直、優(yōu)弧中點、劣弧中點的規(guī)律：“知二得三”。鼓勵學(xué)生積極探討符合垂徑定理以外的所有推論，以增長學(xué)生的知識面及提高學(xué)生的探究水平。
垂徑定理教學(xué)設(shè)計教資篇二
首先講下這節(jié)課，我的一些思路：
在教學(xué)方法與教材處理方面，根據(jù)現(xiàn)在的教材特點，教學(xué)內(nèi)容以及在新課標(biāo)理念的指導(dǎo)下，最后決定讓學(xué)生在課堂上多動手、多觀察、多交流，最后得出定理，這個方法符合新課程理念觀點，也符合教師的主導(dǎo)作用與學(xué)生的主體地位相統(tǒng)一的原則。
同時，在教學(xué)中，我充分利用教具和投影儀，提高教學(xué)效率。在實驗，演示，操作，觀察，練習(xí)等師生的共同活動中啟發(fā)學(xué)生，培養(yǎng)學(xué)生直覺思維能力，結(jié)合學(xué)生實際情況作適當(dāng)?shù)耐貜V。
我參加這次教學(xué)技能大賽，獲益良多主要體現(xiàn)在以下幾個方面：
（1）在數(shù)學(xué)教學(xué)中，一些結(jié)論的表述是很重要的，而我在這節(jié)課上有些表述確實不是很正確；而且我在課堂上，尤其是知識點的聯(lián)系方面的引導(dǎo)詞，更加需要再努力鉆研。今后我將在這方面下工夫，在去聽其他數(shù)學(xué)老師的課時，要注意其他老師在知識點同知識點之間的過渡語句。
（2）一些該讓學(xué)生知道的知識點，講得不夠透徹。如cd是直徑，其實應(yīng)該可以拓展為過圓心的直線（要多強調(diào)，而不是一筆帶過）；不能夠用數(shù)量關(guān)系求的，應(yīng)該要適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生設(shè)未知數(shù)。而不是直接告訴學(xué)生這種題目就是要設(shè)未知數(shù)。同樣在已知一條邊，不夠條件求解時，也要引導(dǎo)學(xué)生利用未知數(shù)來解題的這種題目，引導(dǎo)得不夠，或者話引導(dǎo)得不夠深刻，學(xué)生就會覺得是老師直接將知識倒向他，而他不一定能接受。
（3）在學(xué)案設(shè)計方面，在時間上把握得不夠準(zhǔn)確，設(shè)計的學(xué)案內(nèi)容太多，在這節(jié)課上如果估計過量已經(jīng)足夠的話，垂徑定理的推論其實可以放在下節(jié)課。這樣就不會使得后面講推論的時間太短，太倉促。前面復(fù)習(xí)用的時間太長，在復(fù)習(xí)的部分應(yīng)該多加些關(guān)于勾股定理的計算的題目，使學(xué)生在后面解直角三角形時能夠更加快，更熟練；而學(xué)案中練習(xí)題的量太少，而且是題型太單一，可以再做多些找相等的量的基礎(chǔ)訓(xùn)練，對b班的學(xué)生更加熟悉垂徑定理，基礎(chǔ)題目的掌握對b班大有好處。
（4）其實這節(jié)課還有個作圖思想要灌輸比學(xué)生，即是教學(xué)生如果見到弦心距，弦，那么直接連半徑構(gòu)成直角三角形；如果就是只知道一條弦的題目，就要邊弦心距都要作出來，而這兩種題目我的訓(xùn)練都不到位。
（5）還有其他很多問題：例題的講解不夠詳細，深刻。給學(xué)生思考的時間不夠；題目的梯度設(shè)計得不是很好……
最后，這些失誤給了我一個今后的努力的方向。在今后的學(xué)習(xí)中，我努力鉆研教材改正自己缺點。
垂徑定理教學(xué)設(shè)計教資篇三
垂直于弦的直徑也叫垂經(jīng)定理，是初中九年級人教版第二十四章第2節(jié)內(nèi)容，它是圓中有關(guān)計算方面比較重要的一節(jié)。
本節(jié)課主要經(jīng)過了三個環(huán)節(jié)：第一個環(huán)節(jié)是讓學(xué)生通過折自制的圓形圖片得出圓是軸對稱圖形，每一條經(jīng)過圓心的直線都是它的對稱軸，它有無數(shù)條對稱軸。第二個環(huán)節(jié)是讓學(xué)生通過探究得出垂經(jīng)定理的內(nèi)容。第三個環(huán)節(jié)是利用垂經(jīng)定理解決有關(guān)方面的計算。其中，第二個環(huán)節(jié)是本節(jié)課的重點，也是我這節(jié)課的一個亮點。具體經(jīng)過以下5個步驟：
（1）讓學(xué)生拿出自己手中的圓形圖片對折圓，找出圓心。（學(xué)生 很感興趣，有些同學(xué)折的 是兩條互相垂直的直徑得出圓心，有些同學(xué)折的是兩條斜交的直徑得出圓心，但方法都很好。 ）
（2）讓兩條互相垂直的直徑其中一條不動，另一條直徑向下平移，變成一條普通的弦，并且和原來的一條直徑仍然保持垂直關(guān)系。
（3）讓學(xué)生在自己的圖片上畫出與直徑垂直的弦，并讓他們把圓形圖片沿直徑對折，問學(xué)生會發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？（平分弦，也平分弦所對的兩條?。?BR> （4）問學(xué)生在什么樣條件下得出這些結(jié)論的？
（5）最后引導(dǎo)學(xué)生歸納出垂經(jīng)定理的內(nèi)容，教師再補充、強調(diào)并板書。
通過這一探究過程，大部分學(xué)生參與到課堂中去，并培養(yǎng)了學(xué)生動手操作和創(chuàng)新的能力，也激發(fā)了學(xué)生探究問題的興趣，學(xué)生就在這種輕松、愉快的活動中掌握了垂徑定理，實現(xiàn)了教學(xué)的有效性，這是在這節(jié)課中我感覺最成功的地方。
當(dāng)然，整節(jié)課也有許多不足之處。例如，在對垂經(jīng)定理有關(guān)計算方面的安排上欠妥，具體表現(xiàn)在：
（1）把課本中趙州橋的問題作為第一個練習(xí)題讓學(xué)生解決稍微偏難，應(yīng)該先解決一些簡單的類型題。比如：已知弦的長度和圓心到弦的距離，求圓的半徑這類題，這樣的話學(xué)生不但鞏固了垂經(jīng)定理，而且也能體會到成功的喜悅，等再處理趙州橋的問題就變成水到渠成的事情了。
（2）垂經(jīng)定理中平分弦的證明過程盡量給學(xué)生留點時間讓學(xué)生板書出來，這樣可以防止學(xué)生缺少主動性，并且會有更多的學(xué)生參與到課堂中去。
（3）應(yīng)該給學(xué)生滲透一些情感教育，讓學(xué)生知道數(shù)學(xué)來源于生活，又應(yīng)用于生活。 總之，在教學(xué)設(shè)計和課堂教學(xué)中應(yīng)充分了解學(xué)生，研究學(xué)生，我們不僅要備教材，而且還要備學(xué)生。要真正樹立以學(xué)生的發(fā)展為本的教學(xué)理念。只有這樣，才能為學(xué)生提供充分的教學(xué)活動和交流的機會，使學(xué)生從單純的的知識接受者變?yōu)閿?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人。
垂徑定理教學(xué)設(shè)計教資篇四
學(xué)情分析
本節(jié)課是在上節(jié)課學(xué)習(xí)了圓的概念及弧、弦等概念的基礎(chǔ)上的一節(jié)課。在上節(jié)課結(jié)束時留給學(xué)生這樣一個問題“你還想進一步研究什么？”通過學(xué)習(xí)，學(xué)生很容易聯(lián)系到上節(jié)課學(xué)習(xí)了圓、弧、弦、直徑、半徑等有關(guān)知識。那么圓內(nèi)這些元素還具有哪些性質(zhì)呢？學(xué)生自然地從上節(jié)課過渡到這節(jié)課的學(xué)習(xí)，同時培養(yǎng)了學(xué)生勤于動腦，勤于思考的好習(xí)慣，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣與熱情。
本節(jié)課主要有兩方面的內(nèi)容：一是圓的軸對稱性，二是垂徑定理及其推論。開始以趙州橋的問題引入課題，帶著問題進行學(xué)習(xí)。圓的軸對稱性主要是通過動手操作得出結(jié)論，圓是軸對稱圖形，根據(jù)軸對稱性進一步研究圓中相等的弦、弧得出垂徑定理及其推論。利用此定理再去解決趙州橋問題，每一個環(huán)節(jié)都是環(huán)環(huán)相扣，不是孤立存在的。
教學(xué)目標(biāo)
經(jīng)歷探索圓的軸對稱性及相關(guān)性質(zhì)的過程，進一步體會和理解研究幾何圖形的各種方法。理解并應(yīng)用垂徑定理進行有關(guān)的計算。
重點難點
掌握垂徑定理及其推論，學(xué)會運用垂徑定理等結(jié)論解決一些有關(guān)證明、計算和作圖問題。
反思之一：實際問題的意義的看法
數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活。在實際生活中，數(shù)、形隨處可見，無處不在。好的實際問題容易引起學(xué)生的興趣，激發(fā)學(xué)生探索和發(fā)現(xiàn)問題的欲望，使學(xué)生感到數(shù)學(xué)課很熟悉，數(shù)學(xué)知識離我們很近。學(xué)生在解決實際問題的過程中，主要困難有兩點，一是學(xué)生一見到實際問題就畏懼，根本不去讀題，二是學(xué)生對實際背景不熟悉。為此，本節(jié)課設(shè)計了一個實際問題，這樣做的好處，一是具有非常實際的用途，二是與本節(jié)課的內(nèi)容具有直接關(guān)系。這個問題解決了，以后學(xué)生再講到類似的實際問題時，就不會感到陌生。
