一、選擇題（共10小題，每小題3分，滿分30分）
    1．程x2﹣5x=0的解是（　?。?BR>     A． x1=0，x2=﹣5 B． x=5 C． x1=0，x2=5 D． x=0
    2．用配方法解一元二次方程x2﹣4x=5時，此方程可變形為（　?。?BR>     A． （x+2）2=1 B． （x﹣2）2=1 C． （x+2）2=9 D． （x﹣2）2=9
    3．已知（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣12=0，則a2+b2的值為（　　）
     A． ﹣3 B． 4 C． ﹣3或4 D． 3或﹣4
    4．已知關(guān)于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是（　　）
     A． k＜﹣2 B． k＜2 C． k＞2 D． k＜2且k≠1
    5．要組織一次籃球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩隊之間都賽一場），計劃安排21場比賽，則參賽球隊的個數(shù)是（　?。?BR>     A． 5個 B． 6個 C． 7個 D． 8個
    6．若m是方程x2﹣2014x﹣1=0的根，則（m2﹣2014m+3）（m2﹣2014m+4）的值為（　?。?BR>     A． 16 B． 12 C． 20 D． 30
    7．如圖，在⊙O中，OC⊥弦AB于點C，AB=4，OC=1，則OB的長是（　?。?BR>     A． B． C． D．
    8．如圖，在⊙O中，已知∠OAB=22.5°，則∠C的度數(shù)為（　?。?BR>     A． 135° B． 122.5° C． 115.5° D． 112.5°
    9．圓外切等腰梯形的一腰長是8，則這個等腰梯形的上底與下底長的和為（　　）
     A． 4 B． 8 C． 12 D． 16
    10．如圖，要擰開一個邊長為a=6cm的正六邊形螺帽，扳手張開的開口b至少為（　?。?BR>     A． 6 cm B． 12cm C． 6 cm D． 4 cm
    二、填空題（共8小題，每小題3分，滿分24分）
    11．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+b﹣1=0有兩個相等的實數(shù)根，則b的值是　　　　　?。?BR>    12．如圖，某小區(qū)規(guī)劃在一個長30m、寬20m的長方形ABCD上修建三條同樣寬的通道，使其中兩條與AB平行，另一條與AD平行，其余部分種花草．要使每一塊花草的面積都為78m2，那么通道的寬應設計成多少m？設通道的寬為xm，由題意列得方程　　　　　　．
    13．某商品經(jīng)過連續(xù)兩次降價，銷售單價由原來的125元降到80元，則平均每次降價的百分率為　　　　　?。?BR>    14．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣x﹣3=0的兩個實數(shù)根分別為α、β，則（α+3）（β+3）=　　　　　?。?BR>    15．如圖，在半徑分別為5cm和3cm的兩個同心圓中，大圓的弦AB與小圓相切于點C，則弦AB的長為　　　　　　cm．
    16．如圖，PA、PB分別切⊙O于點A、B，若∠P=70°，則∠C的大小為　　　　　?。ǘ龋?BR>    17．已圓的半徑為r=5，圓心到直線l的距離為d，當d滿足　　　　　　時，直線l與圓有公共點．
    18．已等腰三角形的腰長為10，底邊長為12，則它的外接圓半徑等于　　　　　?。?BR>    三、解答題（共9小題，滿分76分）
    19．解方程
    （1）（x﹣3）（x+7）=﹣9
    （2）x2﹣3x﹣10=0
    （3）6x2﹣x﹣2=0．
    （4）（x+3）（x﹣3）=3．
    20．若關(guān)于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍．
    21．若a，b，c分別是三角形的三邊，判斷方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情況．
    22．如圖，以O為圓心的同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點，求證：
    （1）∠AOC=∠BOD； （2）AC=BD．
    23．如圖，已知⊙O為△ABC的外接圓，CE是⊙O的直徑，CD⊥AB，D為垂足， 求證：∠ACD=∠BCE．
    24．已知：▱ABCD的兩邊AB，AD的長是關(guān)于x的方程x2﹣mx+ ﹣ =0的兩個實數(shù)根．
    （1）當m為何值時，四邊形ABCD是菱形？求出這時菱形的邊長；
    （2）若AB的長為2，那么▱ABCD的周長是多少？
