2016江蘇高考數(shù)學復(fù)習強化練習題：函數(shù)與方程
一、選擇題
1.(文)曲線y=xex+2x-1在點(0，-1)處的切線方程為( )
A.y=3x-1 B.y=-3x-1
C.y=3x+1 D.y=-2x-1
[答案] A
[解析] k=y′|x=0=(ex+xex+2)|x=0=3，
切線方程為y=3x-1，故選A.
(理)(2014·吉林市質(zhì)檢)若函數(shù)f(x)=2sinx(x[0，π])在點P處的切線平行于函數(shù)g(x)=2·(+1)在點Q處的切線，則直線PQ的斜率( )
A.1 B.
C. D. 2
[答案] C
[解析] f′(x)=2cosx，x[0，π]，f′(x)∈[-2,2]，g′(x)=+≥2，當且僅當x=1時，等號成立，
設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則由題意知，2cosx1=+，2cosx1=2且+=2，x1∈[0，π]，
x1=0，y1=0，x2=1，y2=，kPQ==.
[方法點撥] 1.導數(shù)的幾何意義
函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導數(shù)f ′(x0)就是曲線y=f(x)在點(x0，f(x0))處的切線的斜率，即k=f ′(x0).
2.求曲線y=f(x)的切線方程的類型及方法
(1)已知切點P(x0，y0)，求y=f(x)過點P的切線方程：
求出切線的斜率f ′(x0)，由點斜式寫出方程;
(2)已知切線的斜率為k，求y=f(x)的切線方程：
設(shè)切點P(x0，y0)，通過方程k=f ′(x0)解得x0，再由點斜式寫出方程;
(3)已知切線上一點(非切點)，求y=f(x)的切線方程：
設(shè)切點P(x0，y0)，利用導數(shù)求得切線斜率f ′(x0)，再由斜率公式求得切線斜率，列方程(組)解得x0，再由點斜式或兩點式寫出方程.
3.若曲線的切線與已知直線平行或垂直，求曲線的切線方程時，先由平行或垂直關(guān)系確定切線的斜率，再由k=f′ (x0)求出切點坐標(x0，y0)，后寫出切線方程.
4.(1)在點P處的切線即是以P為切點的切線，P一定在曲線上.
(2)過點Q的切線即切線過點Q，Q不一定是切點，所以本題的易錯點是把點Q作為切點.因此在求過點P的切線方程時，應(yīng)首先檢驗點P是否在已知曲線上.
2.已知f(x)為定義在(-∞，+∞)上的可導函數(shù)，且f(x)e·f(0)，f(2012)>e2012·f(0)
B.f(1)e2012·f(0)
C.f(1)>e·f(0)，f(2012)0，即F(x)在xR上為增函數(shù)，
F(1)>F(0)，F(xiàn)(2012)>F(0)，
即>，>，
f(1)>ef(0)，
f(2012)>e2012f(0).
[方法點撥] 1.函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)
在區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f ′(x)>0，那么函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增.如果f ′(x)<0，那么函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞減.
2.利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的步驟.
(1)找出函數(shù)f(x)的定義域;
(2)求f ′(x);
(3)在定義域內(nèi)解不等式f ′(x)>0，f ′(x)<0.
3.求單調(diào)區(qū)間(或證明單調(diào)性)，只需在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)解(或證明)不等式f ′(x)>0或f ′(x)<0.
4.若已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的值或取值范圍，只需轉(zhuǎn)化為不等式f ′(x)≥0或f ′(x)≤0在單調(diào)區(qū)間內(nèi)恒成立的問題求解，解題過程中要注意分類討論;函數(shù)單調(diào)性問題以及一些相關(guān)的逆向問題，都離不開分類討論思想.
3.(2015·新課標理，12)設(shè)函數(shù)f′(x)是奇函數(shù)f(x)(xR)的導函數(shù)，f(-1)=0，當x>0時，xf′(x)-f(x)<0，則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是( )
A.(-∞，-1)(0,1) B.(-1,0)(1，+∞)
C.(-∞，-1)(-1,0) D.(0,1)(1，+∞)
[答案] A
[解析] 考查導數(shù)的應(yīng)用.
記函數(shù)g(x)=，則g′(x)=，因為當x>0時，xf′(x)-f(x)<0，故當x>0時，g′(x)<0，所以g(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞減;又因為函數(shù)f(x)(xR)是奇函數(shù)，故函數(shù)g(x)是偶函數(shù)，所以g(x)在(-∞，0)上單調(diào)遞減，且g(-1)=g(1)=0.當00，則f(x)>0;當x<-1時，g(x)<0，則f(x)>0，綜上所述，使得f(x)>0成立的x的取值范圍是(-∞，-1)(0,1)，故選A.
[方法點撥] 1.在研究函數(shù)的性質(zhì)與圖象，方程與不等式的解，不等式的證明等問題中，根據(jù)解題的需要可以構(gòu)造新的函數(shù)g(x)，通過研究g(x)的性質(zhì)(如單調(diào)性、極值等)來解決原問題是常用的方法.如在討論f ′(x)的符號時，若f ′(x)的一部分為h(x)，f ′(x)的符號由h(x)所決定，則可轉(zhuǎn)化為研究h(x)的極()值來解決，證明f(x)>g(x)時，可構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)，轉(zhuǎn)化為h(x)的小值問題等等.