每種教學(xué)模式都有其優(yōu)劣，如果一味地按一種教學(xué)模式貫穿于整個教學(xué)過程，并不能達到最好的教學(xué)效果。對于我們教師來說，應(yīng)根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容，選擇不同的教學(xué)模式來教學(xué)，這樣效果會更好。本節(jié)課，由于學(xué)生的差異較大，所以選擇了小組合作這種教學(xué)模式，發(fā)揮小組合作學(xué)習(xí)的優(yōu)勢，給學(xué)生創(chuàng)造一個寬松的學(xué)習(xí)環(huán)境，使學(xué)生消除畏懼怕錯的心理壓力，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新精神，幫助學(xué)生樹立學(xué)好知識的信心和勇氣。
反思之二：需要更加關(guān)注學(xué)生
教學(xué)中，把尊重學(xué)生，關(guān)注學(xué)生的發(fā)展動態(tài)始終放在第一位。在這節(jié)課中，注重學(xué)生間的合作交流，給學(xué)生多次展示自己的機會，鍛煉學(xué)生的膽量，培養(yǎng)學(xué)生語言表達能力及邏輯推理能力，并給予適當(dāng)?shù)墓膭詈捅頁P，使學(xué)生有成功感，增強學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。
在知識發(fā)生發(fā)展與應(yīng)用過程中注重教學(xué)思想方法的滲透，如本節(jié)課從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，交給學(xué)生解決問題的辦法，使學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)。
垂徑定理教學(xué)設(shè)計教資篇五
垂徑定理說課稿
一、教材分析：
（一）教材的地位與作用
本節(jié)課圓的性質(zhì)的重要體現(xiàn)，是圓的軸對稱性的具體化，也是今后證明線段等、角等、弧等、垂直關(guān)系的重要依據(jù)，同時也為圓的計算和作圖提供了方法和依據(jù)，所以它在教材中處于舉足輕重的位置。
另外，本節(jié)課通過“實驗--觀察--猜想--合作交流--證明”的途徑，進一步培養(yǎng)學(xué)生的動手能力，觀察能力，分析、聯(lián)想能力、與人合作交流的能力，同時利用圓的軸對稱性，可以對學(xué)生進行數(shù)學(xué)美的教育。
因此，掌握垂徑定理對學(xué)生更好地認(rèn)識現(xiàn)實世界，建立空間觀念、培養(yǎng)推理論證能力具有十分重要的作用。
（二）教學(xué)目標(biāo)
根據(jù)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對這部分知識的要求及本課的特點，結(jié)合學(xué)生的實情，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)確定為：
（1）知識與技能目標(biāo)
使學(xué)生理解圓的軸對稱性；掌握垂徑定理；學(xué)會運用垂徑定理解決有關(guān)的證明、計算和作圖問題。 培養(yǎng)學(xué)生觀察能力、分析能力及聯(lián)想能力。
（2）過程與方法目標(biāo)
在實驗過程中，培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想、猜測、推理、探索發(fā)現(xiàn)新知識的能力和創(chuàng)新思維、創(chuàng)新想象的能力。通過分組訓(xùn)練、深化新知，共同感受收獲的喜悅。
（3）情感與態(tài)度目標(biāo)
在解決問題過程中，培養(yǎng)學(xué)生敢于面對挑戰(zhàn)和善于克服困難的意志，鼓勵學(xué)生大膽嘗試，勇于探索，從中獲得成功的經(jīng)驗，充分享受數(shù)學(xué)之美，從而體驗學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣。
知識與技能目標(biāo)固然重要，對于本節(jié)課：過程與方法和情感與態(tài)度更重要，因為這部分是幾何教學(xué)的重點，是由實驗幾何向論證幾何的過渡，過程與方法可以幫助學(xué)生學(xué)會認(rèn)識事物、分析問題的方法；有良好的情感態(tài)度能培養(yǎng)好的學(xué)習(xí)興趣，養(yǎng)成好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。
（三）教學(xué)重點和難點
教學(xué)重點：垂徑定理及其應(yīng)用。
（由于垂徑定理的題設(shè)與結(jié)論比較復(fù)雜，很容易混淆遺漏，所以，對垂徑定理的題設(shè)與結(jié)論區(qū)分是難點之一，同時，對定理的證明方法“疊合法”學(xué)生不常用到，是本節(jié)的又一難點。）
教學(xué)難點：對垂徑定理題設(shè)與結(jié)論的區(qū)分及定理的證明方法。
突出重點、突破難點的關(guān)鍵：創(chuàng)設(shè)具有啟發(fā)性的問題情境，通過學(xué)生動手操作，多媒體生動直觀地演示，讓學(xué)生經(jīng)歷“提出問題——探究討論——歸納發(fā)現(xiàn)”的過程，在這個過程中，要給學(xué)生在充足的活動時間，使學(xué)生在積極思維的狀態(tài)下參與探究性學(xué)習(xí) 。
而理解垂徑定理的關(guān)鍵是圓的軸對稱性。
二、教材處理
關(guān)于教材的處理：
(1)對于圓的軸對稱性及垂徑定理的發(fā)現(xiàn)、證明，采用師生共同演示的方法。
(2)探究例1后引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)常見輔助線“半徑半弦弦心距”，得直角三角形中三邊的關(guān)系式 .注意前后知識的鏈接.
三、教學(xué)方法的選擇與應(yīng)用
本節(jié)課我采用實驗操作，直觀演示，合作交流等方法指導(dǎo)學(xué)生動眼觀察、動手操作、動腦思考、動口表述，讓學(xué)生從實踐中獲取知識，并通過討論來深化對知識的理解。
同時采用多媒體輔助教學(xué)和實物演示，直觀生動地反映圖形特點。
四、教學(xué)模式
為了實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，優(yōu)化教學(xué)過程，本節(jié)課通過“創(chuàng)設(shè)情境——自主探索——合作交流——應(yīng)用拓展——反思歸納”的教學(xué)模式，力求著眼于學(xué)生探究能力和多向思維的培養(yǎng)。
五、教學(xué)過程
本節(jié)課我設(shè)計了七個環(huán)節(jié)組織教學(xué)：
1）創(chuàng)設(shè)情景，導(dǎo)入新課
展示我國隋朝建造的趙州石拱橋，提出問題，你能求出橋拱所在圓的半徑嗎？以此情境，導(dǎo)入圓的學(xué)習(xí)。
通過課本自學(xué)，讓學(xué)生了解圓中的弧，弦等概念。
并提出疑問：那么我們將要學(xué)習(xí)的圓到底有什么樣的性質(zhì)呢？
設(shè)計意圖：通過我們的古老文明激發(fā)學(xué)生解決問題的欲望，引起學(xué)生的聯(lián)想，為學(xué)生探究新知識埋下鋪墊。
2）動手操作，探究新知
實踐探究一
把一個圓沿著它的任意一條直徑對折，重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？
在教學(xué)過程中，注重對學(xué)生自主探索與合作交流能力的培養(yǎng)，在引入新課的同時，運用教具與學(xué)具（學(xué)生自制的圓形紙片）演示，讓每個學(xué)生都動手實驗、觀察，通過實驗，引導(dǎo)學(xué)生得出結(jié)論：
(1)圓是軸對稱圖形；
(2)經(jīng)過圓心的每一條直線（注：不能說直徑）都是它的對稱軸；
(3)圓的對稱軸有無數(shù)條。
實踐探究二
請同學(xué)們在自己作的圓中作圖：
（1）任意作一條弦 ab；(2)過圓心作ab的垂線得直徑cd且交ab于e。
引導(dǎo)學(xué)生分析直徑cd與弦ab的垂直關(guān)系，說明cd是垂于弦的直徑，并設(shè)問：它除了上述性質(zhì)外，是否還有其他性質(zhì)呢？這樣就很自然地導(dǎo)出本節(jié)課的課題，此時板書課題 垂徑定理 這樣通過全體學(xué)生參與實驗，逐步導(dǎo)出新課。
設(shè)計意圖：上述一系列活動的目的是讓學(xué)生經(jīng)歷“實驗（問題）——探究——歸納”的探索過程，在這個過程中，讓學(xué)生獲得直接參與的機會，在參與中，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣；在實驗中，積累對數(shù)學(xué)的感知；在思考中，尋找解決問題的途徑；在探究中，形成對數(shù)學(xué)的理解；在交流中，完善自己的想法。整個過程，體現(xiàn)學(xué)生的自主探究，合作學(xué)習(xí)。從而，培養(yǎng)學(xué)生善于觀察，勇于猜想，敢于發(fā)現(xiàn)的精神。
3）引入新課---揭示課題：
首先讓學(xué)生實驗、觀察并得出猜想
①ea=eb；② 弧ac=bc；③弧ad=bd．
你是如何得到這個結(jié)論的？（可能有的學(xué)生用的是疊合法，有的學(xué)生用的是論證法，此處都予以表揚）
這里要引導(dǎo)學(xué)生分析上述猜想的條件和結(jié)論，并將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，要能寫出
已知：cd是直徑，cd⊥ab
求證：①ea=eb；② 弧ac=bc；③弧ad=bd．
這樣做為分清定理的題設(shè)和結(jié)論作好鋪墊，從而達到解決難點的目的。此時板書垂徑定理的內(nèi)容。
垂徑定理 垂直于弦的直徑,平分弦,并且平分弦所對的兩條弧.
