一、選擇題(每小題3分，共18分)
1.已知直線l1，l2與平面α，有下列說法：
①若l1∥α，l1∥l2，則l2∥α;②l1 α，l2∩α=A，則l1與l2為異面直線;③若l1⊥α，l2⊥α，則l1∥l2;④若l1⊥l2，l1∥α，則l2∥α.
其中正確的個(gè)數(shù)有( )
A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)
【解析】選B.①錯(cuò)，因?yàn)閘2還可能在α內(nèi).②錯(cuò)，當(dāng)A∈l1時(shí)，l1∩l2=A.③對，是線面垂直的性質(zhì)定理.④錯(cuò)，l2與α的位置關(guān)系不確定.
2.(2014•松原高一檢測)BC是Rt△ABC的斜邊，AP⊥平面ABC，PD⊥BC于點(diǎn)D，連接AD，則圖中共有直角三角形的個(gè)數(shù)
是( )
A.8 B.7
C.6 D.5
【解析】選A.因?yàn)锳P⊥平面ABC，BC 平面ABC，
所以PA⊥BC，又PD⊥BC于D，PD∩PA=P，
所以BC⊥平面PAD，AD 平面PAD，所以BC⊥AD.
又BC是Rt△ABC的斜邊，所以∠BAC為直角.
所以圖中的直角三角形有：△ABC，△PAC，△PAB，△PAD，△PDC，△PDB，
△ADC，△ADB.
3.在空間中，下列說法正確的有( )
①平行于同一條直線的兩條直線互相平行;
②垂直于同一條直線的兩條直線互相平行;
③平行于同一平面的兩條直線互相平行;
④兩條異面直線不可能垂直于同一平面.
A. 1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
【解析】選B.由公理4知①正確，由線面垂直的性質(zhì)定理知④正確.對于②，空間中垂直于同一條直線的兩條直線相交、平行、異面都有可能.對③中的兩條平行于同一個(gè)平面的直線，其位置關(guān)系不確定.
4.(2013•廣東高考)設(shè)l為直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列說法中正確的是( )
A.若l∥α，l∥β，則α∥β B.若l⊥α，l⊥β，則α∥β
C.若l⊥α，l∥β，則α∥β D.若α⊥β，l∥α，則l⊥β
【解析】選B.對于選項(xiàng)A，兩個(gè)平面α，β平行于同一條直線，不能確定兩平面平行還是相交(若兩平面相交能確定與交線平行);對于選項(xiàng)B，垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行(直線是公垂線);對于選項(xiàng)C，能推出兩個(gè)平面相交且兩個(gè)平面垂直;對于選項(xiàng)D，l∥β，l⊥β，l β都可能.
5.如圖，已知△ABC為直角三角形，其中∠ACB=90°，M為AB的中點(diǎn)，PM垂直于△ABC所在平面，那么( )
A.PA=PB>PC
B.PA=PB
C.PA=PB=PC
D.PA≠PB≠PC
【解析】選C.
因?yàn)椤鰽BC為直角三角形，M為斜邊AB的中點(diǎn)，
所以MA=MB=MC，
因?yàn)镻M垂直于△ABC所在平面，
所以Rt△PMA≌Rt△PMB≌Rt△PMC，
所以PA=PB=PC .
【變式訓(xùn)練】已知直線PG⊥平面α于G，直線EF α，且PF⊥EF于F，那么線段PE，PF，PG的關(guān)系是( )
A.PE>PG>PF B.PG>PF>PE
C.PE>PF>PG D.PF>PE>PG
【解析】選C.在Rt△PFE中，PE>PF;在Rt△PFG中，PF>PG，所以PE>PF>PG.
6.(2014•吉安高二檢測)如圖，設(shè)平面α∩β=EF，AB⊥α，CD⊥α.垂足分別為B，D，如果增加一個(gè)條件，就能推出BD⊥EF，這個(gè)條件不可能是下面四個(gè)選項(xiàng)中的( )
A.AC⊥β
B.AC⊥EF
C.AC與BD在β內(nèi)的射影在同一條直線上
D.AC與α，β所成的角相等
【解析】選D.對于A.若AC⊥β，EF β，則AC⊥EF.
又AB⊥α，EF α，則AB⊥EF，AB⊥α，CD⊥α，
所以AB∥CD，
故ABDC確定一個(gè)平面，又AC∩AB=A，
所以EF⊥平面ABDC，
BD 平面ABDC，所以EF⊥BD.同理B也能推出BD⊥EF.對于選項(xiàng)C.由于AC與BD在β內(nèi)的射影在同一條直線上，所以平面ABDC與平面β垂直，又因?yàn)镋F⊥AB，所以EF⊥平面ABDC，所以EF⊥BD.對于D，若AC∥EF，則AC與α，β所成的角也相等，但不能推出BD⊥EF.二、填空題(每小題4分，共12分)
7.(2014•無錫高二檢測)已知直線m 平面α，直線n 平面α，m∩n=M，直線a⊥m，a⊥n，直線b⊥m，b⊥n，則直線a，b的位置關(guān)系是________.