    25．如圖，已知等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，BD為內(nèi)接正十二邊形的一邊，CD=5 cm，求⊙O的半徑R．
    26．楚天汽車銷售公司5月份銷售某種型號汽車，當月該型號汽車的進價為30萬元/輛，若當月銷售量超過5 輛時，每多售出1輛，所有售出的汽車進價均降低0.1萬元/輛．根據(jù)市場調(diào)查，月銷售量不會突破30臺．
    （1）設當月該型號汽車的銷售量為x輛（x≤30，且x為正整數(shù)），實際進價為y萬元/輛，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
    （2）已知該型號汽車的銷售價為32萬元/輛，公司計劃當月銷售利潤25萬元，那么該月需售出多少輛汽車？（注：銷售利潤=銷售價﹣進價）
    27．如圖，點I是△ABC的內(nèi)心，AI交BC于D，交△ABC的 外接圓于點E．
    ①求證：IE=BE；
    ②線段IE是哪兩條線段的比例中項，試加以證明．
     　
    2014-2015學年江蘇省蘇州市吳江市青云中學九年級（上）期中數(shù)學試卷
    參考答案與試題解析
    一、選擇題（共10小題，每小題3分，滿分30分）
    1．程x2﹣5x=0的解是（　?。?BR>     A． x1=0， x2=﹣5 B． x=5 C． x1=0，x2=5 D． x=0
    考點：解一元二次方程-因式分解法．
    專題： 壓軸題．
    分析： 在方程左邊兩項中都含有公因式x，所以可用提公因式法．
    解答： 解：直接因式分解得x（x﹣5）=0，
    解得x1=0，x2=5．
    故選：C．
    點評： 本題考查了因式分解法解一元二次方程，當方程的左邊能因式分解時，一般情況下是把左邊的式子因式分解，再利用積為0的特點解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一種簡便方法，要會靈活運用．
    2．（3分）（2012• 臨沂）用配方法解一元二次方程x2﹣4x=5時，此方程可變形為（　?。?BR>     A． （x+2）2=1 B． （x﹣2）2=1 C． （x+2）2=9 D． （x﹣2）2=9
    考點： 解一元二次方程-配方法．
    專題： 配方法．
    分析： 配方法的一般步驟：
    （1）把常數(shù)項移到等號的右邊；
    （2）把二次項的系數(shù)化為1；
    （3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．
    選擇用配方法解一元二次方程時，使方程的二次項的系數(shù)為1，一次項的系數(shù)是2的倍數(shù)．
    解答： 解：∵x2﹣4x=5，∴x2﹣4x+4=5+4，∴（x﹣2）2=9．故選D．
    點評： 此題考查了配方法解一元二次方程，解題時要注意解題步驟的準確應用．
    3．已知（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣12=0，則a2+b2的值為（　?。?BR>     A． ﹣3 B． 4 C． ﹣3或4 D． 3或﹣4
    考點： 換元法解一元二次方程．
    分析： 根據(jù)換元法，可得一元二次方程，根據(jù)因式分解，可得方程的解．
    解答： 解：設a2+b2=x，原方程為
    x2﹣x﹣12=0．因式分解，得
    （x﹣4）（x+3）=0．
    x﹣4=0或x+3=0，
    解得x=4，x=﹣3（不符合題意，要舍去），
    a2+b2=x=4，
    故選：B．
    點評： 本題考查了換元法解一元二次方程，換元是解題關(guān)鍵，注意不符合題意的要舍去．
    4．已知關(guān)于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是（　?。?BR>     A． k＜﹣2 B． k＜2 C． k＞2 D． k＜2且k≠1
    考點： 根的判別式；一元二次方程的定義．
    專題： 計算題；壓軸題．
    分析： 根據(jù)方程有兩個不相等的實數(shù)根，得到根的判別式的值大于0列出關(guān)于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范圍．
    解答： 解：根據(jù)題意得：△=b2﹣4ac=4﹣4（k﹣1）=8﹣4k＞0，且k﹣1≠0，
    解得：k＜2，且k≠1．
    故選：D．
    點評： 此題考查了根的判別式，以及一元二次方程的定義，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．
    5．要組織一次籃球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩隊之間都賽一場），計劃安排21場比賽，則參賽球隊的個數(shù)是（　　）
     A． 5個 B． 6個 C． 7個 D． 8個