<目標(biāo)訓(xùn)練，及時反饋>
為了強調(diào)定理中的條件，出示一組練習(xí)：在下列圖形中，符合垂徑定理的條件嗎？讓學(xué)生搶答，根據(jù)實際情況進一步強調(diào)“垂”與“徑”缺一不可。
設(shè)計意圖：及時給出練習(xí)，便于學(xué)生理解概念，有利于新知識的內(nèi)化。本環(huán)節(jié)要注重學(xué)生在活動中的思考，鼓勵學(xué)生有條理地表達自己的思考過程，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。
實踐探究三
1.想一想：如下圖示，ab是⊙o的弦(不是直徑)，作一條平分ab的直徑cd，交ab于點m．
2.同學(xué)們利用圓紙片動手做一做，然后回答：（1）此圖是軸對稱圖形嗎?如果是，其對稱軸是什么?（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系？說一說你的理由。
學(xué)生依據(jù)探究二的經(jīng)驗來論證探究三，從而得到垂徑定理的逆定理
3.拓展垂徑定理的逆定理，即“知二推三”
4）運用新知，體驗成功
例1：如圖，已知在⊙o中，弦ab的長為8cm，圓心o到ab的距離為3cm，求⊙o的半徑。
1. 介紹弦心距的概念：圓心到圓的一條弦的距離叫做弦心距．
2. 規(guī)范解題步驟
3. 總結(jié)圓中常用的輔助線思路
<目標(biāo)訓(xùn)練，及時反饋>
1．半徑為4cm的⊙o中，弦ab=4cm, 那么圓心o到弦ab的距離是 。
2．半徑為2cm的圓中，過半徑中點且垂直于這條半徑的弦長是 。
3.如圖，mn所在的直線垂直平分ab，利用這樣的工具，最少兩次就可以找到圓形工件的圓心，你能說出理論依據(jù)嗎？
<學(xué)有所用>
趙州橋主橋拱的跨度(弧所對的弦的長)為37.4m,拱高(弧的中點到弦的距離)為7.2m，你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？
設(shè)計意圖：為了及時鞏固，幫助學(xué)生對所學(xué)定理的加深理解與使用講完定理及逆定理后，我依據(jù)學(xué)生的實際情況及他們的心理特點，設(shè)計了有梯度的，循序漸進的習(xí)題，讓學(xué)生嘗試。
本環(huán)節(jié)我采用學(xué)生自主探索與合作交流的方法，通過學(xué)生的探究體驗垂徑定理性質(zhì)的應(yīng)用。
5）知識梳理，自主評價
談?wù)劚竟?jié)課的收獲（包括知識、方法、感想方面的梳理）
設(shè)計意圖：本環(huán)節(jié)我采用學(xué)生自己回憶并敘述的方式，讓其梳理知識，感受方法。這樣做的目的，既是對所學(xué)內(nèi)容的復(fù)習(xí)鞏固，又訓(xùn)練了學(xué)生的歸納和表達能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，形成知識體系。
6）學(xué)有所用，綜合提升
一座橋，橋拱是圓弧形（水面以上部分），測量時只測到橋下水面寬ab為16m（如圖），橋拱最高處離水面4m
（1）求橋拱半徑；
（2）若大雨過后，橋下面河面寬度為12m，問水面漲高了多少？．
2. 如圖，兩個圓都以點o為圓心，大圓的弦ab交小圓于c，d，求證：ac＝bd．
設(shè)計意圖：本題在趙州橋的基礎(chǔ)上進行了綜合，使學(xué)生進一步理解垂徑定理，運用垂徑定理。
7）作業(yè)
作業(yè)設(shè)計本著有益有趣的原則，給學(xué)生以充分的發(fā)展空間，并鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容。
設(shè)計方案：為了適應(yīng)各層次學(xué)生學(xué)習(xí)的需要，設(shè)計了分層作業(yè)，
必作題是課本練習(xí)題
選作題是課后試一試
另外，又設(shè)計了應(yīng)用練習(xí)，如何確定殘缺的圓形零件的圓心？
讓學(xué)生帶著數(shù)學(xué)問題走出課堂，從而把學(xué)生的思維引向一個更加廣闊的空間，讓學(xué)生在課外運用所學(xué)的知識進行實踐、探究。
垂徑定理教學(xué)設(shè)計教資篇六
《垂徑定理》典型練習(xí)題
垂徑定理是“圓”一章的重要內(nèi)容。它揭示了垂直于弦的直徑和這條弦以及這條弦所對的兩條弧之間的內(nèi)在關(guān)系，是圓的.軸對稱性的具體化；它不僅是證明線段相等、角相等、弧相等、垂直關(guān)系的重要依據(jù)，同時也為今后進行圓的有關(guān)計算和作圖提供了方法和依據(jù)。由于它在教材中處于非常重要的位置，所以成為每年中考必考的知識點之一。
一、垂徑定理及推理的內(nèi)容
1.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。
如圖，幾何表述為：
∵cd過圓心，cd⊥ab于e
∴ae=be，-=-，-=-
2.垂徑定理推論1：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。如圖，幾何表述為：
∵cd過圓心，ae=be(ab不是直徑)
∴cd⊥ab于e，-=-，-=-
3.垂徑定理其他推論的幾何表述：
①∵cd過圓心，-=-
∴cd⊥ab，ae=be，-=-
②∵cd過圓心，-=-
∴cd⊥ab，ae=be，-=-
(未完待續(xù))
垂徑定理的基本圖形
垂徑定理教學(xué)設(shè)計教資篇七
教學(xué)難點：垂徑定理的證明方法，其中圓的軸對稱性是理解垂徑定理的關(guān)鍵。
二、教學(xué)目標(biāo)的確立
根據(jù)本課的具體內(nèi)容、學(xué)生的實際情況，我確立了如下的教學(xué)目標(biāo)：
1、通過直觀演示了解圓的軸對稱性。
2、通過“試驗——觀察——猜想——證明”掌握垂徑定理及其推論。
3、運用垂徑定理解決有關(guān)的證明、計算和作圖問題。 4、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺能力、抽象概括能力。激發(fā)學(xué)生的探索精神。
三、教學(xué)方法與手段的選擇
在教學(xué)方法方面:本節(jié)課主要采用了教師啟發(fā)引導(dǎo)下的學(xué)生自主探究、小組合作學(xué)習(xí)以及分層教學(xué)、分層評價的方法。
在教學(xué)過程中，遵循“實驗－觀察－猜想－證明－討論－總結(jié)－應(yīng)用”這一思路，使學(xué)生由感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識，再到實際應(yīng)用。遵循“階梯式發(fā)展”原則，引導(dǎo)學(xué)生在獨立分析、認(rèn)真思考的基礎(chǔ)上，以小組討論等形式合作探究，進而解決問題、掌握方法。同時，考慮到不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)需要，在所提問題、例題、習(xí)題的設(shè)置上，均力爭使每名學(xué)生都有所得。
在教學(xué)手段方面：我采用教（學(xué)）具直觀演示與計算機輔助教學(xué)，以提高課堂教學(xué)效率。
四、教學(xué)過程的設(shè)計
1、堅持一條原則：學(xué)生是主體，教師是教學(xué)過程的組織者、引導(dǎo)者、合作者。
2、圍繞一個目的：落實教學(xué)目標(biāo)
3、突出一個特點：通過“實驗－觀察－猜想－證明－應(yīng)用”幫助學(xué)生實現(xiàn)由感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的過渡
4、采用一種手段：借助教具的直觀性和計算機輔助教學(xué)，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)定理，從而抽象概括出定理
5、收到一個效果：使學(xué)生通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，能夠理解定理的內(nèi)涵，學(xué)會運用定理解決問題。同時使學(xué)習(xí)知識、培養(yǎng)能力和優(yōu)化思維品質(zhì)融為一體。
學(xué)法指導(dǎo)：
動手操作、 觀察猜測、 交流討論、 分析推理、 歸納總結(jié)，在此過程中使學(xué)生積極參與，交流互動。
本課的教學(xué)過程包括：
以舊引新、引導(dǎo)探究——動手操作、觀察猜想——指導(dǎo)論證、引申結(jié)論——多方練習(xí)、分層評價——反思小結(jié)、布置作業(yè)五個環(huán)節(jié)。
（一）以舊引新、引導(dǎo)探究
人類認(rèn)識事物大多遵循由感性認(rèn)識到理性認(rèn)識，由舊知到新知的上升過程，為此我先引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)與本課新知識有關(guān)的舊知識，出示如下兩個問題：
（1）什么是軸對稱圖形
（2）觀察下列圖形哪些是軸對稱圖形？并指出對稱軸條數(shù)。
其中第一題的目的在于喚起學(xué)生記憶，明確軸對稱圖形的概念。進而選取幾種常見的幾何圖形讓學(xué)生判斷，其中的平行四邊形是從反面強化對軸對稱圖形的理解。 第二組是有關(guān)車標(biāo)圖案的軸對稱圖形，使學(xué)生知道我們身邊隨時隨地都有軸對稱圖形的存在，此時可讓學(xué)生再舉幾個實際例子，以激發(fā)學(xué)生的興趣。
然后出示圓，提問：圓是軸對稱圖形嗎？
它有幾條對稱軸？
對稱軸在什么位置？
進而通過學(xué)生折疊圓形紙片、
教師投影演示明確：
圓是軸對稱圖形，它有無數(shù)條對稱軸，過圓心的每一條直線都是它的對稱軸。
這樣通過創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生的求知欲，以舊引新，引出本課課題——圓的軸對稱性。
（二）動手操作，觀察猜想
首先讓學(xué)生按要求在事先準(zhǔn)備好的圓形紙片中畫圖折疊、觀察、猜想。 ⅰ 畫出⊙o的一條弦ab
ⅱ 過o畫ab的垂線交⊙o于c、d兩點，垂足為e.
