A級 基礎(chǔ)題
1.下列各條件中，不能作出三角形的條件是( )
A.已知兩邊和夾角 B.已知兩邊和其中一條邊所對的角
C.已知兩角和夾邊 D.已知兩角和其中一角的對邊
2.(2013年四川遂寧)如圖6-3-10，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB，AC于點M和N，再分別以M，N為圓心，大于12MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連接AP并延長交BC于點D，則下列說法：①AD是∠BAC的平分線;②∠ADC=60°; ③點D在AB的中垂線上; ④S△DAC∶S△ABC=1∶3.其中正確的個數(shù)是( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
3.(2013年河北)已知：線段AB，BC，∠ABC=90°.求作：矩形ABCD.以下是甲、乙兩同學的作業(yè)：
甲：①以點C為圓心，AB的長為半徑畫弧;
②以點A為圓心，BC的長為半徑畫弧;
③兩弧在BC上方交于點D，連接AD，CD，四邊形ABCD即為所求(如圖6-3-11).
乙：①連接AC，作線段AC的垂直平分線，交AC于點M;
②連接BM并延長，在延長線上取一點D，使MD=MB，連接AD，CD，四邊形ABCD即為所求(如圖6-3-12).
對于兩人的作業(yè)，下列說法正確的是( )
A.兩人都對 B.兩人都不對
C.甲對，乙不對 D.甲不對，乙對
4.(2013年福建三明)如圖6-1-13，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°.按以下步驟作圖：
①分別以A，B為圓心，以大于12AB的長為半徑作弧，兩弧相交于點P和Q.
②作直線PQ交AB于點D，交BC于點E，連接AE.
若CE=4，則AE=________.
5.(2013年甘肅白銀)兩個城鎮(zhèn)A，B與兩條公路l1，l2的位置如圖6-3-14.電信部門需在C處修建一座信號發(fā)射塔，要求發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)A，B的距離必須相等，到兩條公路l1，l2的距離也必須相等，那么點C應(yīng)選在何處?請在下圖中，用尺規(guī)作圖找出所有符合條件的點C(不寫已知、求作、作法，只保留作圖痕跡).
6.(2012年貴州銅仁)某市計劃在新竣工的矩形廣場的內(nèi)部修建一個音樂噴泉，要求音樂噴泉M到廣場的兩個入口A，B的距離相等，且到廣場管理處C的距離等于A和B之間距離的一半，A，B，C的位置如圖6-3-15，請在原圖上利用尺規(guī)作圖作出音樂噴泉M的位置(要求：不寫已知、求作、作法和結(jié)論，保留作圖痕跡，必須用鉛筆作圖).
參考答案：
1.B 2.D 3.A 4.8
5.解：作線段AB的垂直平分線，作兩條公路夾角的平分線，兩線分別交于點C1，C2.如圖48，所以點C1、C2就是符合條件的點.
6.解：如圖49，點M為所求.
B級 中等題
7.已知△ABC，且∠ACB=90°.
(1)請用直尺和圓規(guī)按要求作圖(保留作圖痕跡，不寫作法和證明).
①以點A為圓心，BC邊的長為半徑作⊙A;
②以點B為頂點，在AB邊的下方作∠ABD=∠BAC.
(2)請判斷直線BD與⊙A的位置關(guān)系(需證明).
8.(2013年江蘇宿遷)如圖6-3-17，在平行四邊形ABCD中，AD>AB.
(1)作出∠ABC的平分線(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法);
(2)若(1)中所作的角平分線交AD于點E，AF⊥BE，垂足為點O，交BC于點F，連接EF. w
求證：四邊形ABFE為菱形.