    考點： 一元二次方程的應用．
    專題： 應用題．
    分析： 賽制為單循環(huán)形式（每兩隊之間都賽一場），x個球隊比賽總場數(shù)= ．即可列方程求解．
    解答： 解：設有x個隊，每個隊都要賽（x﹣1）場，但兩隊之間只有一場比賽，
    x（x﹣1）÷2=21，
    解得x=7或﹣6（舍去）．
    故應邀請7個球隊參加比賽．
    故選C．
    點評： 本題考查了一元二次方程的應用，解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意，得到總場數(shù)的等量關(guān)系．
    6．若m是方程x2﹣2014x﹣1=0的根，則（m2﹣2014m+3）（m2﹣2014m+4）的值為（　?。?BR>     A． 16 B． 12 C． 20 D． 30
    考點： 一元二次方程的解．
    分析： 首先把m代入x2﹣2013x﹣1=0，得出m2﹣2013m=1，再進一步整體代入求得數(shù)值即可．
    解答： 解：∵m是方程x2﹣2014x﹣1=0的根，
    ∴m2﹣2014m=1，
    ∴（m2﹣2014m+3）（m2﹣2014m+4）
    =（1+3）×（1+4）
    =20．
    故選：C．
    點評：此題考查一元二次方程的解以及代數(shù)式求值，注意整體代入的思想．
    7．如圖，在⊙O中，OC⊥弦AB于點C，AB=4，OC=1，則OB的長是（　　）
     A． B． C． D．
    考點： 垂徑定理；勾股定理．
    分析： 根據(jù)垂徑定理可得AC=BC= AB，在Rt△OBC中可求出OB．
    解答： 解：∵OC⊥弦AB于點C，
    ∴AC=BC= AB，
    在Rt△OBC中，OB= = ．
    故選B．
    點評： 本題考查了垂徑定理及勾股定理的知識，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理的內(nèi)容．
    8．如圖，在⊙O中，已知∠OAB=22.5°，則∠C的度數(shù)為（　　）
     A． 135° B． 122.5° C． 115.5° D．112.5°
    考點： 圓周角定理．
    分析： 首先利用等腰三角形的性質(zhì)求得∠AOB的度數(shù)，然后利用圓周角定理即可求解．
    解答： 解：∵OA=OB，
    ∴∠OAB=∠OBA=22.5°，
    ∴∠AOB=180°﹣22.5°﹣22.5°=135°．
    ∴∠C= （360°﹣135°）=112.5°．
    故選D．
    點評： 本題考查了圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì)定理，正確理解定理是關(guān)鍵．
    9．圓外切等腰梯形的一腰長是8，則這個等腰梯形的上底與下底長的和為（　?。?BR>     A． 4 B． 8 C． 12 D． 16
    考點： 切線長定理．
    分析： 直接利用圓外切四邊形對邊和相等，進而求出即可．
    解答： 解：∵圓外切等腰梯形的一腰長是8，
    ∴梯形對邊和為：8+8=16，
    則這個等腰梯形的上底與下底長的和為16．
    故選：D．
    點評： 此題主要考查了切線長定理，利用圓外切四邊形的性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵．
    10．如 圖，要擰開一個邊長為a=6cm的正六邊形螺帽，扳手張開的開口b至少為（　　）
     A． 6 cm B． 12cm C． 6 cm D． 4 cm
    考點： 正多邊形和圓．
    分析： 根據(jù)題意，即是求該正六邊形的邊心距的2倍．構(gòu)造一個由半徑、半邊、邊心距組成的直角三角形，且其半邊所對的角是30°，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的知識求解．
    解答： 解：設正多邊形的中心是O，其一邊是AB，
    ∴∠AOB=∠BOC=60°，
    ∴OA=OB=AB=OC=BC，
    ∴四邊形ABCO是菱形，
    ∵AB=6cm，∠AOB=60°，
    ∴cos∠BAC= ，
    ∴AM=6× =3 （cm），
    ∵OA=OC，且∠AOB=∠BOC，
    ∴AM=MC= AC，
    ∴AC=2AM=6 （cm）．
    故選C．
    點評： 本題考查了正多邊形和圓的知識．構(gòu)造一個由半徑、半邊、邊心距組成的直角三角形，運用銳角三角函數(shù)進行求解是解此題的關(guān)鍵．
    二、填空題（共8小題，每小題3分，滿分24分）
    11．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+b﹣1=0有兩個相等的實數(shù)根，則b的值是　2?。?BR>    考點： 根的判別式．