2.應(yīng)用函數(shù)與方程思想解決函數(shù)、方程、不等式問題，是多元問題中的常見題型，常見的解題思路有以下兩種：
(1)分離變量，構(gòu)造函數(shù)，將不等式恒成立、方程求解等轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值(或值域)，然后求解.
(2)換元，將問題轉(zhuǎn)化為不等式、二次不等式或二次方程，進而構(gòu)造函數(shù)加以解決.
3.有關(guān)二次方程根的分布問題一般通過兩類方法解決：一是根與系數(shù)的關(guān)系與判別式，二是結(jié)合函數(shù)值的符號(或大小)、對稱軸、判別式用數(shù)形結(jié)合法處理.
4.和函數(shù)與方程思想密切關(guān)聯(lián)的知識點
函數(shù)y=f(x)，當y>0時轉(zhuǎn)化為不等式f(x)>0.
數(shù)列是自變量為正整數(shù)的函數(shù).
直線與二次曲線位置關(guān)系問題常轉(zhuǎn)化為二次方程根的分布問題.
立體幾何中有關(guān)計算問題，有時可借助面積、體積公式轉(zhuǎn)化為方程或函數(shù)值求解.
5.注意方程(或不等式)有解與恒成立的區(qū)別.
6.含兩個未知數(shù)的不等式(函數(shù))問題的常見題型及具體轉(zhuǎn)化策略：
(1)x1∈[a，b]，x2[c，d]，f(x1)>g(x2)f(x)在[a，b]上的小值>g(x)在[c，d]上的大值.
(2)x1∈[a，b]，x2[c，d]，f(x1)>g(x2)f(x)在[a，b]上的大值>g(x)在[c，d]上的小值.
(3)x1∈[a，b]，x2∈[c，d]，f(x1)>g(x2)f(x)在[a，b]上的小值>g(x)在[c，d]上的小值.
(4)x1∈[a，b]，x2∈[c，d]，f(x1)>g(x2)f(x)在[a，b]上的大值>g(x)在[c，d]上的大值.
(5)x1∈[a，b]，當x2[c，d]時，f(x1)=g(x2)f(x)在[a，b]上的值域與g(x)在[c，d]上的值域交集非空.
(6)x1∈[a，b]，x2∈[c，d]，f(x1)=g(x2)f(x)在[a，b]上的值域g(x)在[c，d]上的值域.
(7)x2∈[c，d]，x1∈[a，b]，f(x1)=g(x2)f(x)在[a，b]上的值域g(x)在[c，d]上的值域.
4.(文)已知函數(shù)y=f(x)的圖象是下列四個圖象之一，且其導函數(shù)y=f ′(x)的圖象如下圖所示，則該函數(shù)的圖象是( )
[答案] B
[解析] 本題考查原函數(shù)圖象與導函數(shù)圖象之間的關(guān)系.
由導數(shù)的幾何意義可得，y=f(x)在[-1,0]上每一點處的切線斜率逐漸變大，而在[0,1]上則逐漸變小，故選B.
(理)(2014·石家莊市質(zhì)檢)定義在區(qū)間[0,1]上的函數(shù)f(x)的圖象如下圖所示，以A(0，f(0))、B(1，f(1))、C(x，f(x))為頂點的ABC的面積記為函數(shù)S(x)，則函數(shù)S(x)的導函數(shù)S′(x)的大致圖象為( )
[答案] D
[解析] A、B為定點，|AB|為定值，ABC的面積S(x)隨點C到直線AB的距離d而變化，而d隨x的變化情況為增大→減小→0→增大→減小，ABC的面積先增大再減小，當A、B、C三點共線時，構(gòu)不成三角形;然后ABC的面積再逐漸增大，后再逐漸減小，觀察圖象可知，選D.
[方法點撥] 1.由導函數(shù)的圖象研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)，應(yīng)注意導函數(shù)圖象位于x軸上方的部分對應(yīng)f(x)的增區(qū)間，下方部分對應(yīng)f(x)的減區(qū)間，與x軸的交點對應(yīng)函數(shù)可能的極值點，導函數(shù)的單調(diào)性決定函數(shù)f(x)增長的速度;
2.由函數(shù)的圖象確定導函數(shù)的圖象時，應(yīng)注意觀察函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值點，它們依次對應(yīng)f′(x)的正負值區(qū)間和零點，圖象上開或下降的快慢決定導函數(shù)的單調(diào)性.
5.已知常數(shù)a、b、c都是實數(shù)，f(x)=ax3+bx2+cx-34的導函數(shù)為f′(x)，f′(x)≤0的解集為{x|-2≤x≤3}，若f(x)的極小值等于-115，則a的值是( )
A.- B.
C.2 D.5
[答案] C
[解析] 依題意得f′(x)=3ax2+2bx+c≤0的解集是[-2，3]，于是有3a>0，-2+3=-，-2×3=，
b=-，c=-18a，函數(shù)f(x)在x=3處取得極小值，于是有f(3)=27a+9b+3c-34=-115，-a=-81，a=2，故選C.