C級 拔尖題
9.(2013年山東德州)(1)如圖6-3-18(1)，已知△ABC，以AB，AC為邊向△ABC外作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE.連接BE，CD.請你完成圖形，并證明：BE=CD(尺規(guī)作圖，不寫做法，保留作圖痕跡);
(2)如圖6-3-18(2)，已知△ABC，以AB，AC為邊向外作正方形ABFD和正方形ACGE.連接BE，CD.BE與CD有什么數(shù)量關(guān)系?簡單說明理由;
(3)運用(1)(2)解答中積累的經(jīng)驗和知識，完成下題：
如圖6-3-18(3)，要測量池塘兩岸相對的兩點B，E的距離，已經(jīng)測得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的長.
(1) (2) (3)
參考答案
7.解：(1)如圖50.
(2)直線BD與⊙A相切.證明如下：
∵∠ABD=∠BAC，∴AC∥BD.
∵∠ACB=90°，⊙A的半徑等于BC，
∴點A到直線BD的距離等于BC.
∴直線BD與⊙A相切.
8.解：(1)如圖51.
(2)∵BE平分∠ABC，∴∠ABO=∠FBO.
∵AF⊥BE于點O，
∴∠AOB=∠FOB=∠AOE=90°.
又∵BO=BO，
∴△AOB≌△FOB.∴AO=FO，AB=FB.
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，∴∠AEO=∠FBO.
∴△AOE≌△FOB.∴AE=BF.
又∵AE∥BF，∴四邊形ABFE是平行四邊形.
又∵AB=FB，∴平行四邊形ABFE是菱形.
11.(1)證明：如圖52.
∵△ABD和△ACE都是等邊三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°.
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC.
即∠CAD=∠EAB.∴△CAD≌△EAB.
∴BE=CD.
圖52 圖53
(2)解：BE=CD.
理由：∵四邊形ABFD和ACGE均為正方形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°.
∴∠CAD=∠EAB.∴△CAD≌△EAB.
∴BE=CD.
(3)解：如圖53，過A作等腰直角三角形ABD，∠BAD=90°，
則AD=AB=100，∠ABD=45°.∴BD=100 2.
連接CD，則由(2)可知BE=CD.
∵∠ABC=45°，在Rt△DBC中，BC=100，BD=100 2.
∴CD=1002+100 22=100 3.
∴BE的長為100 3米.
1.下列各條件中，不能作出三角形的條件是( )
A.已知兩邊和夾角 B.已知兩邊和其中一條邊所對的角
C.已知兩角和夾邊 D.已知兩角和其中一角的對邊
2.(2013年四川遂寧)如圖6-3-10，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB，AC于點M和N，再分別以M，N為圓心，大于12MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連接AP并延長交BC于點D，則下列說法：①AD是∠BAC的平分線;②∠ADC=60°; ③點D在AB的中垂線上; ④S△DAC∶S△ABC=1∶3.其中正確的個數(shù)是( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
3.(2013年河北)已知：線段AB，BC，∠ABC=90°.求作：矩形ABCD.以下是甲、乙兩同學的作業(yè)：
甲：①以點C為圓心，AB的長為半徑畫弧;
②以點A為圓心，BC的長為半徑畫弧;
③兩弧在BC上方交于點D，連接AD，CD，四邊形ABCD即為所求(如圖6-3-11).
乙：①連接AC，作線段AC的垂直平分線，交AC于點M;
②連接BM并延長，在延長線上取一點D，使MD=MB，連接AD，CD，四邊形ABCD即為所求(如圖6-3-12).
對于兩人的作業(yè)，下列說法正確的是( )
A.兩人都對 B.兩人都不對
C.甲對，乙不對 D.甲不對，乙對
4.(2013年福建三明)如圖6-1-13，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°.按以下步驟作圖：
①分別以A，B為圓心，以大于12AB的長為半徑作弧，兩弧相交于點P和Q.
②作直線PQ交AB于點D，交BC于點E，連接AE.
若CE=4，則AE=________.
5.(2013年甘肅白銀)兩個城鎮(zhèn)A，B與兩條公路l1，l2的位置如圖6-3-14.電信部門需在C處修建一座信號發(fā)射塔，要求發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)A，B的距離必須相等，到兩條公路l1，l2的距離也必須相等，那么點C應(yīng)選在何處?請在下圖中，用尺規(guī)作圖找出所有符合條件的點C(不寫已知、求作、作法，只保留作圖痕跡).