    專題： 計算題．
    分析： 根據(jù)方程有兩個相等的實數(shù)根，得到根的判別式的值等于0，即可求出b的值．
    解答： 解：根據(jù)題意得：△=b2﹣4（b﹣1）=（b﹣2）2=0，
    則b的值為2．
    故答案為：2
    點評： 此題考查了根的判別式，根的判別式的值大于0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；根的判別式的值等于0，方程有兩個相等的實數(shù)根；根的判別式的值小于0，方程沒有實數(shù)根．
    12．如圖，某小區(qū)規(guī)劃在一個長30m、寬20m的長方形ABCD上修建三條同樣寬的通道，使其中兩條與AB平行，另一條與AD平行，其余部分種花草．要使每一塊花草的面積都為78m2，那么通道的寬應設計成多少m？設通道的寬為xm，由題意列得方程　（30﹣2x）（20﹣x）=6×78?。?BR>    考點： 由實際問題抽象出一元二次方程．
    專題： 幾何圖形問題．
    分析： 設道路的寬為xm，將6塊草地平移為一個長方形，長為（30﹣2x）m，寬為（20﹣x）m．根據(jù)長方形面積公式即可列方程（30﹣2x）（20﹣x）=6×78．
    解答： 解：設道路的寬為xm，由題意得：
    （30﹣2x）（20﹣x）=6×78，
    故答案為：（30﹣2x）（20﹣x）=6×78．
    點評： 此題主要考查了一元二次方程的應用，掌握長方形的面積公式，求得6塊草地平移為一個長方形的長和寬是解決本題的關(guān)鍵．
    13．某商品經(jīng)過連續(xù)兩次降價，銷售單價由原來的125元降到80元，則平均每次降價的百分率為　20%?。?BR>    考點： 一元二次方程的應用．
    專題： 增長率問題．
    分析： 解答此題利用的數(shù)量關(guān)系是：商品原來價格×（1﹣每次降價的百分率）2=現(xiàn)在價格，設出未知數(shù)，列方程解答即可．
    解答： 解：設這種商品平均每次降價的百分率為x，根據(jù)題意列方程得，
    125（1﹣x）2=80，
    解得x1=0.2=20%，x2=1.8（不合題意，舍去）；
    故答案為：20%
    點評： 本題考查了一元二次方程的應用，此題列方程得依據(jù)是：商品原來價格×（1﹣每次降價的百分率）2=現(xiàn)在價格．
    14．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣x﹣3=0的兩個實數(shù)根分別為α、β，則（α+3）（β+3）=　9?。?BR>    考點： 根與系數(shù)的關(guān)系．
    分析： 根據(jù)x的一元二次方程x2﹣x﹣3=0的兩個實數(shù)根分別為α、β，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子變形為αβ+3（α+β）+9，最后把α+β和αβ的值代入，計算即可．
    解答： 解：∵x的一元二次方程x2﹣x﹣3=0的兩個實數(shù)根分別為α、β，
    ∴α+β=1，αβ=﹣3，
    ∴（α+3）（β+3）=αβ+3α+3β+9=αβ+3（α+β）+9=﹣3+3×1+9=9；
    故答案為：9．
    點評： 此題考 查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．
    15．如圖，在半徑分別為5cm和3cm的兩個同心圓中，大圓的弦AB與小圓相切于點C，則弦AB的長為　8　cm．
    考點： 切線的性質(zhì)．
    分析： 本題應根據(jù)垂徑定理和勾股定理求解．
    解答： 解：大圓的弦AB與小圓相切于點C，
    ∴OC⊥AB，
    由垂徑定理知，AC=BC，
    由勾股定理得，AC=4，
    ∴AB=2AC=8．
    點評： 本題利用了切線的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理求解．
    16．如圖，PA、PB分別切⊙O于點A、B，若∠P=70°，則∠C的大小為　55?。ǘ龋?BR>    考點： 切線的性質(zhì)．
    分析： 首先連接OA，OB，由PA、PB分別切⊙O于點A、B，根據(jù)切線的性質(zhì)可得：OA⊥PA，OB⊥PB，然后由四邊形的內(nèi)角和等于360°，求得∠AOB的度數(shù)，又由圓周角定理，即可求得答案．
    解答： 解：連接OA，OB，
    ∵PA、PB分別切⊙O于點A、B，
    ∴OA⊥PA，OB⊥PB，
    即∠PAO=∠PBO=90°，
    ∴∠AOB=360°﹣∠PAO﹣∠P﹣∠PBO=360°﹣90°﹣70°﹣90°=110°，
    ∴∠C= ∠AOB=55°．
    故答案為：55．
    點評： 此題考查了切線的性質(zhì)以及圓周角定理．此題難度不大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用．