二、解答題
二、解答題
6.(文)已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+ax+2，曲線y=f(x)在點(0,2)處的切線與x軸交點的橫坐標為-2.
(1)求a;
(2)證明：當k<1時，曲線y=f(x)與直線y=kx-2只有一個交點.
[分析] (1)由導數(shù)的幾何意義可把斜率用a來表示，再由斜率公式可求出a的值;(2)把曲線與直線只有一個交點轉(zhuǎn)化為函數(shù)只有一個零點作為本問的切入點，利用分類討論的思想和利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性來判斷所設(shè)函數(shù)的單調(diào)性，從而得出此函數(shù)在每個區(qū)間的單調(diào)情況，進而求出零點個數(shù)，解決本問.
[解析] (1)f′(x)=3x3-6x+a，f′(0)=a，
由題設(shè)得-=-2，所以a=1.
(2)由(1)知，f(x)=x3-3x2+x+2.
設(shè)g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4.
由題設(shè)知1-k>0.
當x≤0時，g′(x)=3x2-6x+1-k>0，g(x)單調(diào)遞增，g(-1)=k-1<0，g(0)=4，
所以g(x)=0在(-∞，0]上有實根.
當x>0時，令h(x)=x3-3x2+4，則g(x)=h(x)+(1-k)x>h(x).
h′(x)=3x2-6x=3x(x-2)，h(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2，+∞)上單調(diào)遞增，所以
g(x)>h(x)≥h(2)=0，
所以g(x)=0在(0，+∞)上沒有實根.
綜上，g(x)在R上有實根，即曲線y=f(x)與直線y=kx-2只有一個交點.
(理)已知函數(shù)f(x)=ex-ax(a為常數(shù))的圖象與y軸交于點A，曲線y=f(x)在點A處的切線斜率為-1.
(1)求a的值及函數(shù)f(x)的極值;
(2)證明：當x>0時，x21，轉(zhuǎn)化為證明x>2lnx+lnk成立.構(gòu)造函數(shù)h(x)=x-2lnx-lnk求解.
[解析] (1)由f(x)=ex-ax，得f′(x)=ex-a.
又f′(0)=1-a=-1，得a=2.
所以f(x)=ex-2x，f′(x)=ex-2.
令f′(x)=0，得x=ln2.
當xln2時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增;
所以當x=ln2時，f(x)有極小值.
且極小值為f(ln2)=eln2-2ln2=2-ln4，
f(x)無極大值.
(2)令g(x)=ex-x2，則g′(x)=ex-2x.
由(1)得，g′(x)=f(x)≥f(ln2)=2-ln4>0，即g′(x)>0.
所以g(x)在R上單調(diào)遞增，又g(0)=1>0，
所以當x>0時，g(x)>g(0)>0，即x20時x20時，x21，要使不等式x2kx2成立，而要使ex>kx2成立，則只要x>ln(kx2)，只要x>2lnx+lnk成立，
令h(x)=x-2lnx-lnk，則h′(x)=1-=，所以當x>2時，h′(x)>0，h(x)在(2，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增
取x0=16k>16，所以h(x)在(x0，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增
又h(x0)=16k-2ln(16k)-lnk=8(k-ln2)+3(k-lnk)+5k
易知k>lnk，k>ln2,5k>0，所以h(x0)>0.
即存在x0=，當x(x0，+∞)時，恒有x20.
(1)設(shè)g(x)是f(x)的導函數(shù)，討論g(x)的單調(diào)性;
(2)證明：存在a(0,1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)=0在區(qū)間(1，+∞)內(nèi)有解.
[解析] 本題主要考查導數(shù)的運算、導數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用、函數(shù)的零點等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、創(chuàng)新意識，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想.
(1)由已知，函數(shù)f(x)的定義域為(0，+∞)，
g(x)=f′(x)=2(x-1-lnx-a)，
所以g′(x)=2-=.
當x(0,1)時，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，
當x(1，+∞)時，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增.
(2)由f′(x)=2(x-1-lnx-a)=0，解得a=x-1-lnx，
令Φ(x)=-2xlnx+x2-2x(x-1-lnx)+(x-1-lnx)2=(1+lnx)2-2xlnx，
則Φ(1)=1>0，Φ(e)=2(2-e)<0，
于是，存在x0(1，e)，使得Φ(x0)=0.
令a0=x0-1-lnx0=u(x0)，其中u(x)=x-1-lnx(x≥1)，
由u′(x)=1-≥0知，函數(shù)u(x)在區(qū)間(1，+∞)上單調(diào)遞增，
故0=u(1)
即a0(0,1).
當a=a0時，有f′(x0)=0，f(x0)=Φ(x0)=0
再由(1)知，f′(x)在區(qū)間(1，+∞)上單調(diào)遞增.
當x(1，x0)時，f′(x)<0，從而f(x)>f(x0)=0;
當x(x0，+∞)時，f′(x)>0，從而f(x)>f(x0)=0;
又當x(0,1]時，f(x)=(x-a0)2-2xlnx>0，
故x(0，+∞)時，f(x)≥0.
