1. 證明或*下列命題：“設(shè)平面上有 100 個(gè)點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)間的距離至少是1，則多有300 對(duì)點(diǎn)距離恰好是1”。
    解答與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：
    命題成立(2 分)。
    無向圖 G=，V 是平面上的這100 個(gè)點(diǎn)，兩個(gè)點(diǎn)相鄰當(dāng)且僅當(dāng)這兩點(diǎn)距離恰好是1(2 分)。
    每個(gè)頂點(diǎn)的度數(shù)不超過 6(3 分)。
    根據(jù)握手定律(3 分)，
    2|E|=頂點(diǎn)度數(shù)之和≤100*6, 所以這個(gè)圖的邊數(shù)不超過300(2 分)。
    2. 所謂 n 維網(wǎng)格就是一個(gè)無向圖G=，其中V={ | 1≤ij≤mj,1≤j≤n}，E={(v1,v2)| v1 和v2 恰好只在一個(gè)坐標(biāo)上相差1}。討論當(dāng)mj 和n 取哪些正整數(shù)值時(shí)，G 是哈密頓圖，并給出證明。
    解答與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：
    分情況討論。注意 G 的頂點(diǎn)數(shù)是m1*m2*m3*…*mn。
    (1) 所有mj 都為1：G 是平凡圖，是哈密頓圖(2 分)。
    (2) 恰好有一個(gè)mj 大于1：G 是長度大于1 的初級(jí)路徑，不是哈密頓圖(2 分)。
    (3) 至少有兩個(gè)mj 大于1：G 是偶圖(無奇數(shù)長度回路)(2 分)。
    (3a) m1*m2*m3*…*mn 是偶數(shù)：G 是哈密頓圖，用歸納法構(gòu)造哈密頓回路(2 分)。
    (3b) m1*m2*m3*…*mn 是奇數(shù)：G 不是哈密頓圖，偶哈密頓圖兩部分頂點(diǎn)數(shù)相等，總頂點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)(2 分)。
    3. 證明或*下列命題：“任意給定平面上有限個(gè)點(diǎn)，則連接這些點(diǎn)的短哈密頓回路的長度不超過連接這些點(diǎn)的小生成樹(不添加額外頂點(diǎn))的長度的2 倍。子圖的長度就是這個(gè)子圖上的邊的長度之和?！?BR>    解答與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：
    命題成立(2 分)。
    (課本圖論部分后一章定理)先求小生成樹奇數(shù)度頂點(diǎn)之間的“小”匹配，加入匹配“邊”得到歐拉圖(3 分)。
    沿著歐拉回路前進(jìn)，“抄近路”避開已經(jīng)訪問過的頂點(diǎn)，就得出哈密頓回路(3 分)。
    由于距離的三角形不等式，這條哈密頓回路長度不超過小生成樹長度的2 倍(2 分)。
    4. 畫出所有非同構(gòu)的 5 階根樹。
    解答與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：
    9 種(每種1 分，重復(fù)畫扣0.5 分，全畫10 分)。非同構(gòu)的5 階樹共有3種，分別選一個(gè)頂點(diǎn)做根。
    5.證明或*下列命題：“設(shè)連通簡單平面圖G 的小度δ(G)≥4，則G 的點(diǎn)色數(shù)χ(G)≥3.”
    解答與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：
    假設(shè)χ(G)<3.(反證法分情況討論2 分)
    χ(G)=1 當(dāng)且僅當(dāng)G 為n 階零圖，與已知矛盾。(4 分)
    χ(G)=2 當(dāng)且僅當(dāng)G 為二部圖，因?yàn)镚 為平面圖，只能為K2,s 或Kr,2. 此時(shí)必有δ(G)=2, 與已知矛盾。(4 分)