    17．已圓的半徑為r=5，圓心到直線l的距離為d，當d滿足　0≤d≤5　時，直線l與圓有公共點．
    考點： 直線與圓的位置關(guān)系．
    分析： 若d＜r，則直線與圓相交；若d=r，則直線于圓相切；若d＞r，則直線與圓相離．
    直線和圓有兩個公共點，則直線和圓相交；直線和圓有一個公共點，則直線和圓相切；直線和圓沒有公共點，則直線和圓相離．
    解答： 解：根據(jù)題意，可知圓的半徑為5．
    ∵直線l與圓有公共點，∴直線與圓相交或相切，∴d滿足0≤d≤5，
    故答案為：0≤d≤5．
    點評： 主要考查了直線與圓的位置關(guān)系與數(shù)量之間的聯(lián)系以及直線和圓的位置關(guān)系的概念，難度不大．
    18．已等腰三角形的腰長為10，底邊長為12，則它的外接圓半徑等于　 ?。?BR>    考點： 三角形的外接圓與外心；等腰三角形的性質(zhì)．
    專題： 計算題．
    分析： 如圖，⊙O為等腰三角形ABC的外接圓，AB=AC=10，BC=12，作AD⊥BC于D，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BD=CD= BC=6，則AD垂直平分BC，根據(jù)垂徑定理的推論得點O在AD上；連結(jié)OB，設⊙O的半徑為r，在Rt△ABD中利用勾股定理計算出AD=8，在Rt△OBD中，再利用勾股定理得到（8﹣r）2+62=r2，然后解方程即可得到外接圓半徑．
    解答： 解：如圖，⊙O為等腰三角形ABC的外接圓，AB=AC=10，BC=12，
    作AD⊥BC于D，
    ∵AB=AC，
    ∴BD=CD= BC=6，
    ∴AD垂直平分BC，
    ∴點O在AD上，
    連結(jié)OB，設⊙O的半徑為r，
    在Rt△ABD中，∵AB=10，BD=6，
    ∴AD= =8，
    在Rt△OBD中，OD=AD﹣OA=8﹣r，OB=r，
    ∵OD2+BD2=OB2，
    ∴（8﹣r）2+62=r2，解得r= ，
    即它的外接圓半徑等于 ．
    故答案為 ．
    點評： 本題考查了三角形的外接圓與外心：經(jīng)過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓．三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心．也考查了垂徑定理、勾股定理和等腰三角形的性質(zhì)．
    三、解答題（共9小題，滿分76分）
    19．解方程
    （1）（x﹣3）（x+7）=﹣9
    （2）x2﹣3x﹣10=0
    （3）6x2﹣x﹣2=0．
    （4）（x+3）（x﹣3）=3．
    考點： 解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接開平方法．
    分析： （1）整理后分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可；
    （2）先分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可；
    （3）先分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可；
    （4）整理后分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可．
    解答： 解：（1）整理得：x2+4x﹣12=0，
    （x+6）（x﹣2）=0，
    x+6=0，x﹣2=0，
    x1=﹣6，x2=2；
    （2）x2﹣3x﹣10=0，
    （x﹣5）（x+2）=0，
    x﹣5=0，x+2=0，
    x1=5，x2=﹣2；
    （3）6x2﹣x﹣2=0，
    （3x+1）（x﹣2）=0，
    3x+1=0，x﹣2=0，
    x1=﹣ ，x2=2；
    （4）整理得：x2=12，
    x=±2 ，
    x1=2 ，x2=﹣2 ．
    點評： 本題考查了解一元二次方程的應用，解此題的關(guān)鍵是能把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程．
    20．若關(guān)于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍．
    考點： 根的判別式；一元一次方程的解．
    分析： 當a=0時，此方程是一元一次方程；當a≠0時，此方程是一元二次方程．根據(jù)方程有實數(shù)解可知△≥0，求出a的取值范圍即可．
    解答： 解：當a=0時，此方程是一元一次方程，故方程有解；
    當a≠0時，此方程是一元二次方程．
    ∵方程有實數(shù)解，