綜上所述，存在a(0,1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)=0在區(qū)間(1，+∞)內(nèi)有解.
(理)(2015·江蘇，19)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+b(a，bR).
(1)試討論f(x)的單調(diào)性;
(2)若b=c-a(實數(shù)c是與a無關(guān)的常數(shù))，當函數(shù)f(x)有三個不同的零點時，a的取值范圍恰好是(-∞，-3)∪，求c的值.
[解析] 考查利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)性、極值、函數(shù)零點.
(1)先求函數(shù)導數(shù)，通過討論導函數(shù)
零點求解;(2)通過構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)與函數(shù)關(guān)系求解.
(1)f′(x)=3x2+2ax，令f′(x)=0，解得x1=0，x2=-.
當a=0時，因為f′(x)=3x2≥0，所以函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)上單調(diào)遞增;
當a>0時，x∪(0，+∞)時，f′(x)>0，x(-，0)時，f′(x)<0，
所以函數(shù)f(x)在，(0，+∞)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減;
當a<0時，x(-∞，0)時，f′(x)>0，x時，f′(x)<0，
所以函數(shù)f(x)在(-∞，0)，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
(2)由(1)知，函數(shù)f(x)的兩個極值為f(0)=b，f=a3+b，則函數(shù)f(x)有三個零點等價于f(0)·f=ba3+b<0，從而或.
又b=c-a，所以當a>0時，a3-a+c>0，
或當a<0時，a3-a+c<0.
設(shè)g(a)=a3-a+c，因為函數(shù)f(x)有三個零點時，a的取值范圍恰好是(-∞，-3)∪，則在(-∞，-3)上g(a)<0，且在上g(a)>0均恒成立，
從而g(-3)=c-1≤0，且g=c-1≥0，因此c=1.
此時，f(x)=x3+ax2+1-a=(x+1)[x2+(a-1)x+1-a]，
因函數(shù)有三個零點，則x2+(a-1)x+1-a=0有兩個異于-1的不等實根，
所以Δ=(a-1)2-4(1-a)=a2+2a-3>0，且(-1)2-(a-1)+1-a≠0，
解得a(-∞，-3)1，，+∞.
綜上c=1.
[方法點撥] 用導數(shù)研究函數(shù)綜合題的一般步驟：
第一步，將所給問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)性質(zhì)的問題.
若已給出函數(shù)，直接進入下一步.
第二步，確定函數(shù)的定義域.
第三步，求導數(shù)f ′(x)，解方程f ′(x)=0，確定f(x)的極值點x=x0.
第四步，判斷f(x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性和極值，若在x=x0左側(cè)f ′(x)>0，右側(cè)f ′(x)>0，則f(x0)為極大值，反之f(x0)為極小值，若在x=x0兩側(cè)f ′(x)不變號，則x=x0不是f(x)的極值點.
第五步，求f(x)的值，比較各極值點與區(qū)間端點f(a)，f(b)的大小，大的一個為大值、小的一個為小值.
第六步，得出問題的結(jié)論.
8.濟南市“兩會”召開前，某政協(xié)委員針對自己提出的“環(huán)保提案”對某處的環(huán)境狀況進行了實地調(diào)研，據(jù)測定，該處的污染指數(shù)與附近污染源的強度成正比，與到污染源的距離成反比，比例常數(shù)為k(k>0).現(xiàn)已知相距36km的A、B兩家化工廠(污染源)的污染強度分別為正數(shù)a、b，它們連線上任意一點C處的污染指數(shù)y等于兩化工廠對該處的污染指數(shù)之和.設(shè)AC=x(km).
(1)試將y表示為x的函數(shù);
(2)若a=1時，y在x=6處取得小值，試求b的值.
[解析] (1)設(shè)點C受A污染源污染指數(shù)為，點C受B污染源污染指數(shù)為，其中k為比例系數(shù)，且k>0.
從而點C處污染指數(shù)y=+(00，即f′(x)>0，故f(x)為增函數(shù);
當x>x2時，g(x)<0，即f′(x)<0，故f(x)為減函數(shù);
由f(x)在[3，+∞)上為減函數(shù)，知x2=≤3，
解得a≥-，
故a的取值范圍為.
[方法點撥] 1.利用導數(shù)研究函數(shù)值的一般步驟
(1)求定義域;(2)求導數(shù)f ′(x);(3)求極值，先解方程f ′(x)=0，驗證f ′(x)在根左右兩側(cè)值的符號確定單調(diào)性，若在x=x0左側(cè)f ′(x)>0，右側(cè)f ′(x)<0，則f(x0)為極大值，反之f(x0)為極小值，若在x=x0兩側(cè)f(x)的值不變號，則x=x0不是f(x)的極值點;(4)求值，比較各極值點與區(qū)間[a，b]的端點值f(a)、f(b)的大小，其中大的一個為大值，小的一個為小值.
2.已知f(x)在某區(qū)間上的極值或極值的存在情況，則轉(zhuǎn)化為方程f ′(x)=0的根的大小或存在情況.