【解析】因?yàn)橹本€a⊥m，a⊥n，直線m 平面α，直線n 平面α，m∩n=M，所以a⊥α.同理可證直線b⊥α，所以a∥b.
答案：a∥b
8.若三個(gè)平面兩兩垂直，它們交于一點(diǎn)A，空間一點(diǎn)C1到三個(gè)平面的距離分別為5，6，7，則AC1的長為________.
【解析】如圖構(gòu)造長方體，可知長方體的長、寬、高分別為7，6，5，AC1為體對角線，所以AC1= = .
答案：
9.AB是☉O的直徑，點(diǎn)C是☉O上的動點(diǎn)(點(diǎn)C不與A，B重合)，過動點(diǎn)C的直線VC垂直于☉O所在的平面，D，E分別是VA，VC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是________(填寫正確結(jié)論的序號).
(1)直線DE∥平面ABC.
(2)直線DE⊥平面VBC.
(3)DE⊥VB.
(4)DE⊥AB.
【解析】因?yàn)锳B是☉O的直徑，點(diǎn)C是☉O上的動點(diǎn)(點(diǎn)C不與A，B重合)，
所以AC⊥BC，
因?yàn)閂C垂直于☉O所在的平面，
所以AC⊥VC，又BC∩VC=C，
所以AC⊥平面VBC.
因?yàn)镈，E分別是VA，VC的中點(diǎn)，
所以DE∥AC，又DE⊈平面ABC，AC 平面ABC，
所以DE∥平面ABC，
DE⊥平面VBC，DE⊥VB，
DE與AB所成的角為∠BAC是銳角，故DE⊥AB不成立.
由以上分析可知(1)(2)(3)正確.
答案：(1)(2)(3)
三、解答題(每小題10分，共20分)
10.(2014•開封高一檢測)如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°.
(1)求證：AB⊥A1C.
(2)若AB=CB=2，A1C= ，求三棱柱ABC-A1B1C1的體積.
【解析】(1)如圖，
取AB的中點(diǎn)O，連接OC，OA1，A1B.
因?yàn)镃A=CB，所以O(shè)C⊥AB.
由于AB=AA1，∠BAA1=60°，故△AA1B為等邊三角形，
所以O(shè)A1⊥AB.
因?yàn)镺C∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C.
又A1C 平面OA1C，故AB⊥A1C.
(2)由題設(shè)知△ABC與△AA1B都是邊長為2的等邊三角形，
所以O(shè)C=OA1= .
又A1C= ，則A1C2=OC2+O ，故OA1⊥OC.
因?yàn)镺C∩AB=O，所以O(shè)A1⊥平面ABC，所以O(shè)A1為三棱柱ABC-A1B1C1的高.
又△ABC的面積S△ABC= ，故三棱柱ABC-A1B1C1的體積V=S△ABC×OA1= × =3.
11.如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1，∠ACB=90°，AA1= ，D是A1B1的中點(diǎn).
(1)求證：C1D⊥平面A1B.
(2)當(dāng)點(diǎn)F在BB1上什么位置時(shí)，會使得AB1⊥平面C1DF?并證明你的結(jié)論.
【解析】(1)因?yàn)锳BC-A1B1C1是直三棱柱，
所以A1C1=B1C1=1，且∠A1C1B1=90°.
又D是A1B1的中點(diǎn)，
所以C1D⊥A1B1.
因?yàn)锳A1⊥平面A1B1C1，C1D 平面A1B1C1，
所以AA1⊥C1D，又AA1∩A1B1=A1，
所以C1D⊥平面A1B.
(2)作DE⊥AB1交AB1于E，延長DE交BB1于F，連接C1F，則AB1⊥平面C1DF，點(diǎn)F即為所求.
證明：因?yàn)镃1D⊥平面AA1B1B，AB1 平面AA1B1B，
所以C1D⊥AB1.
又AB1⊥DF，DF∩C1D=D，
所以AB1⊥平面C1DF.
【變式訓(xùn)練】如圖所示，ABCD為正方形，SA⊥平面ABCD，過A且垂直于SC的平面分別交SB，SC，SD于點(diǎn)E，F(xiàn)，G.求證：AE⊥SB.
【證明】因?yàn)镾A⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，所以SA⊥BC，又因?yàn)锽C⊥AB，
SA∩AB=A，
所以BC⊥平面SAB，
又AE 平面SAB，所以BC⊥AE.
因?yàn)镾C⊥平面AEFG，所以SC⊥AE.
又BC∩SC=C，所以AE⊥平面SBC，
所以AE⊥SB.