6.(2012年貴州銅仁)某市計劃在新竣工的矩形廣場的內(nèi)部修建一個音樂噴泉，要求音樂噴泉M到廣場的兩個入口A，B的距離相等，且到廣場管理處C的距離等于A和B之間距離的一半，A，B，C的位置如圖6-3-15，請在原圖上利用尺規(guī)作圖作出音樂噴泉M的位置(要求：不寫已知、求作、作法和結(jié)論，保留作圖痕跡，必須用鉛筆作圖).
參考答案：
1.B 2.D 3.A 4.8
5.解：作線段AB的垂直平分線，作兩條公路夾角的平分線，兩線分別交于點C1，C2.如圖48，所以點C1、C2就是符合條件的點.
6.解：如圖49，點M為所求.
B級 中等題
7.已知△ABC，且∠ACB=90°.
(1)請用直尺和圓規(guī)按要求作圖(保留作圖痕跡，不寫作法和證明).
①以點A為圓心，BC邊的長為半徑作⊙A;
②以點B為頂點，在AB邊的下方作∠ABD=∠BAC.
(2)請判斷直線BD與⊙A的位置關(guān)系(需證明).
8.(2013年江蘇宿遷)如圖6-3-17，在平行四邊形ABCD中，AD>AB.
(1)作出∠ABC的平分線(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法);
(2)若(1)中所作的角平分線交AD于點E，AF⊥BE，垂足為點O，交BC于點F，連接EF. w
求證：四邊形ABFE為菱形.
C級 拔尖題
9.(2013年山東德州)(1)如圖6-3-18(1)，已知△ABC，以AB，AC為邊向△ABC外作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE.連接BE，CD.請你完成圖形，并證明：BE=CD(尺規(guī)作圖，不寫做法，保留作圖痕跡);
(2)如圖6-3-18(2)，已知△ABC，以AB，AC為邊向外作正方形ABFD和正方形ACGE.連接BE，CD.BE與CD有什么數(shù)量關(guān)系?簡單說明理由;
(3)運用(1)(2)解答中積累的經(jīng)驗和知識，完成下題：
如圖6-3-18(3)，要測量池塘兩岸相對的兩點B，E的距離，已經(jīng)測得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的長.
(1) (2) (3)
參考答案
7.解：(1)如圖50.
(2)直線BD與⊙A相切.證明如下：
∵∠ABD=∠BAC，∴AC∥BD.
∵∠ACB=90°，⊙A的半徑等于BC，
∴點A到直線BD的距離等于BC.
∴直線BD與⊙A相切.
8.解：(1)如圖51.
(2)∵BE平分∠ABC，∴∠ABO=∠FBO.
∵AF⊥BE于點O，
∴∠AOB=∠FOB=∠AOE=90°.
又∵BO=BO，
∴△AOB≌△FOB.∴AO=FO，AB=FB.
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，∴∠AEO=∠FBO.
∴△AOE≌△FOB.∴AE=BF.
又∵AE∥BF，∴四邊形ABFE是平行四邊形.
又∵AB=FB，∴平行四邊形ABFE是菱形.
11.(1)證明：如圖52.
∵△ABD和△ACE都是等邊三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°.
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC.
即∠CAD=∠EAB.∴△CAD≌△EAB.
∴BE=CD.
圖52 圖53
(2)解：BE=CD.
理由：∵四邊形ABFD和ACGE均為正方形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°.
∴∠CAD=∠EAB.∴△CAD≌△EAB.
∴BE=CD.
(3)解：如圖53，過A作等腰直角三角形ABD，∠BAD=90°，
則AD=AB=100，∠ABD=45°.∴BD=100 2.
連接CD，則由(2)可知BE=CD.
∵∠ABC=45°，在Rt△DBC中，BC=100，BD=100 2.
∴CD=1002+100 22=100 3.
∴BE的長為100 3米.