一、選擇題
1.(文)曲線y=xex+2x-1在點(0，-1)處的切線方程為( )
A.y=3x-1 B.y=-3x-1
C.y=3x+1 D.y=-2x-1
[答案] A
[解析] k=y′|x=0=(ex+xex+2)|x=0=3，
切線方程為y=3x-1，故選A.
(理)(2014·吉林市質(zhì)檢)若函數(shù)f(x)=2sinx(x[0，π])在點P處的切線平行于函數(shù)g(x)=2·(+1)在點Q處的切線，則直線PQ的斜率( )
A.1 B.
C. D. 2
[答案] C
[解析] f′(x)=2cosx，x[0，π]，f′(x)∈[-2,2]，g′(x)=+≥2，當且僅當x=1時，等號成立，
設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則由題意知，2cosx1=+，2cosx1=2且+=2，x1∈[0，π]，
x1=0，y1=0，x2=1，y2=，kPQ==.
[方法點撥] 1.導數(shù)的幾何意義
函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導數(shù)f ′(x0)就是曲線y=f(x)在點(x0，f(x0))處的切線的斜率，即k=f ′(x0).
2.求曲線y=f(x)的切線方程的類型及方法
(1)已知切點P(x0，y0)，求y=f(x)過點P的切線方程：
求出切線的斜率f ′(x0)，由點斜式寫出方程;
(2)已知切線的斜率為k，求y=f(x)的切線方程：
設(shè)切點P(x0，y0)，通過方程k=f ′(x0)解得x0，再由點斜式寫出方程;
(3)已知切線上一點(非切點)，求y=f(x)的切線方程：
設(shè)切點P(x0，y0)，利用導數(shù)求得切線斜率f ′(x0)，再由斜率公式求得切線斜率，列方程(組)解得x0，再由點斜式或兩點式寫出方程.
3.若曲線的切線與已知直線平行或垂直，求曲線的切線方程時，先由平行或垂直關(guān)系確定切線的斜率，再由k=f′ (x0)求出切點坐標(x0，y0)，后寫出切線方程.
4.(1)在點P處的切線即是以P為切點的切線，P一定在曲線上.
(2)過點Q的切線即切線過點Q，Q不一定是切點，所以本題的易錯點是把點Q作為切點.因此在求過點P的切線方程時，應(yīng)首先檢驗點P是否在已知曲線上.
2.已知f(x)為定義在(-∞，+∞)上的可導函數(shù)，且f(x)e·f(0)，f(2012)>e2012·f(0)
B.f(1)e2012·f(0)
C.f(1)>e·f(0)，f(2012)0，即F(x)在xR上為增函數(shù)，
F(1)>F(0)，F(xiàn)(2012)>F(0)，
即>，>，
f(1)>ef(0)，
f(2012)>e2012f(0).
[方法點撥] 1.函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)
在區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f ′(x)>0，那么函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增.如果f ′(x)<0，那么函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞減.
2.利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的步驟.
(1)找出函數(shù)f(x)的定義域;
(2)求f ′(x);
(3)在定義域內(nèi)解不等式f ′(x)>0，f ′(x)<0.
3.求單調(diào)區(qū)間(或證明單調(diào)性)，只需在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)解(或證明)不等式f ′(x)>0或f ′(x)<0.
4.若已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的值或取值范圍，只需轉(zhuǎn)化為不等式f ′(x)≥0或f ′(x)≤0在單調(diào)區(qū)間內(nèi)恒成立的問題求解，解題過程中要注意分類討論;函數(shù)單調(diào)性問題以及一些相關(guān)的逆向問題，都離不開分類討論思想.
3.(2015·新課標理，12)設(shè)函數(shù)f′(x)是奇函數(shù)f(x)(xR)的導函數(shù)，f(-1)=0，當x>0時，xf′(x)-f(x)<0，則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是( )
A.(-∞，-1)(0,1) B.(-1,0)(1，+∞)
C.(-∞，-1)(-1,0) D.(0,1)(1，+∞)
[答案] A
[解析] 考查導數(shù)的應(yīng)用.
記函數(shù)g(x)=，則g′(x)=，因為當x>0時，xf′(x)-f(x)<0，故當x>0時，g′(x)<0，所以g(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞減;又因為函數(shù)f(x)(xR)是奇函數(shù)，故函數(shù)g(x)是偶函數(shù)，所以g(x)在(-∞，0)上單調(diào)遞減，且g(-1)=g(1)=0.當00，則f(x)>0;當x<-1時，g(x)<0，則f(x)>0，綜上所述，使得f(x)>0成立的x的取值范圍是(-∞，-1)(0,1)，故選A.
[方法點撥] 1.在研究函數(shù)的性質(zhì)與圖象，方程與不等式的解，不等式的證明等問題中，根據(jù)解題的需要可以構(gòu)造新的函數(shù)g(x)，通過研究g(x)的性質(zhì)(如單調(diào)性、極值等)來解決原問題是常用的方法.如在討論f ′(x)的符號時，若f ′(x)的一部分為h(x)，f ′(x)的符號由h(x)所決定，則可轉(zhuǎn)化為研究h(x)的極()值來解決，證明f(x)>g(x)時，可構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)，轉(zhuǎn)化為h(x)的小值問題等等.