問題1：過o點垂直ab的直線有幾條？（說出理由）
設(shè)計意圖：明確垂直于弦的直線有且只有一條。
問題2：直徑cd還有什么性質(zhì)？（投影）
1、引導(dǎo)學(xué)生將⊙o紙片沿直徑cd折疊，觀察重合部分，猜想結(jié)論
2、小組交流猜想結(jié)論。
3、教師投影演示與學(xué)生共享猜想結(jié)論
設(shè)計意圖：通過調(diào)動學(xué)生的多種感官功能，使學(xué)生在動手動腦中強化思維品質(zhì)。同時為用“疊合法”證明垂徑定理起鋪路搭橋的作用。
（三）指導(dǎo)論證，引申結(jié)論
在師生共同得出猜想結(jié)論后，教師追問質(zhì)疑：猜想的結(jié)果是否正確，必須要加以證明，將學(xué)生的活躍思維從實驗猜想拉回到對猜想的嚴(yán)格證明中。 教學(xué)安排：
學(xué)生回答已知、求證后教師投影。
隨后指導(dǎo)學(xué)生從圓的軸對稱性入手，討論出聯(lián)結(jié)oa和ob后，抓住只要能夠證出直徑cd既是等腰三角形oab的對稱軸，又是圓的對稱軸，即可利用圓的`軸對稱性證明出結(jié)論。進而讓學(xué)生試述，教師板書證明過程。
進而總結(jié)出垂徑定理的內(nèi)容。并引導(dǎo)學(xué)生分析出定理的題設(shè)和結(jié)論。說明知道了題設(shè)的兩個條件，就可以得出三個結(jié)論。
此時出示判斷題
(1)過圓心的直徑平分弦（×）
(2)垂直于弦的直線平分弦（×）
(3)⊙o中，oe⊥弦ae于e，則ae=be（√）】
引導(dǎo)小組討論，允許爭論，關(guān)鍵要讓學(xué)生說明理由，舉反例。交流討論、統(tǒng)一思想后，教師要充分利用評價機制鼓勵學(xué)生，并強調(diào)垂徑定理 圓的軸對稱性——垂徑定理及其推論題設(shè)中的兩個條件缺一不可。同時說明垂徑定理條件中的“直徑”是指過圓心的直線，但在應(yīng)用該條件時可以不為直徑，如半徑、圓心到弦的距離照樣可以得到平分弦的結(jié)論。
然后再次通過提問：如果將題設(shè)中的兩個條件改為“直徑平分弦”，能否得出其它三個結(jié)論呢？自然的引出對例1的教學(xué)：
【例1：已知:如圖，在⊙o中，直徑cd交弦ab于e，ae=be
求證：cd⊥ab, 】
通過教師引導(dǎo)、小組討論分析證明出垂徑定理的推論：平分弦(非直徑)的直徑垂直于弦，且平分弦所對的兩條弧。使學(xué)生初步認(rèn)識到將定理中題設(shè)的兩個條件之一與三個結(jié)論之一交換一個，也可得出其它三個結(jié)論。然后再次出示小組討論題，
【小組討論：下列命題是否正確？說明理由
1、弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，且平分弦所對的兩條弧。(√)
2、平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，且平分弦所對的另一條弧(√)】
進一步強化剛才的初步認(rèn)識，進而歸納總結(jié)出其中規(guī)律：五個條件，知二推三。在整個過程中教師要及時引導(dǎo)學(xué)生通過畫圖分析、討論，說明理由，辨別正誤，從而有效的突破難點，突出重點。
o
（四）多方練習(xí)，分層評價
【例2、已知：如圖在⊙o中，弦ab的長是8cm，圓心o到ab的距離為3cm，求⊙o的半徑?！?BR> 1、選題意圖
至此，學(xué)生們對垂徑定理及其推論的基本知識應(yīng)該掌握了，為了使學(xué)生再上一個臺階，更好的將知識點落到實處。我安排了例2，試圖通過此例，使學(xué)生明確：在解決有關(guān)弦、半徑（直徑）、圓心到弦的距離等問題時，通常是將垂徑定理和勾股定理結(jié)合起來。達到一通百通的目的。并為例3的教學(xué)鋪平道路。
2、教學(xué)安排
ⅰ 解決問題：此題先提醒學(xué)生審清題意，思考如何構(gòu)造出圓的半徑及圓心o到弦ab的距離。在個人獨立思考建立圖形以后，進行小組交流、討論。最后各組派代表展示學(xué)習(xí)成果并說明理由，教師點撥，最后投影出完整解題步驟。 ⅱ 反思拓展：提問：在解答此題的過程中，你用到了幾個定理？
通過討論，使學(xué)生體會到：在解決有關(guān)弦、半徑（直徑）、圓心到弦的距離等問題時，通常是通過構(gòu)造直角三角形將垂徑定理和勾股定理結(jié)合起來。
然后，趁熱打鐵，通過三個難度不同的練習(xí)，進一步鞏固剛才討論得出的成果。
【 a組 在圓中某弦長為8cm，圓的直徑是10cm，則圓心到弦的距離是( 3 )cm b組 在圓o中弦cd＝24，圓心到弦cd的距離為5,則圓o的直徑是( 26 ) c組 若ab為圓o的直徑，弦cd⊥ab于e，ae＝16，be=4,則cd＝( 16 )】 ⅲ 分層評價：學(xué)生的認(rèn)知水平是不同的，所以我有意識的將題目按由易到難的順序分成了a、b、c三組，其中a組題是為學(xué)困生編寫的；b組題絕大多數(shù)同學(xué)應(yīng)該掌握；c組題難度稍大，但稍微動一動腦，也不是不能做出的，是為中上等同學(xué)準(zhǔn)備的。
需要說明的是：學(xué)生每做對一組題就可獲得一個滿分，教師此時巡視指導(dǎo)并及時評判各組當(dāng)中做完的同學(xué)，而且不管是誰只要做對了題，都可以為本組同學(xué)判題打分。這樣安排，使不同層次的學(xué)生都學(xué)有所得，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。
然后各組請代表說明解題思路。熱身之后，出示例3：
【例3、已知⊙o的直徑為4cm，弦ab=，求∠oab的度數(shù)】
1、選題意圖：在鞏固例2成果基礎(chǔ)之上，出示例3，是為了將解直角三角形與垂徑定理的知識銜接起來，使知識之間融匯貫通——你中有我，我中有你。
2、教學(xué)安排：
ⅰ 解決問題：提問：求角度問題，可否通過解直角三角形的問題解決？ 學(xué)生自然會聯(lián)想到構(gòu)造直角三角形，進而作出正確的輔助線。然后利用特殊角的三角函數(shù)值求出銳角的度數(shù)。學(xué)生展示成果后，教師出示完整解題格式，并追問：還有沒有其它的解題方法？此時 圓的軸對稱性可能有的學(xué)生通過得出弦心距的長度，利用在直角三角形中，若一條直角邊等于斜邊一半，則該直角邊所對角為30°，亦可。教師要給予充分的肯定和鼓勵性評價。然后再通過一道證明題，
【練習(xí)：已知如圖，在以o為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦ab交小圓于c、d兩點。 求證：ac=bd 】
再一次的鞏固垂徑定理及輔助線的做法。
ⅱ 反思拓展：在圓中，解有關(guān)弦的問題時，常常需要作出“垂直于弦的直徑”作為輔助線，實際上，往往只需從圓心作弦的垂線段。
（五）反思小結(jié)、布置作業(yè)
這個環(huán)節(jié)主要讓學(xué)生談?wù)劚竟?jié)課的收獲和體會。我根據(jù)情況適當(dāng)補充。然后仍按照學(xué)生層次布置分層作業(yè)。這樣最大限度的調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，使不同層次的學(xué)生都有所獲，在原有的基礎(chǔ)上得以發(fā)展、提高。
以上是我對本節(jié)課的說明，不妥之處，敬請專家、評委指正。謝謝大家！
垂徑定理教學(xué)設(shè)計教資篇八
各位專家、評委：
你們好！很高興能有機會參加這次活動，并得到您的指導(dǎo)。
我說課的題目是：圓的軸對稱性——垂徑定理及其推論。它是人教版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書《數(shù)學(xué)》九年級上冊第二十四章第一節(jié)的第二部分《垂直于弦的直徑》的內(nèi)容。。
這部分內(nèi)容教材安排了兩課時，其中第一課時講圓的軸對稱性，第二課時講圓的旋轉(zhuǎn)不變性。
結(jié)合我對教材的理解和我所任教班級學(xué)生的實際情況，我將圓的軸對稱性一課時內(nèi)容調(diào)整為兩課時，今天我所講的是第一課時——垂徑定理及其推論。
下面，我就從教學(xué)內(nèi)容，教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)方法與手段、教學(xué)過程設(shè)計等四個方面進行說明。
一、教學(xué)內(nèi)容的說明
教師只有對教材有較為準(zhǔn)確、深刻、本質(zhì)的理解，并從“假如我是學(xué)生”的角度審視學(xué)生的可接受性，才能處理好教材。