    ∴△=[2（a+2）]2﹣4a2≥0，
    解得a≥﹣1．
    點評： 本題考查的是根的判別式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2﹣4ac的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．
    21．若a，b，c分別是三角形的三邊，判斷方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情況．
    考點： 根的判別式；三角形三邊關(guān)系．
    分析： 先求出△=b2﹣4ac的值，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系分別進行判斷，即可得出答案．
    解答： 解：△=（2c）2﹣4（a+b）（a+b）=4c2﹣4（a+b）2= 4（c+a+b）（c﹣a﹣b）．
    ∵a，b，c分別是三角形的三邊，
    ∴a+b＞c．
    ∴c+a+b＞0，c﹣a﹣b＜0，
    ∴△＜0，
    ∴方程沒有實數(shù)根．
    點評： 本題主要考查了一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：△＞0⇔方程有兩個不相等的實數(shù)根；△=0⇔方程有兩個相等的實數(shù)根；△＜0⇔方程沒有實數(shù)根．
    22．如圖，以O為圓心的同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點，求證：
    （1）∠AOC=∠BOD； （2）AC=BD．
    考點： 垂徑定理．
    專題： 證明題．
    分析： （1）過O作OE⊥AB，由等腰三角形的性質(zhì)可知∠AOE=∠BOE，∠COE=∠DOE，由此可得出結(jié)論；
    （2）根據(jù)垂徑定理得到AE=BE，CE=DE，從而得到AC=BD．
    解答： （1）證明：過O作OE⊥AB，
    ∵∠OAB與△OCD均為等腰三角形，
    ∴∠AOE=∠BOE，∠COE=∠DOE，
    ∴∠AOE﹣∠COE=∠BOE﹣∠DOE，∠AOC﹣∠BOD；
    （2）證明：∵OE⊥AB，
    ∴AE=BE，CE=DE，
    ∴BE﹣DE=AE﹣CE，即AC=BD．
    點評： 本題考查的是垂徑定理，熟知平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧是解答此題的關(guān)鍵．
    23．如圖，已知⊙O為△ABC的外接圓，CE是⊙O的直徑，CD⊥AB，D為垂足，求證：∠ACD=∠BCE．
    考點： 圓周角定理．
    專題： 證明題．
    分析： 首先連接BE，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得∠A+∠ACD=90°，根據(jù)圓周角定理可得∠E+∠ECB=90°，∠A=∠E，進而可證明∠ACD=∠BCE．
    解答： 證明：連接EB，
    ∵CD⊥AB，
    ∴∠ADC=90°，
    ∴∠A+∠ACD=90°，
    ∵CE是⊙O的直徑，
    ∴∠CBE=90°，
    ∴∠E+∠ECB=90°，
    ∵∠A=∠E，
    ∴∠ACD=∠BCE．
    點評： 此題主要考查了圓周角定理，關(guān)鍵是掌握圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．
    推論：半圓（或直徑）所對的圓 周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．
    24．已知：▱ABCD的兩邊AB，AD的長是關(guān)于x的方程x2﹣mx+ ﹣ =0的兩個實數(shù)根．
    （1）當m為何值時，四邊形ABCD是菱形？求出這時菱形的邊長；
    （2）若AB的長為2，那么▱ABCD的周長是多少？
    考點： 一元二次方程的應用；平行四邊形的性質(zhì)；菱形的性質(zhì)．
    專題： 應用題；壓軸題．
    分析： （1）讓根的判別式為0即可求得m，進而求得方程的根即為菱形的邊長；
    （2）求得m的值，進而代入原方程求得另一根，即易求得平行四邊形的周長．
    解答： 解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
    ∴AB=AD，
    ∴△=0，即m2﹣4（ ﹣ ）=0，
    整理得：（m﹣1）2=0，
    解得m=1，
    當m=1時，原方程為x2﹣x+ =0，
    解得：x1=x2=0.5，
    故當m=1時，四邊形ABCD是菱形，菱形的邊長是0.5；
    （2）把AB=2代入原方程得，m=2.5，
    把m=2.5代入原方程得x2﹣2.5x+1=0，解得x1=2，x2=0.5，