2.應(yīng)用函數(shù)與方程思想解決函數(shù)、方程、不等式問題，是多元問題中的常見題型，常見的解題思路有以下兩種：
(1)分離變量，構(gòu)造函數(shù)，將不等式恒成立、方程求解等轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值(或值域)，然后求解.
(2)換元，將問題轉(zhuǎn)化為不等式、二次不等式或二次方程，進而構(gòu)造函數(shù)加以解決.
3.有關(guān)二次方程根的分布問題一般通過兩類方法解決：一是根與系數(shù)的關(guān)系與判別式，二是結(jié)合函數(shù)值的符號(或大小)、對稱軸、判別式用數(shù)形結(jié)合法處理.
4.和函數(shù)與方程思想密切關(guān)聯(lián)的知識點
函數(shù)y=f(x)，當y>0時轉(zhuǎn)化為不等式f(x)>0.
數(shù)列是自變量為正整數(shù)的函數(shù).
直線與二次曲線位置關(guān)系問題常轉(zhuǎn)化為二次方程根的分布問題.
立體幾何中有關(guān)計算問題，有時可借助面積、體積公式轉(zhuǎn)化為方程或函數(shù)值求解.
5.注意方程(或不等式)有解與恒成立的區(qū)別.
6.含兩個未知數(shù)的不等式(函數(shù))問題的常見題型及具體轉(zhuǎn)化策略：
(1)x1∈[a，b]，x2[c，d]，f(x1)>g(x2)f(x)在[a，b]上的小值>g(x)在[c，d]上的大值.
(2)x1∈[a，b]，x2[c，d]，f(x1)>g(x2)f(x)在[a，b]上的大值>g(x)在[c，d]上的小值.
(3)x1∈[a，b]，x2∈[c，d]，f(x1)>g(x2)f(x)在[a，b]上的小值>g(x)在[c，d]上的小值.
(4)x1∈[a，b]，x2∈[c，d]，f(x1)>g(x2)f(x)在[a，b]上的大值>g(x)在[c，d]上的大值.
(5)x1∈[a，b]，當x2[c，d]時，f(x1)=g(x2)f(x)在[a，b]上的值域與g(x)在[c，d]上的值域交集非空.
(6)x1∈[a，b]，x2∈[c，d]，f(x1)=g(x2)f(x)在[a，b]上的值域g(x)在[c，d]上的值域.
(7)x2∈[c，d]，x1∈[a，b]，f(x1)=g(x2)f(x)在[a，b]上的值域g(x)在[c，d]上的值域.
4.(文)已知函數(shù)y=f(x)的圖象是下列四個圖象之一，且其導函數(shù)y=f ′(x)的圖象如下圖所示，則該函數(shù)的圖象是( )
[答案] B
[解析] 本題考查原函數(shù)圖象與導函數(shù)圖象之間的關(guān)系.
由導數(shù)的幾何意義可得，y=f(x)在[-1,0]上每一點處的切線斜率逐漸變大，而在[0,1]上則逐漸變小，故選B.
(理)(2014·石家莊市質(zhì)檢)定義在區(qū)間[0,1]上的函數(shù)f(x)的圖象如下圖所示，以A(0，f(0))、B(1，f(1))、C(x，f(x))為頂點的ABC的面積記為函數(shù)S(x)，則函數(shù)S(x)的導函數(shù)S′(x)的大致圖象為( )
[答案] D
[解析] A、B為定點，|AB|為定值，ABC的面積S(x)隨點C到直線AB的距離d而變化，而d隨x的變化情況為增大→減小→0→增大→減小，ABC的面積先增大再減小，當A、B、C三點共線時，構(gòu)不成三角形;然后ABC的面積再逐漸增大，后再逐漸減小，觀察圖象可知，選D.
[方法點撥] 1.由導函數(shù)的圖象研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)，應(yīng)注意導函數(shù)圖象位于x軸上方的部分對應(yīng)f(x)的增區(qū)間，下方部分對應(yīng)f(x)的減區(qū)間，與x軸的交點對應(yīng)函數(shù)可能的極值點，導函數(shù)的單調(diào)性決定函數(shù)f(x)增長的速度;
2.由函數(shù)的圖象確定導函數(shù)的圖象時，應(yīng)注意觀察函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值點，它們依次對應(yīng)f′(x)的正負值區(qū)間和零點，圖象上開或下降的快慢決定導函數(shù)的單調(diào)性.
5.已知常數(shù)a、b、c都是實數(shù)，f(x)=ax3+bx2+cx-34的導函數(shù)為f′(x)，f′(x)≤0的解集為{x|-2≤x≤3}，若f(x)的極小值等于-115，則a的值是( )
A.- B.
C.2 D.5
[答案] C
[解析] 依題意得f′(x)=3ax2+2bx+c≤0的解集是[-2，3]，于是有3a>0，-2+3=-，-2×3=，
b=-，c=-18a，函數(shù)f(x)在x=3處取得極小值，于是有f(3)=27a+9b+3c-34=-115，-a=-81，a=2，故選C.