垂徑定理及其推論反映了圓的重要性質(zhì)，是證明線段相等、弧相等、垂直關(guān)系的重要依據(jù)，為進行圓的計算和作圖提供了重要依據(jù)，因此這部分內(nèi)容是學(xué)習(xí)的重點， 垂徑定理及其推論的題設(shè)和結(jié)論較為復(fù)雜，容易混淆，因此也是學(xué)習(xí)的難點。
鑒于這種理解，通覽教材，我確定出如下教學(xué)內(nèi)容：
(1)了解圓的軸對稱性。
(2) 弄清垂徑定理及其推論的題設(shè)和結(jié)論。 (3)運用垂徑定理及其推論進行有關(guān)的計算和證明。
(4)學(xué)會與垂徑定理有關(guān)的添加輔助線的方法。
垂徑定理教學(xué)設(shè)計教資篇九
正弦定理的教學(xué)設(shè)計
一教學(xué)內(nèi)容分析
正弦定理是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書數(shù)學(xué)(必修5)》(人教版)第一章第一節(jié)的主要內(nèi)容它既是初中解直角三角形內(nèi)容的直接延拓也是三角函數(shù)一般知識和平面向量等知識在三角形中的具體運用是解可轉(zhuǎn)化為三角形計算問題的其它數(shù)學(xué)問題及生產(chǎn)生活實際問題的重要工具因此具有廣泛的應(yīng)用價值。為什么要研究正弦定理?正弦定理是怎樣發(fā)現(xiàn)的?其證明方法是怎樣想到的?還有別的證法嗎?這些都是教材沒有回答而確實又是學(xué)生所關(guān)心的問題。
本節(jié)課是正弦定理教學(xué)的第一課時其主要任務(wù)是引入并證明正弦定理在課型上屬于定理教學(xué)課。因此做好正弦定理的教學(xué)不僅能復(fù)習(xí)鞏固舊知識使學(xué)生掌握新的有用的知識體會聯(lián)系發(fā)展等辯證觀點而且通過對定理的探究能使學(xué)生體驗到數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程進而培養(yǎng)學(xué)生提出問題解決問題等研究性學(xué)習(xí)的能力。
二學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析
學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了解直角三角形的內(nèi)容在必修4中又學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識和平面向量的有關(guān)內(nèi)容對解直角三角形三角函數(shù)平面向量已形成初步的知識框架這不僅是學(xué)習(xí)正弦定理的認(rèn)知基礎(chǔ)同時又是突破定理證明障礙的強有力的工具。正弦定理是關(guān)于任意三角形邊角關(guān)系的重要定理之一《課程標(biāo)準(zhǔn)》強調(diào)在教學(xué)中要重視定理的探究過程并能運用它解決一些實際問題可以使學(xué)生進一步了解數(shù)學(xué)在實際中的應(yīng)用從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣也為學(xué)習(xí)正弦定理提供一種親和力與認(rèn)同感。
三設(shè)計思想
培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)學(xué)會探究是全面發(fā)展學(xué)生能力的重要前提是高中新課程改革的主要任務(wù)。如何培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)學(xué)會探究呢?建構(gòu)主義認(rèn)為：知識不是被動吸收的而是由認(rèn)知主體主動建構(gòu)的。這個觀點從教學(xué)的角度來理解就是：知識不是通過教師傳授得到的而是學(xué)生在一定的情境中運用已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗并通過與他人(在教師指導(dǎo)和學(xué)習(xí)伙伴的幫助下)協(xié)作主動建構(gòu)而獲得的建構(gòu)主義教學(xué)模式強調(diào)以學(xué)生為中心視學(xué)生為認(rèn)知的主體教師只對學(xué)生的意義建構(gòu)起幫助和促進作用。本節(jié)正弦定理的教學(xué)將遵循這個原則而進行設(shè)計。
四教學(xué)目標(biāo)
1知識與技能：通過對任意三角形的邊與其對角的關(guān)系的探索掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法。
2過程與方法：讓學(xué)生從已有的`知識出發(fā),共同探究在任意三角形中邊與其對角的關(guān)系引導(dǎo)學(xué)生通過觀察歸納猜想證明由特殊到一般得到正弦定理等方法體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程。
3情感態(tài)度與價值觀：在平等的教學(xué)氛圍中通過學(xué)生之間師生之間的交流合作和評價實現(xiàn)共同探究教學(xué)相長的教學(xué)情境。
五教學(xué)重點與難點
重點：正弦定理的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)
難點：正弦定理的推導(dǎo)
教學(xué)準(zhǔn)備：制作多媒體課件學(xué)生準(zhǔn)備計算器直尺量角器。
六教學(xué)過程設(shè)計
（一）設(shè)置情境
教師：展示情景圖如圖1船從港口b航行到港口c測得bc的距離為
船在港口c卸貨后繼續(xù)向港口a航行由于船員的疏忽沒有測得ca距離如果船上有測角儀我們能否計算出ab的距離?
學(xué)生：思考提出測量角ac。
教師：若已知測得
如何計算ab兩地距離?
師生共同回憶解直角三角形①直角三角形中已知兩邊可以求第三邊及兩個角。②直角三角形中已知一邊和一角可以求另兩邊及第三個角。
教師引導(dǎo)：
是斜三角形能否利用解直角三角形精確計算ab呢?
設(shè)計意圖：興趣是最好的老師。如果一節(jié)課有良好的開頭那就意味著成功的一半。因此我通過從學(xué)生日常生活中的實際問題引入激發(fā)學(xué)生思維激發(fā)學(xué)生的求知欲引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題在解決問題后對特殊問題一般化得出一個猜測性的結(jié)論猜想培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般思想意識培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維能力。
（二）數(shù)學(xué)實驗驗證猜想
教師：給學(xué)生指明一個方向我們先通過特殊例子檢驗
是否成立舉出特例。
(1)在△abc中abc分別為
對應(yīng)的邊長a：b：c為1：1：1對應(yīng)角的正弦值分別為
引導(dǎo)學(xué)生考察
的關(guān)系。(學(xué)生回答它們相等)
(2)在△abc中abc分別為
對應(yīng)的邊長a：b：c為1：1：
對應(yīng)角的正弦值分別為
1;(學(xué)生回答它們相等)
(3)在△abc中abc分別為
對應(yīng)的邊長a：b：c為1：
：2對應(yīng)角的正弦值分別為
1。(學(xué)生回答它們相等)(圖3)
教師：對于
呢?
學(xué)生：思考交流得出如圖4在rt
abc中設(shè)bc=a,ac=b,ab=c,
則有
又
,
則
從而在直角三角形abc中
教師：那么任意三角形是否有
呢?
借助于電腦與多媒體利用《幾何畫板》軟件演示正弦定理教學(xué)課件。邊演示邊引導(dǎo)學(xué)生觀察三角形形狀的變化與三個比值的變化情況。
結(jié)論：
對于任意三角形都成立。
設(shè)計意圖：通過《幾何畫板》軟件的演示使學(xué)生對結(jié)論的認(rèn)識從感性逐步上升到理性。
（三）證明猜想得出定理
師生活動：
教師：我們雖然經(jīng)歷了數(shù)學(xué)實驗多媒體技術(shù)支持對任意的三角形如何用數(shù)學(xué)的思想方法證明
呢?前面探索過程對我們有沒有啟發(fā)?學(xué)生分組討論每組派一個代表總結(jié)。(以下證明過程根據(jù)學(xué)生回答情況進行敘述)
學(xué)生：思考得出
(1)在
中成立如前面檢驗。
(2)在銳角三角形中如圖5設(shè)
(3)在鈍角三角形中如圖6設(shè)
同銳角三角形證明可知
教師：我們把這條性質(zhì)稱為正弦定理：在一個三角形中各邊和它所對角的正弦的比相等即
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教師：還有其它證明方法嗎?