    ∴C▱ABCD=2×（2+0.5）=5．
    點評： 綜合考查了平行四邊形及菱形的有關(guān)性質(zhì)；利 用解一元二次方程得到兩種圖形的邊長是解決本題的關(guān)鍵．
    25．如圖，已知等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，BD為內(nèi)接正十二邊形的一邊， CD=5 cm，求⊙O的半徑R．
    考點： 正多邊形和圓．
    分析： 首先連接OB，OC，OD，由等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，BD為內(nèi)接正十二邊形的一邊，可求得∠BOC，∠BOD的度數(shù)，繼而證得△COD是等腰直角三角形，繼而求得答案．
    解答： 解：連接OB，OC，OD，
    ∵等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，BD為內(nèi)接正十二邊形的一邊，
    ∴∠BOC= ×360°=120°，∠BOD= ×360°=30°，
    ∴∠COD=∠BOC﹣∠BOD=90°，
    ∵OC=OD，
    ∴∠OCD=45°，
    ∴OC=CD•cos45°=5 × =5（cm）．
    即⊙O的半徑R=5cm．
    點評： 此題考查了正多邊形與圓以及等腰直角三角形性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用．
    26．楚天汽車銷售公司5月份銷售某種型號汽車，當月該型號汽車的進價為30萬元/輛，若當月銷售量超過5輛時，每多售出1輛，所有售出的汽車進價均降低0.1萬元/輛．根據(jù)市場調(diào)查，月銷售量不會突破30臺．
    （1）設當月該型號汽車的銷售量為x輛（x≤30，且x為正整數(shù)），實際進價為y萬元/輛，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
    （2）已知該型號汽車的銷售價為32萬元/輛，公司計劃當月銷售利潤25萬元，那么該月需售出多少輛汽車？（注：銷售利潤=銷售價﹣進價）
    考點： 一元二次方程的應用；分段函數(shù)．
    專題： 銷售問題．
    分析： （1）根據(jù)分段函數(shù)可以表示出當0＜x≤5，5＜x≤30時由銷售數(shù)量與進價的關(guān)系就可以得出結(jié)論；
    （2）由銷售利潤=銷售價﹣進價，由（1）的解析式建立方程就可以求出結(jié)論．
    解答： 解：（1）由題意，得
    當0＜x≤5時
    y=30．
    當5＜x≤30時，
    y=30﹣0.1（x﹣5）=﹣0.1x+30.5．
    ∴y= ；
    （2）當0＜x≤5時，
    （32﹣30）×5=10＜25，不符合題意，
    當5＜x≤30時，
    [32﹣（﹣0.1x+30.5）]x=25，
    解得：x1=﹣25（舍去），x2=10．
    答：該月需售出10輛汽車．
    點評： 本題考查了分段函數(shù)的運用，一元二次方程的解法的運用，解答時求出分段函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．
    27．如圖，點I是△ABC的內(nèi)心，AI交BC于D，交△ABC的外接圓于點E．
    ①求證：IE=BE；
    ②線段IE是哪兩條線段的比例中項，試加以證明．
    考點： 三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；相似三角形的判定與性質(zhì)．
    專題： 綜合題；壓軸題．
    分析： ①連接BI，證∠BIE=∠IBE即可；∠IBE=∠4+∠5，∠BIE=∠2+∠3；觀察上述兩個式子：I是△ABC的內(nèi)心，則∠3=∠4，∠1=∠2；而∠1=∠5，由此可得∠5=∠2；即∠BIE=∠IBE，由此得證；
    ②由①知：IE=BE，即證BE是哪兩條線段的比例中項，可通過找以BE為公共邊的相似三角形；由①證得∠5=∠2，易證得△BDE∽△ABE，由此可得出所求的結(jié)論．
    解答： ①證明：連接BI．
    ∵I是△ABC的內(nèi)心，
    ∴∠1=∠2，∠3=∠4；
    ∵∠BIE=∠3+∠2，∠EBI=∠4+∠5，且∠5=∠ 1，
    ∴∠BIE=∠EBI；
    ∴IE=BE；
    ②解：考慮有公共邊公共角的相似三角形及IE=BE，知：IE是DE和AE的比例中項．
    證明如下：
    ∵∠5=∠1，∠1=∠2；
    ∴∠5=∠2；
    又∵∠E=∠E，
    ∴△BED∽△AEB；
    ∴BE：DE=AE：BE；
    ∴BE2=AE•DE；
    又∵IE=BE，
    ∴IE2=AE•DE．
    點評： 此題主要考查了三角形內(nèi)心的性質(zhì)、圓周角定理及相似三角形的判定和性質(zhì)．