二、解答題
二、解答題
6.(文)已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+ax+2，曲線y=f(x)在點(0,2)處的切線與x軸交點的橫坐標為-2.
(1)求a;
(2)證明：當k<1時，曲線y=f(x)與直線y=kx-2只有一個交點.
[分析] (1)由導數(shù)的幾何意義可把斜率用a來表示，再由斜率公式可求出a的值;(2)把曲線與直線只有一個交點轉(zhuǎn)化為函數(shù)只有一個零點作為本問的切入點，利用分類討論的思想和利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性來判斷所設(shè)函數(shù)的單調(diào)性，從而得出此函數(shù)在每個區(qū)間的單調(diào)情況，進而求出零點個數(shù)，解決本問.
[解析] (1)f′(x)=3x3-6x+a，f′(0)=a，
由題設(shè)得-=-2，所以a=1.
(2)由(1)知，f(x)=x3-3x2+x+2.
設(shè)g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4.
由題設(shè)知1-k>0.
當x≤0時，g′(x)=3x2-6x+1-k>0，g(x)單調(diào)遞增，g(-1)=k-1<0，g(0)=4，
所以g(x)=0在(-∞，0]上有實根.
當x>0時，令h(x)=x3-3x2+4，則g(x)=h(x)+(1-k)x>h(x).
h′(x)=3x2-6x=3x(x-2)，h(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2，+∞)上單調(diào)遞增，所以
g(x)>h(x)≥h(2)=0，
所以g(x)=0在(0，+∞)上沒有實根.
綜上，g(x)在R上有實根，即曲線y=f(x)與直線y=kx-2只有一個交點.
(理)已知函數(shù)f(x)=ex-ax(a為常數(shù))的圖象與y軸交于點A，曲線y=f(x)在點A處的切線斜率為-1.
(1)求a的值及函數(shù)f(x)的極值;
(2)證明：當x>0時，x21，轉(zhuǎn)化為證明x>2lnx+lnk成立.構(gòu)造函數(shù)h(x)=x-2lnx-lnk求解.
[解析] (1)由f(x)=ex-ax，得f′(x)=ex-a.
又f′(0)=1-a=-1，得a=2.
所以f(x)=ex-2x，f′(x)=ex-2.
令f′(x)=0，得x=ln2.
當xln2時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增;
所以當x=ln2時，f(x)有極小值.
且極小值為f(ln2)=eln2-2ln2=2-ln4，
f(x)無極大值.
(2)令g(x)=ex-x2，則g′(x)=ex-2x.
由(1)得，g′(x)=f(x)≥f(ln2)=2-ln4>0，即g′(x)>0.
所以g(x)在R上單調(diào)遞增，又g(0)=1>0，
所以當x>0時，g(x)>g(0)>0，即x20時x20時，x21，要使不等式x2kx2成立，而要使ex>kx2成立，則只要x>ln(kx2)，只要x>2lnx+lnk成立，
令h(x)=x-2lnx-lnk，則h′(x)=1-=，所以當x>2時，h′(x)>0，h(x)在(2，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增
取x0=16k>16，所以h(x)在(x0，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增
又h(x0)=16k-2ln(16k)-lnk=8(k-ln2)+3(k-lnk)+5k
易知k>lnk，k>ln2,5k>0，所以h(x0)>0.
即存在x0=，當x(x0，+∞)時，恒有x20.
(1)設(shè)g(x)是f(x)的導函數(shù)，討論g(x)的單調(diào)性;
(2)證明：存在a(0,1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)=0在區(qū)間(1，+∞)內(nèi)有解.
[解析] 本題主要考查導數(shù)的運算、導數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用、函數(shù)的零點等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、創(chuàng)新意識，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想.
(1)由已知，函數(shù)f(x)的定義域為(0，+∞)，
g(x)=f′(x)=2(x-1-lnx-a)，
所以g′(x)=2-=.
當x(0,1)時，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，
當x(1，+∞)時，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增.
(2)由f′(x)=2(x-1-lnx-a)=0，解得a=x-1-lnx，
令Φ(x)=-2xlnx+x2-2x(x-1-lnx)+(x-1-lnx)2=(1+lnx)2-2xlnx，
則Φ(1)=1>0，Φ(e)=2(2-e)<0，
于是，存在x0(1，e)，使得Φ(x0)=0.
令a0=x0-1-lnx0=u(x0)，其中u(x)=x-1-lnx(x≥1)，
由u′(x)=1-≥0知，函數(shù)u(x)在區(qū)間(1，+∞)上單調(diào)遞增，
故0=u(1)
即a0(0,1).
當a=a0時，有f′(x0)=0，f(x0)=Φ(x0)=0
再由(1)知，f′(x)在區(qū)間(1，+∞)上單調(diào)遞增.
當x(1，x0)時，f′(x)<0，從而f(x)>f(x0)=0;
當x(x0，+∞)時，f′(x)>0，從而f(x)>f(x0)=0;
又當x(0,1]時，f(x)=(x-a0)2-2xlnx>0，
故x(0，+∞)時，f(x)≥0.