學(xué)生：思考得出分析圖形(圖7)對于任意△abc由初中所學(xué)過的面積公式可以得出：
而由圖中可以看出：
等式
中均除以
后可得
即
教師邊分析邊引導(dǎo)學(xué)生同時板書證明過程。
在剛才的證明過程中大家是否發(fā)現(xiàn)三角形高
三角形的面積：
能否得到新面積公式
學(xué)生：
得到三角形面積公式
設(shè)計意圖：經(jīng)歷證明猜想的過程進一步引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生利用已有的數(shù)學(xué)知識論證猜想力圖讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程。
（四）利用定理解決引例
師生活動：
教師：現(xiàn)在大家再用正弦定理解決引例中提出的問題。
學(xué)生：馬上得出
在
中
（五）了解解三角形概念
設(shè)計意圖：讓學(xué)生了解解三角形概念形成知識的完整性。
教師：一般地把三角形的三個角
和它們的對邊
叫做三角形的元素已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形。
設(shè)計意圖：利用正弦定理重新解決引例讓學(xué)生體會用新的知識新的定理解決問題更方便更簡單激發(fā)學(xué)生不斷探索新知識的欲望。
（六）運用定理解決例題
師生活動：
教師：引導(dǎo)學(xué)生從分析方程思想分析正弦定理可以解決的問題。
學(xué)生：討論正弦定理可以解決的問題類型：
(1)如果已知三角形的任意兩個角與一邊求三角形的另一角和另兩邊如
;
(2)如果已知三角形任意兩邊與其中一邊的對角求另一邊與另兩角如
。
師生：例1的處理先讓學(xué)生思考回答解題思路教師板書讓學(xué)生思考主要是突出主體教師板書的目的是規(guī)范解題步驟。
例1：在
中已知
解三角形。
分析已知三角形中兩角及一邊求其他元素第一步可由三角形內(nèi)角和為
求出第三個角c再由正弦定理求其他兩邊。
例2：在
中已知
解三角形。
例2的處理目的是讓學(xué)生掌握分類討論的數(shù)學(xué)思想可先讓中等學(xué)生講解解題思路其他同學(xué)補充交流。
學(xué)生：反饋練習(xí)(教科書第5頁的練習(xí))
用實物投影儀展示學(xué)生中解題步驟規(guī)范的解答。
設(shè)計意圖：自己解決問題提高學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情和動力使學(xué)生體驗到成功的愉悅感變要我學(xué)為我要學(xué)我要研究的主動學(xué)習(xí)。
（七）嘗試小結(jié)：
教師：提示引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容。
學(xué)生：思考交流歸納總結(jié)。
師生：讓學(xué)生嘗試小結(jié)教師及時補充要體現(xiàn)：
(1)正弦定理的內(nèi)容(
)及其證明思想方法。
(2)正弦定理的應(yīng)用范圍：①已知三角形中兩角及一邊求其他元素;②已知三角形中兩邊和其中一邊所對的角求其他元素。
(3)分類討論的數(shù)學(xué)思想。
設(shè)計意圖：通過學(xué)生的總結(jié)培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)能力和語言表達能力。
（八）作業(yè)設(shè)計
作業(yè)：第10頁[習(xí)題1.1]a組第12題。
垂徑定理教學(xué)設(shè)計教資篇十
《垂徑定理》九年級數(shù)學(xué)上冊教學(xué)反思
“垂徑定理”是圓的重要性質(zhì)之一，也是全章的基礎(chǔ)之一，在整章中占有舉足輕重的地位，是今后研究圓與其他圖形位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)，這些知識在日常生活和生產(chǎn)中有廣泛的應(yīng)用。由于垂徑定理及其推論反映了圓的重要性質(zhì)，是證明線段相等、角相等、垂直關(guān)系的重要依據(jù)，因此，它是整節(jié)書的重點及難點。
對本節(jié)課的教學(xué)我有以下幾點反思：
1、本節(jié)課主要有兩方面的內(nèi)容：一是圓的軸對稱性，二是垂徑定理及其推論。開始以趙州橋的問題引入課題，帶著問題進行學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)有目標(biāo)，圓的軸對稱性主要是通過動手操作得出結(jié)論，圓是軸對稱圖形，根據(jù)軸對稱性進一步研究圓中相等的弦，弧得出垂徑定理及其推論。利用此定理再去解決趙州橋問題，每一個環(huán)節(jié)都是環(huán)環(huán)相扣，不是孤立存在的。
2.在數(shù)學(xué)教學(xué)中,語言的嚴(yán)密性，邏輯性很重要的,而我在課堂上,尤其是知識點的聯(lián)系方面的引導(dǎo)詞,結(jié)論的表述，更加需要再努力鉆研.今后我將在這方面下工夫,在去聽其他數(shù)學(xué)老師的課時,要注意其他老師在知識點同知識點之間的過渡語句.
3在教案設(shè)計方面,在時間上把握得不夠準(zhǔn)確。有點前松后緊。前面在復(fù)習(xí)的部分應(yīng)該加些關(guān)于勾股定理的計算的題目,使學(xué)生在后面解直角三角形時能夠更加快,更熟練;在多媒體中，題目的梯度設(shè)計雖然很好但時間緊練習(xí)題量太小。
4，其實這節(jié)課還有個作圖思想要灌輸給學(xué)生,即教學(xué)生如果見到弦心距,弦,那么直接連半徑構(gòu)成直角三角形;如果就是只知道一條弦的題目,就要連弦心距都要作出來,應(yīng)加強兩種題目的訓(xùn)練。.
通過反思這一課的課堂教學(xué)，我認(rèn)識到要善于處理好教學(xué)中知識傳授與能力培養(yǎng)的關(guān)系，巧妙地引導(dǎo)學(xué)生解決生活中的數(shù)學(xué)問題。不斷地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與主動性，培養(yǎng)學(xué)生思維能力、想象力和創(chuàng)新精神，使每個學(xué)生的身心都能得到充分的發(fā)展。這些問題給了我一個今后的努力的方向.在今后的教學(xué)中,我會更加努力。
垂徑定理教學(xué)設(shè)計教資篇十一
一、教學(xué)內(nèi)容分析
本節(jié)內(nèi)容安排在《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書?數(shù)學(xué)必修5》（北師大版）第二章，正弦定理第一課時，是在高一學(xué)生學(xué)習(xí)了三角等知識之后，顯然是對三角知識的應(yīng)用；同時，作為三角形中的一個定理，也是對初中解直角三角形內(nèi)容的直接延伸，因而定理本身的應(yīng)用又十分廣泛。
根據(jù)實際教學(xué)處理，正弦定理這部分內(nèi)容共分為三個層次：第一層次教師通過引導(dǎo)學(xué)生對實際問題的探索，并大膽提出猜想；第二層次由猜想入手，帶著疑問，以及特殊三角形中邊角的關(guān)系的驗證，通過“作高法”、“等積法”、“外接圓法”、“ 向量法”等多種方法證明正弦定理，驗證猜想的正確性，并得到三角形面積公式；第三層次利用正弦定理解決引例，最后進行簡單的應(yīng)用。學(xué)生通過對任意三角形中正弦定理的探索、發(fā)現(xiàn)和證明，感受“觀察――實驗――猜想――證明――應(yīng)用”這一思維方法，養(yǎng)成大膽猜想、善于思考的品質(zhì)和勇于求真的精神。
二、學(xué)情分析
布魯納指出，學(xué)生不是被動的、消極的知識的接受者，而是主動的、積極的知識的探究者。教師的作用是創(chuàng)設(shè)學(xué)生能夠獨立探究的情境，引導(dǎo)學(xué)生去思考，參與知識獲得的過程。因此，做好“余弦定理”的教學(xué)，不僅能復(fù)習(xí)鞏固舊知識，使學(xué)生掌握新的有用的知識，體會聯(lián)系、發(fā)展等辯證觀點，而且能培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識和實踐操作能力，以及提出問題、解決問題等研究性學(xué)習(xí)的能力。
三、設(shè)計思想：
《正弦定理》一課教學(xué)模式和策略設(shè)計就是想讓素質(zhì)教育如何落實在課堂教學(xué)的每一個環(huán)節(jié)上進行一些探索和研究。旨在通過學(xué)生自己的思維活動獲取數(shù)學(xué)知識，提高學(xué)生基礎(chǔ)性學(xué)力(基礎(chǔ)能力)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)展性學(xué)力(培養(yǎng)終身學(xué)習(xí)能力)，誘發(fā)學(xué)生創(chuàng)造性學(xué)力(提高應(yīng)用能力)，最終達到素質(zhì)教育目的。為此，我在設(shè)計這節(jié)課時，采用問題開放式課堂教學(xué)模式，以學(xué)生參與為主，教師啟發(fā)、點撥的課堂教學(xué)策略。通過設(shè)置開放性問題，問題的層次性推進和教師啟發(fā)、點撥發(fā)展學(xué)生有效思維，提高數(shù)學(xué)能力，達到上述三種學(xué)力的提高、培養(yǎng)和誘發(fā)。以學(xué)生參與為主，教師啟發(fā)、點撥教學(xué)策略是體現(xiàn)以學(xué)生發(fā)展為本的現(xiàn)代教育觀，在開放式討論過程中，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)能力，發(fā)展學(xué)生的各種數(shù)學(xué)需要，使其獲得終身受用的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)能力和創(chuàng)造才能。建構(gòu)主義強調(diào)，學(xué)生并不是空著腦袋走進教室的。在日常生活中，在以往的學(xué)習(xí)中，他們已經(jīng)形成了豐富的經(jīng)驗，小到身邊的衣食住行，大到宇宙、星體的運行，從自然現(xiàn)象到社會生活，他們幾乎都有一些自己的看法。而且，有些問題即使他們還沒有接觸過，沒有現(xiàn)成的經(jīng)驗，但當(dāng)問題一旦呈現(xiàn)在面前時，他們往往也可以基于相關(guān)的經(jīng)驗，依靠他們的認(rèn)知能力，形成對問題的某種解釋。而且，這種解釋并不都是胡亂猜測，而是從他們的經(jīng)驗背景出發(fā)而推出的合乎邏輯的假設(shè)。所以，教學(xué)不能無視學(xué)生的這些經(jīng)驗，另起爐灶，從外部裝進新知識，而是要把學(xué)生現(xiàn)有的知識經(jīng)驗作為新知識
的生長點，引導(dǎo)學(xué)生從原有的知識經(jīng)驗中“生長”出新的知識經(jīng)驗。
為此我們根據(jù)“問題教學(xué)”模式，沿著“設(shè)置情境--提出問題--解決問題--反思應(yīng)用”這條主線，把從情境中探索和提出數(shù)學(xué)問題作為教學(xué)的出發(fā)點，以“問題”為主線組織教學(xué)，形成以提出問題與解決問題相互引發(fā)攜手并進的“情境--問題”學(xué)習(xí)鏈，使學(xué)生真正成為提出問題和解決問題的主體，成為知識的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，使教學(xué)過程成為學(xué)生主動獲取知識、發(fā)展能力、體驗數(shù)學(xué)的過程。
根據(jù)上述精神，做出了如下設(shè)計：
1、創(chuàng)設(shè)一個現(xiàn)實問題情境作為提出問題的背景；