1.已知直線l1，l2與平面α，有下列說法：
①若l1∥α，l1∥l2，則l2∥α;②l1 α，l2∩α=A，則l1與l2為異面直線;③若l1⊥α，l2⊥α，則l1∥l2;④若l1⊥l2，l1∥α，則l2∥α.
其中正確的個(gè)數(shù)有( )
A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)
【解析】選B.①錯(cuò)，因?yàn)閘2還可能在α內(nèi).②錯(cuò)，當(dāng)A∈l1時(shí)，l1∩l2=A.③對，是線面垂直的性質(zhì)定理.④錯(cuò)，l2與α的位置關(guān)系不確定.
2.(2014•松原高一檢測)BC是Rt△ABC的斜邊，AP⊥平面ABC，PD⊥BC于點(diǎn)D，連接AD，則圖中共有直角三角形的個(gè)數(shù)
是( )
A.8 B.7
C.6 D.5
【解析】選A.因?yàn)锳P⊥平面ABC，BC 平面ABC，
所以PA⊥BC，又PD⊥BC于D，PD∩PA=P，
所以BC⊥平面PAD，AD 平面PAD，所以BC⊥AD.
又BC是Rt△ABC的斜邊，所以∠BAC為直角.
所以圖中的直角三角形有：△ABC，△PAC，△PAB，△PAD，△PDC，△PDB，
△ADC，△ADB.
3.在空間中，下列說法正確的有( )
①平行于同一條直線的兩條直線互相平行;
②垂直于同一條直線的兩條直線互相平行;
③平行于同一平面的兩條直線互相平行;
④兩條異面直線不可能垂直于同一平面.
A. 1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
【解析】選B.由公理4知①正確，由線面垂直的性質(zhì)定理知④正確.對于②，空間中垂直于同一條直線的兩條直線相交、平行、異面都有可能.對③中的兩條平行于同一個(gè)平面的直線，其位置關(guān)系不確定.
4.(2013•廣東高考)設(shè)l為直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列說法中正確的是( )
A.若l∥α，l∥β，則α∥β B.若l⊥α，l⊥β，則α∥β
C.若l⊥α，l∥β，則α∥β D.若α⊥β，l∥α，則l⊥β
【解析】選B.對于選項(xiàng)A，兩個(gè)平面α，β平行于同一條直線，不能確定兩平面平行還是相交(若兩平面相交能確定與交線平行);對于選項(xiàng)B，垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行(直線是公垂線);對于選項(xiàng)C，能推出兩個(gè)平面相交且兩個(gè)平面垂直;對于選項(xiàng)D，l∥β，l⊥β，l β都可能.
5.如圖，已知△ABC為直角三角形，其中∠ACB=90°，M為AB的中點(diǎn)，PM垂直于△ABC所在平面，那么( )
A.PA=PB>PC
B.PA=PB
C.PA=PB=PC
D.PA≠PB≠PC
【解析】選C.
因?yàn)椤鰽BC為直角三角形，M為斜邊AB的中點(diǎn)，
所以MA=MB=MC，
因?yàn)镻M垂直于△ABC所在平面，
所以Rt△PMA≌Rt△PMB≌Rt△PMC，
所以PA=PB=PC .
【變式訓(xùn)練】已知直線PG⊥平面α于G，直線EF α，且PF⊥EF于F，那么線段PE，PF，PG的關(guān)系是( )
A.PE>PG>PF B.PG>PF>PE
C.PE>PF>PG D.PF>PE>PG
【解析】選C.在Rt△PFE中，PE>PF;在Rt△PFG中，PF>PG，所以PE>PF>PG.
6.(2014•吉安高二檢測)如圖，設(shè)平面α∩β=EF，AB⊥α，CD⊥α.垂足分別為B，D，如果增加一個(gè)條件，就能推出BD⊥EF，這個(gè)條件不可能是下面四個(gè)選項(xiàng)中的( )
A.AC⊥β
B.AC⊥EF
C.AC與BD在β內(nèi)的射影在同一條直線上
D.AC與α，β所成的角相等
【解析】選D.對于A.若AC⊥β，EF β，則AC⊥EF.
又AB⊥α，EF α，則AB⊥EF，AB⊥α，CD⊥α，
所以AB∥CD，
故ABDC確定一個(gè)平面，又AC∩AB=A，
所以EF⊥平面ABDC，
BD 平面ABDC，所以EF⊥BD.同理B也能推出BD⊥EF.對于選項(xiàng)C.由于AC與BD在β內(nèi)的射影在同一條直線上，所以平面ABDC與平面β垂直，又因?yàn)镋F⊥AB，所以EF⊥平面ABDC，所以EF⊥BD.對于D，若AC∥EF，則AC與α，β所成的角也相等，但不能推出BD⊥EF.二、填空題(每小題4分，共12分)
7.(2014•無錫高二檢測)已知直線m 平面α，直線n 平面α，m∩n=M，直線a⊥m，a⊥n，直線b⊥m，b⊥n，則直線a，b的位置關(guān)系是________.