綜上所述，存在a(0,1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)=0在區(qū)間(1，+∞)內(nèi)有解.
(理)(2015·江蘇，19)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+b(a，bR).
(1)試討論f(x)的單調(diào)性;
(2)若b=c-a(實數(shù)c是與a無關(guān)的常數(shù))，當函數(shù)f(x)有三個不同的零點時，a的取值范圍恰好是(-∞，-3)∪，求c的值.
[解析] 考查利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)性、極值、函數(shù)零點.
(1)先求函數(shù)導數(shù)，通過討論導函數(shù)
零點求解;(2)通過構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)與函數(shù)關(guān)系求解.
(1)f′(x)=3x2+2ax，令f′(x)=0，解得x1=0，x2=-.
當a=0時，因為f′(x)=3x2≥0，所以函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)上單調(diào)遞增;
當a>0時，x∪(0，+∞)時，f′(x)>0，x(-，0)時，f′(x)<0，
所以函數(shù)f(x)在，(0，+∞)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減;
當a<0時，x(-∞，0)時，f′(x)>0，x時，f′(x)<0，
所以函數(shù)f(x)在(-∞，0)，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
(2)由(1)知，函數(shù)f(x)的兩個極值為f(0)=b，f=a3+b，則函數(shù)f(x)有三個零點等價于f(0)·f=ba3+b<0，從而或.
又b=c-a，所以當a>0時，a3-a+c>0，
或當a<0時，a3-a+c<0.
設(shè)g(a)=a3-a+c，因為函數(shù)f(x)有三個零點時，a的取值范圍恰好是(-∞，-3)∪，則在(-∞，-3)上g(a)<0，且在上g(a)>0均恒成立，
從而g(-3)=c-1≤0，且g=c-1≥0，因此c=1.
此時，f(x)=x3+ax2+1-a=(x+1)[x2+(a-1)x+1-a]，
因函數(shù)有三個零點，則x2+(a-1)x+1-a=0有兩個異于-1的不等實根，
所以Δ=(a-1)2-4(1-a)=a2+2a-3>0，且(-1)2-(a-1)+1-a≠0，
解得a(-∞，-3)1，，+∞.
綜上c=1.
[方法點撥] 用導數(shù)研究函數(shù)綜合題的一般步驟：
第一步，將所給問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)性質(zhì)的問題.
若已給出函數(shù)，直接進入下一步.
第二步，確定函數(shù)的定義域.
第三步，求導數(shù)f ′(x)，解方程f ′(x)=0，確定f(x)的極值點x=x0.
第四步，判斷f(x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性和極值，若在x=x0左側(cè)f ′(x)>0，右側(cè)f ′(x)>0，則f(x0)為極大值，反之f(x0)為極小值，若在x=x0兩側(cè)f ′(x)不變號，則x=x0不是f(x)的極值點.
第五步，求f(x)的值，比較各極值點與區(qū)間端點f(a)，f(b)的大小，大的一個為大值、小的一個為小值.
第六步，得出問題的結(jié)論.
8.濟南市“兩會”召開前，某政協(xié)委員針對自己提出的“環(huán)保提案”對某處的環(huán)境狀況進行了實地調(diào)研，據(jù)測定，該處的污染指數(shù)與附近污染源的強度成正比，與到污染源的距離成反比，比例常數(shù)為k(k>0).現(xiàn)已知相距36km的A、B兩家化工廠(污染源)的污染強度分別為正數(shù)a、b，它們連線上任意一點C處的污染指數(shù)y等于兩化工廠對該處的污染指數(shù)之和.設(shè)AC=x(km).
(1)試將y表示為x的函數(shù);
(2)若a=1時，y在x=6處取得小值，試求b的值.
[解析] (1)設(shè)點C受A污染源污染指數(shù)為，點C受B污染源污染指數(shù)為，其中k為比例系數(shù)，且k>0.
從而點C處污染指數(shù)y=+(00，即f′(x)>0，故f(x)為增函數(shù);
當x>x2時，g(x)<0，即f′(x)<0，故f(x)為減函數(shù);
由f(x)在[3，+∞)上為減函數(shù)，知x2=≤3，
解得a≥-，
故a的取值范圍為.
[方法點撥] 1.利用導數(shù)研究函數(shù)值的一般步驟
(1)求定義域;(2)求導數(shù)f ′(x);(3)求極值，先解方程f ′(x)=0，驗證f ′(x)在根左右兩側(cè)值的符號確定單調(diào)性，若在x=x0左側(cè)f ′(x)>0，右側(cè)f ′(x)<0，則f(x0)為極大值，反之f(x0)為極小值，若在x=x0兩側(cè)f(x)的值不變號，則x=x0不是f(x)的極值點;(4)求值，比較各極值點與區(qū)間[a，b]的端點值f(a)、f(b)的大小，其中大的一個為大值，小的一個為小值.
2.已知f(x)在某區(qū)間上的極值或極值的存在情況，則轉(zhuǎn)化為方程f ′(x)=0的根的大小或存在情況.