2、啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生提出自己關(guān)心的現(xiàn)實問題，逐步將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化、抽象成過渡性數(shù)學(xué)問題，解決過渡性問題時需要使用正弦定理，借此引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，揭示解斜三角形的必要性，并使學(xué)生產(chǎn)生進一步探索解決問題的動機。然后引導(dǎo)學(xué)生抓住問題的數(shù)學(xué)實質(zhì)，將過渡性問題引伸成一般的數(shù)學(xué)問題：已知三角形的兩條邊和一邊的對角，求另一邊的對角及第三邊。解決這兩個問題需要先回答目標(biāo)問題：在三角形中，兩邊與它們的對角之間有怎樣的關(guān)系？
3、為了解決提出的目標(biāo)問題，引導(dǎo)學(xué)生回到他們所熟悉的直角三角形中，得出目標(biāo)問題在直角三角形中的解，從而形成猜想，然后引導(dǎo)學(xué)生對猜想進行驗證。
四、教學(xué)目標(biāo)：
1．讓學(xué)生從已有的幾何知識出發(fā), 通過對任意三角形邊角關(guān)系的探索，共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，實驗，猜想，驗證，證明，由特殊到一般歸納出正弦定理，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法，理解三角形面積公式，并學(xué)會運用正弦定理解決解斜三角形的兩類基本問題。
2．通過對實際問題的探索，培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，增強學(xué)生的協(xié)作能力和交流能力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的能力。
3．通過學(xué)生自主探索、合作交流，親身體驗數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、善于發(fā)現(xiàn)、不畏艱辛的創(chuàng)新品質(zhì)，增強學(xué)習(xí)的成功心理，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。
4．培養(yǎng)學(xué)生合情合理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思想方法，通過平面幾何、三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。
五、教學(xué)重點與難點
教學(xué)重點：正弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明；正弦定理的簡單應(yīng)用。
教學(xué)難點：正弦定理的猜想提出過程。
六教學(xué)過程
1、設(shè)置情境
利用投影展示：一條河的兩岸平行，河寬d=1km，因上游突發(fā)洪水，在洪峰到來之前，急需將碼頭a處囤積的重要物資及人員用船轉(zhuǎn)運到正對岸的碼頭b處或其下游1 km的碼頭c處。已知船在靜水中的速度ovlo= 5 kmmh，水流速度ov2o=3 kmmh。
2、提出問題
師：為了確定轉(zhuǎn)運方案，請同學(xué)們設(shè)身處地地考慮一下有關(guān)的問題，將各自的問題經(jīng)小組(前后4人為一小組)匯總整理后交給我。
待各小組將題紙交給老師后，老師篩選幾張有代表性的題紙通過投影向全班展示，經(jīng)大家歸納整理后得到如下的5個問題：
(l)船應(yīng)開往b處還是c處？
(2)船從a開到b、c分別需要多少時間？
(3)船從a到b、c的距離分別是多少？
(4)船從a到b、c時的速度大小分別是多少？
(5)船應(yīng)向什么方向開，才能保證沿直線到達b、c？
師：大家討論一下，應(yīng)該怎樣解決上述問題？
大家經(jīng)過討論達成如下共識：要回答問題(l)，需要解決問題(2)，要解決問題(2)，需要先解決問題(3)和(4)，問題(3)用直角三角形知識可解，所以重點是解決問題(4)，問題(4)與問題(5)是兩個相關(guān)問題，因此，解決上述問題的關(guān)鍵是解決問題(4)和(5)。
師：請同學(xué)們根據(jù)平行四邊形法則，先在練習(xí)本上做出與問題對應(yīng)的示意圖，明確已知什么，要求什么，怎樣求解。
生：船從a開往b的情況如圖2，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及解直角三角形的知識，可求得船在河水中的速度大小ovo及vl與v2的夾角θ：
生：船從a開往c的情況如圖3，oado=ov1o= 5，odeo=oafo=ov2o=3，易求得∠aed =∠eaf = 450，還需求θ及v。我不知道怎樣解這兩個問題，因為以前從未解過類似的問題。
師：請大家想一下，這兩個問題的數(shù)學(xué)實質(zhì)是什么？
部分學(xué)生：在三角形中，已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角和第三邊。
師：請大家討論一下，如何解決這兩個問題？
生：在已知條件下，若能知道三角形中兩條邊與其對角這4個元素之間的數(shù)量關(guān)系，則可以解決上述問題，求出另一邊的對角。
生：如果另一邊的對角已經(jīng)求出，那么第三個角也能夠求出。只要能知道三角形中兩條邊與其對角這4個元素的數(shù)量關(guān)系，則第三邊也可求出。
生：在已知條件下，如果能知道三角形中三條邊和一個角這4個元素之間的數(shù)量關(guān)系，也能求出第三邊和另一邊的對角。
師：同學(xué)們的設(shè)想很好，只要能知道三角形中兩邊與它們的對角間的數(shù)量關(guān)系，或者三條邊與一個角間的數(shù)量關(guān)系，則兩個問題都能夠順利解決。下面我們先來解答問題：三角形中，任意兩邊與其對角之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？
3、解決問題
師：請同學(xué)們想一想，我們以前遇到這種一般問題時，是怎樣處理的？
眾學(xué)生：先從特殊事例入手，尋求答案或發(fā)現(xiàn)解法。直角三角形是三角形的特例，可以先在直角三角形中試探一下。
師：請各小組研究在rt△abc中，任意兩邊及其對角這4個元素間有什么關(guān)系？
多數(shù)小組很快得出結(jié)論：a／sina = b／sinb = c／sinc。
師：a／sina = b／sinb = c／sinc在非rt△abc中是否成立？
眾學(xué)生：不一定，可以先用具體例子檢驗。若有一個不成立，則否定結(jié)論；若都成立，則說明這個結(jié)論很可能成立，再想辦法進行嚴(yán)格的證明。
師：這是個好主意。請每個小組任意做出一個非rt△abc，用量角器和刻度尺量出各邊的長和各角的大小，用計算器作為計算工具，具體檢驗一下，然后報告檢驗結(jié)果。
幾分鐘后，多數(shù)小組報告結(jié)論成立，只有一個小組因測量和計算誤差，得出否定的結(jié)論。教師在引導(dǎo)學(xué)生找出失誤的原因后指出：此關(guān)系式在任意△abc中都能成立，請大家先考慮一下證明思路。
生：想法將問題轉(zhuǎn)化成直角三角形中的問題進行解決。
生：因為要證明的是一個等式，所以應(yīng)先找到一個可以作為證明基礎(chǔ)的等量關(guān)系。
師：在三角形中有哪些可以作為證明基礎(chǔ)的等量關(guān)系呢？
學(xué)生七嘴八舌地說出一些等量關(guān)系，經(jīng)討論后確定如下一些與直角三角形有關(guān)的等量關(guān)系可能有利用價值：1、三角形的面積不變；2、三角形同一邊上的高不變；3、三角形外接圓直徑不變。
師：據(jù)我所知，從ac+cb=ab出發(fā)，也能證得結(jié)論，請大家討論一下。
生：要想辦法將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系。
生：利用向量的數(shù)量積運算可將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系。
生：還要想辦法將有三個項的關(guān)系式轉(zhuǎn)化成兩個項的關(guān)系式。
生：因為兩個垂直向量的數(shù)量積為0，可考慮選一個與三個向量中的一個向量(如向量ac)垂直的向量與向量等式的兩邊分別作數(shù)量積。
師：同學(xué)們通過自己的努力，發(fā)現(xiàn)并證明了正弦定理。正弦定理揭示了三角形中任意兩邊與其對角的關(guān)系，請大家留意身邊的事例，正弦定理能夠解決哪些問題。
4.運用定理，解決例題
師生活動：
教師：引導(dǎo)學(xué)生從分析方程思想分析正弦定理可以解決的問題。
學(xué)生：討論正弦定理可以解決的問題類型：
①如果已知三角形的任意兩個角與一邊，求三角形的另一角和另兩邊，如 ；
②如果已知三角形任意兩邊與其中一邊的對角，求另一邊與另兩角，如 。
師生：例1的處理，先讓學(xué)生思考回答解題思路，教師板書，讓學(xué)生思考主要是突出主體，教師板書的目的是規(guī)范解題步驟。
例1：在 中，已知 ， ， ，解三角形。
分析“已知三角形中兩角及一邊，求其他元素”，第一步可由三角形內(nèi)角和為 求出第三個角∠c，再由正弦定理求其他兩邊。
例2：在 中，已知 ， ， ，解三角形。
例2的處理，目的是讓學(xué)生掌握分類討論的數(shù)學(xué)思想，可先讓中等學(xué)生講解解題思路，其他同學(xué)補充交流
5. 反饋練習(xí)（教科書第5頁的練習(xí)）
6.嘗試小結(jié)：
教師：提示引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容。
學(xué)生：思考交流，歸納總結(jié)。
師生：讓學(xué)生嘗試小結(jié)，教師及時補充，要體現(xiàn)：
（1）正弦定理的內(nèi)容（ ）及其證明思想方法。
（2）正弦定理的應(yīng)用范圍：①已知三角形中兩角及一邊，求其他元素；②已知三角形中兩邊和其中一邊所對的角，求其他元素。
（3）分類討論的數(shù)學(xué)思想。
7.作業(yè)設(shè)計
作業(yè)：第10頁[習(xí)題1.1]a組第1、2題。
七.教學(xué)反思
在本課的教學(xué)中，教師立足于所創(chuàng)設(shè)的情境，通過學(xué)生自主探索、合作交流，親身經(jīng)歷了提出問題、解決問題、應(yīng)用反思的過程，學(xué)生成為正弦定理的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，切身感受了創(chuàng)造的苦和樂，知識目標(biāo)、能力目標(biāo)、情感目標(biāo)均得到了較好的落實。
創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境是這種教學(xué)模式的基礎(chǔ)環(huán)節(jié)，教師必須對學(xué)生的身心特點、知識水平、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)等因素進行綜合考慮，對可用的情境進行比較，選擇具有較好的教育功能的情境。這種教學(xué)模式主張以問題為連線組織教學(xué)活動，以學(xué)生作為提出問題的主體，因此，如何引導(dǎo)學(xué)生提出問題是教學(xué)成敗的關(guān)鍵。教學(xué)實驗表明，學(xué)生能否提出數(shù)學(xué)問題，不僅受其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、生活經(jīng)歷、學(xué)習(xí)方式等自身因素的影響，還受其所處的環(huán)境、教師對提問的態(tài)度等外在因素的制約。因此，教師不僅要注重創(chuàng)設(shè)適宜的數(shù)學(xué)情境，而且要真正轉(zhuǎn)變對學(xué)生提問的態(tài)度，提高引導(dǎo)水平，一方面要鼓勵學(xué)生大膽地提出問題，另一方面要妥善處理學(xué)生提出的問題。教師還要積極引導(dǎo)學(xué)生對所提的問題進行分析、整理，篩選出有價值的問題，注意啟發(fā)學(xué)生揭示問題的數(shù)學(xué)實質(zhì)，將提問引向深入.