【解析】因?yàn)橹本€a⊥m，a⊥n，直線m 平面α，直線n 平面α，m∩n=M，所以a⊥α.同理可證直線b⊥α，所以a∥b.
答案：a∥b
8.若三個(gè)平面兩兩垂直，它們交于一點(diǎn)A，空間一點(diǎn)C1到三個(gè)平面的距離分別為5，6，7，則AC1的長為________.
【解析】如圖構(gòu)造長方體，可知長方體的長、寬、高分別為7，6，5，AC1為體對角線，所以AC1= = .
答案：
9.AB是☉O的直徑，點(diǎn)C是☉O上的動點(diǎn)(點(diǎn)C不與A，B重合)，過動點(diǎn)C的直線VC垂直于☉O所在的平面，D，E分別是VA，VC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是________(填寫正確結(jié)論的序號).
(1)直線DE∥平面ABC.
(2)直線DE⊥平面VBC.
(3)DE⊥VB.
(4)DE⊥AB.
【解析】因?yàn)锳B是☉O的直徑，點(diǎn)C是☉O上的動點(diǎn)(點(diǎn)C不與A，B重合)，
所以AC⊥BC，
因?yàn)閂C垂直于☉O所在的平面，
所以AC⊥VC，又BC∩VC=C，
所以AC⊥平面VBC.
因?yàn)镈，E分別是VA，VC的中點(diǎn)，
所以DE∥AC，又DE⊈平面ABC，AC 平面ABC，
所以DE∥平面ABC，
DE⊥平面VBC，DE⊥VB，
DE與AB所成的角為∠BAC是銳角，故DE⊥AB不成立.
由以上分析可知(1)(2)(3)正確.
答案：(1)(2)(3)
三、解答題(每小題10分，共20分)
10.(2014•開封高一檢測)如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°.
(1)求證：AB⊥A1C.
(2)若AB=CB=2，A1C= ，求三棱柱ABC-A1B1C1的體積.
【解析】(1)如圖，
取AB的中點(diǎn)O，連接OC，OA1，A1B.
因?yàn)镃A=CB，所以O(shè)C⊥AB.
由于AB=AA1，∠BAA1=60°，故△AA1B為等邊三角形，
所以O(shè)A1⊥AB.
因?yàn)镺C∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C.
又A1C 平面OA1C，故AB⊥A1C.
(2)由題設(shè)知△ABC與△AA1B都是邊長為2的等邊三角形，
所以O(shè)C=OA1= .
又A1C= ，則A1C2=OC2+O ，故OA1⊥OC.
因?yàn)镺C∩AB=O，所以O(shè)A1⊥平面ABC，所以O(shè)A1為三棱柱ABC-A1B1C1的高.
又△ABC的面積S△ABC= ，故三棱柱ABC-A1B1C1的體積V=S△ABC×OA1= × =3.
11.如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1，∠ACB=90°，AA1= ，D是A1B1的中點(diǎn).
(1)求證：C1D⊥平面A1B.
(2)當(dāng)點(diǎn)F在BB1上什么位置時(shí)，會使得AB1⊥平面C1DF?并證明你的結(jié)論.
【解析】(1)因?yàn)锳BC-A1B1C1是直三棱柱，
所以A1C1=B1C1=1，且∠A1C1B1=90°.
又D是A1B1的中點(diǎn)，
所以C1D⊥A1B1.
因?yàn)锳A1⊥平面A1B1C1，C1D 平面A1B1C1，
所以AA1⊥C1D，又AA1∩A1B1=A1，
所以C1D⊥平面A1B.
(2)作DE⊥AB1交AB1于E，延長DE交BB1于F，連接C1F，則AB1⊥平面C1DF，點(diǎn)F即為所求.
證明：因?yàn)镃1D⊥平面AA1B1B，AB1 平面AA1B1B，
所以C1D⊥AB1.
又AB1⊥DF，DF∩C1D=D，
所以AB1⊥平面C1DF.
【變式訓(xùn)練】如圖所示，ABCD為正方形，SA⊥平面ABCD，過A且垂直于SC的平面分別交SB，SC，SD于點(diǎn)E，F(xiàn)，G.求證：AE⊥SB.
【證明】因?yàn)镾A⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，所以SA⊥BC，又因?yàn)锽C⊥AB，
SA∩AB=A，
所以BC⊥平面SAB，
又AE 平面SAB，所以BC⊥AE.
因?yàn)镾C⊥平面AEFG，所以SC⊥AE.
又BC∩SC=C，所以AE⊥平面SBC，
所以AE⊥SB.