[正弦定理概念教學(xué)設(shè)計]
垂徑定理教學(xué)設(shè)計教資篇十二
一、教學(xué)內(nèi)容分析
本節(jié)課是高一數(shù)學(xué)第五章《三角比》第三單元中正弦定理的第一課時，它既是初中“解直角三角形”內(nèi)容的直接延拓，也是坐標(biāo)法等知識在三角形中的具體運用，是生產(chǎn)、生活實際問題的重要工具，正弦定理揭示了任意三角形的邊角之間的一種等量關(guān)系，它與后面的余弦定理都是解三角形的重要工具。
本節(jié)課其主要任務(wù)是引入證明正弦定理及正弦定理的基本應(yīng)用，在課型上屬于“定理教學(xué)課”。因此，做好“正弦定理”的教學(xué)，不僅能復(fù)習(xí)鞏固舊知識，使學(xué)生掌握新的有用的知識，體會聯(lián)系、發(fā)展等辯證觀點，學(xué)生通過對定理證明的探究和討論，體驗到數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，進而培養(yǎng)學(xué)生提出問題、解決問題等研究性學(xué)習(xí)的能力。
二、學(xué)情分析
對高一的學(xué)生來說，一方面已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面幾何，解直角三角形，任意角的三角比等知識，具有一定觀察分析、解決問題的能力;但另一方面對新舊知識間的聯(lián)系、理解、應(yīng)用往往會出現(xiàn)思維障礙，思維靈活性、深刻性受到制約。根據(jù)以上特點，教師恰當(dāng)引導(dǎo)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)主動性，注意前后知識間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生直接參與分析問題、解決問題。
三、設(shè)計思想：
培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)、學(xué)會探究是全面發(fā)展學(xué)生能力的重要方面，也是高中新課程改革的主要任務(wù)。如何培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)、學(xué)會探究呢?建構(gòu)主義認(rèn)為：“知識不是被動吸收的，而是由認(rèn)知主體主動建構(gòu)的?！边@個觀點從教學(xué)的角度來理解就是：知識不僅是通過教師傳授得到的，更重要的是學(xué)生在一定的情境中，運用已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，并通過與他人(在教師指導(dǎo)和學(xué)習(xí)伙伴的幫助下)協(xié)作，主動建構(gòu)而獲得的，建構(gòu)主義教學(xué)模式強調(diào)以學(xué)生為中心，視學(xué)生為認(rèn)知的主體，教師只對學(xué)生的意義建構(gòu)起幫助和促進作用。本節(jié)“正弦定理”的教學(xué)，將遵循這個原則而進行設(shè)計。
四、教學(xué)目標(biāo)：
1、在創(chuàng)設(shè)的問題情境中，讓學(xué)生從已有的幾何知識和處理幾何圖形的常用方法出發(fā)，探索和證明正弦定理，體驗坐標(biāo)法將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題的優(yōu)越性，感受數(shù)學(xué)論證的嚴(yán)謹(jǐn)性.
2、理解三角形面積公式，能運用正弦定理解決三角形的兩類基本問題，并初步認(rèn)識用正弦定理解三角形時，會有一解、兩解、無解三種情況。
3、通過對實際問題的探索，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識既來源于生活，又服務(wù)與生活。
五、教學(xué)重點與難點
教學(xué)重點：正弦定理的探索與證明;正弦定理的基本應(yīng)用。
教學(xué)難點：正弦定理的探索與證明。
突破難點的手段：抓知識選擇的切入點，從學(xué)生原有的認(rèn)知水平和所需的知識特點入手，教師在學(xué)生
主體下給于適當(dāng)?shù)奶崾竞椭笇?dǎo)。
六、復(fù)習(xí)引入：
1.在任意三角形行中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關(guān)系?是否可以把邊、角關(guān)系準(zhǔn)確量化?
2.在abc中，角a、b、c的正弦對邊分別是a,b,c，你能發(fā)現(xiàn)它們之間有什么關(guān)系嗎?
結(jié)論：
證明：(向量法)過a作單位向量j垂直于ac，由ac+cb=ab邊同乘以單位向量。
正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等。
垂徑定理教學(xué)設(shè)計教資篇十三
《三垂線定理》教學(xué)設(shè)計
一、教學(xué)目標(biāo)：
1．認(rèn)知目標(biāo)：
掌握三垂線定理及其逆定理
(1) ?定理的證明
(2) ?定理的應(yīng)用
2．能力目標(biāo)：(1)能夠利用“線線垂直”→“線面垂直”及
“線面垂直”→“線線垂直”
(2)能夠熟練的想象出“線線”、“線面”間的位置關(guān)系
3．情感目標(biāo)：(1)通過自己發(fā)現(xiàn),探索,找出結(jié)論,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣;
(2)培養(yǎng)學(xué)生主動探求、發(fā)現(xiàn)的精神。
二、重點、難點：
本節(jié)課重點是三垂線定理及逆定理的證明及初步應(yīng)用
本節(jié)課難點是三垂線定理及逆定理中各線、面的作用
三、對象分析及教學(xué)設(shè)計：
該班學(xué)生基礎(chǔ)中等，有一定的分析問題、解決問題的能力，但積極性不夠。同時解決問題的能力有限,對于一些問題需要及時強化鞏固?？紤]用多媒體技術(shù)來激發(fā)學(xué)生的主動性，使他們能夠積極的投入到學(xué)習(xí)中去，自主去感受。使學(xué)習(xí)者個體自我潛能得到真正有意義的開發(fā)和發(fā)展。
四、網(wǎng)絡(luò)教學(xué)環(huán)境設(shè)計：
在多媒體網(wǎng)絡(luò)教室實施教學(xué),學(xué)生機上都裝有《幾何畫板》4.03及本課件，使得每個學(xué)生都能通過自己的操作體會到線線、線面之間的位置關(guān)系。同時教師又能控制學(xué)生的電腦，能夠進行課件的演示。
五、教學(xué)過程設(shè)計與分析：
教學(xué)過程
設(shè)計思路及多媒體應(yīng)用分析
[復(fù)習(xí)]
線線垂直的定義及線面垂直的定義
在計算機上，學(xué)生自己瀏覽和復(fù)習(xí)
演示斜線及斜線在平面上的射影
[提出問題、引入］
已知一平面α和平面的一斜線pa，在平面內(nèi)有沒有直線與已知直線垂直,如果沒有,請說明理由;如有,找出其中一條.
由于前面復(fù)習(xí)時演示了斜線及斜線在平面上的射影,在計算機上演示直線和平面,通過線面之間圖形的旋轉(zhuǎn),讓學(xué)生體會線面之間的關(guān)系,學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)結(jié)論
[學(xué)生回答]
[學(xué)生1]在平面內(nèi)和斜線在平面上的射影垂直的直線是滿足條件的直線
[學(xué)生2]一定嗎?
學(xué)生2提出疑問,可以讓學(xué)生自己在電腦上拖動直線a,觀察是否始終和直線pa垂直.
[教師演示]
顯示平面的垂線,斜線在平面上的射影,旋轉(zhuǎn)平面的位置,移動直線a的位置.
在整個動態(tài)變化過程中,讓學(xué)生體會它們之間的關(guān)系
[提問]
如何進行證明此結(jié)論呢?
[學(xué)生分析完成證明]
在電腦上打出證明過程.
[講解]此定理為三垂線定理,