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一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，滿分30分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。)
1. 將圖1所示的圖案通過平移后可以得到的圖案是( A )
2. 如圖2，AB‖CD，直線 分別與AB、CD相交，若∠1=130°，則∠2=( C )
(A)40° (B)50° (C)130° (D)140°
3. 實(shí)數(shù) 、 在數(shù)軸上的位置如圖3所示，則 與 的大小關(guān)系是( C )
(A) (B)
(C) (D)無法確定
4. 二次函數(shù) 的最小值是( A )
(A)2 (B)1 (C)-1 (D)-2
5. 圖4是廣州市某一天內(nèi)的氣溫變化圖，根據(jù)圖4，下列說法中錯(cuò)誤的是( D )
(A)這一天中氣溫是24℃
(B)這一天中氣溫與最低氣溫的差為16℃
(C)這一天中2時(shí)至14時(shí)之間的氣溫在逐漸升高
(D)這一天中只有14時(shí)至24時(shí)之間的氣溫在逐漸降低
6. 下列運(yùn)算正確的是( B )
(A) (B)
(C) (D)
7. 下列函數(shù)中，自變量 的取值范圍是 ≥3的是( D )
(A) (B)
(C) (D)
8. 只用下列正多邊形地磚中的一種，能夠鋪滿地面的是( C )
(A)正十邊形 (B)正八邊形
(C)正六邊形 (D)正五邊形
9. 已知圓錐的底面半徑為5cm，側(cè)面積為65πcm2，設(shè)圓錐的母線與高的夾角為θ(如圖5)所示)，則sinθ的值為( B )
(A) (B) (C) (D)
10. 如圖6，在 ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，交DC的延長線于點(diǎn)F，BG⊥AE，垂足為G，BG= ，則ΔCEF的周長為( A )
(A)8 (B)9.5 (C)10 (D)11.5
二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，滿分18分)
11. 已知函數(shù) ，當(dāng) =1時(shí)， 的值是________2
12. 在某校舉行的藝術(shù)節(jié)的文藝演出比賽中，九位評(píng)委給其中一個(gè)表演節(jié)目現(xiàn)場(chǎng)打出的分?jǐn)?shù)如下：9.3，8.9，9.3，9.1，8.9，8.8，9.3，9.5，9.3，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是________9.3
13. 絕對(duì)值是6的數(shù)是________+6,-6
14. 已知命題“如果一個(gè)平行四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直，那么這個(gè)平行四邊形是菱形”，寫出它的逆命題：________________________________略
15. 如圖7-①，圖7-②，圖7-③，圖7-④，…，是用圍棋棋子按照某種規(guī)律擺成的一行“廣”字，按照這種規(guī)律，第5個(gè)“廣”字中的棋子個(gè)數(shù)是________，第 個(gè)“廣”字中的棋子個(gè)數(shù)是________2n+5
16. 如圖8是由一些相同長方體的積木塊搭成的幾何體的三視圖，則此幾何體共由________塊長方體的積木搭成4
三、解答題(本大題共9小題，滿分102分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17. (本小題滿分9分)
如圖9，在ΔABC中，D、E、F分別為邊AB、BC、CA的中點(diǎn)。
證明：四邊形DECF是平行四邊形。
18. (本小題滿分10分)
解方程
19.(本小題滿分10分)
先化簡，再求值： ，其中
20.(本小題滿分10分)
如圖10，在⊙O中，∠ACB=∠BDC=60°，AC= ，
(1)求∠BAC的度數(shù); (2)求⊙O的周長
21. (本小題滿分12分)
有紅、白、藍(lán)三種顏色的小球各一個(gè)，它們除顏色外沒有其它任何區(qū)別。現(xiàn)將3個(gè)小球放入編號(hào)為①、②、③的三個(gè)盒子里，規(guī)定每個(gè)盒子里放一個(gè)，且只能放一個(gè)小球。
(1)請(qǐng)用樹狀圖或其它適當(dāng)?shù)男问搅信e出3個(gè)小球放入盒子的所有可能情況;
(2)求紅球恰好被放入②號(hào)盒子的概率。
22. (本小題滿分12分)
如圖11，在方格紙上建立平面直角坐標(biāo)系，線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)都在格點(diǎn)上，直線MN經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且點(diǎn)M的坐標(biāo)是(1，2)。
(1)寫出點(diǎn)A、B的坐標(biāo);
(2)求直線MN所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(3)利用尺規(guī)作出線段AB關(guān)于直線MN的對(duì)稱圖形(保留作圖痕跡，不寫作法)。
23. (本小題滿分12分)
為了拉動(dòng)內(nèi)需，廣東啟動(dòng)“家電下鄉(xiāng)”活動(dòng)。某家電公司銷售給農(nóng)戶的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱在啟動(dòng)活動(dòng)前一個(gè)月共售出960臺(tái)，啟動(dòng)活動(dòng)后的第一個(gè)月銷售給農(nóng)戶的Ⅰ型和Ⅱ型冰箱的銷量分別比啟動(dòng)活動(dòng)前一個(gè)月增長30%、25%，這兩種型號(hào)的冰箱共售出1228臺(tái)。
(1)在啟動(dòng)活動(dòng)前的一個(gè)月，銷售給農(nóng)戶的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱分別為多少臺(tái)?
(2)若Ⅰ型冰箱每臺(tái)價(jià)格是2298元，Ⅱ型冰箱每臺(tái)價(jià)格是1999元，根據(jù)“家電下鄉(xiāng)”的有關(guān)政策，政府按每臺(tái)冰箱價(jià)格的13%給購買冰箱的農(nóng)戶補(bǔ)貼，問：啟動(dòng)活動(dòng)后的第一個(gè)月銷售給農(nóng)戶的1228臺(tái)Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱，政府共補(bǔ)貼了多少元(結(jié)果保留2個(gè)有效數(shù)字)?
24.(本小題滿分14分)
如圖12，邊長為1的正方形ABCD被兩條與邊平行的線段EF、GH分割為四個(gè)小矩形，EF與GH交于點(diǎn)P。
(1)若AG=AE，證明：AF=AH;
(2)若∠FAH=45°，證明：AG+AE=FH;
(3)若RtΔGBF的周長為1，求矩形EPHD的面積。
解：(1)易證ΔABF≌ΔADH,所以AF=AH
(2)如圖，將ΔADH繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，如圖，易證ΔAFH≌ΔAFM,得FH=MB+BF,即：FH=AG+AE
(3)設(shè)PE=x,PH=y,易得BG=1-x,BF=1-y,FG=x+y-1,由勾股定理，得
(1-x)2+(1-y)2=( x+y-1)2,
化簡得xy=0.5,
所以矩形EPHD的面積為0.5.
25.(本小題滿分14分)
如圖13，二次函數(shù) 的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0，-1)，ΔABC的面積為 。
(1)求該二次函數(shù)的關(guān)系式;
(2)過y軸上的一點(diǎn)M(0，m)作y軸上午垂線，若該垂線與ΔABC的外接圓有公共點(diǎn)，求m的取值范圍;
(3)在該二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)D，使四邊形ABCD為直角梯形?若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說明理由。
解：(1)OC=1,所以,q=-1,又由面積知0.5OC×AB= ,得AB=
設(shè)A(a,0),B(b,0)
AB=b-a= = ，解得p= ,但p<0,所以p= 。
所以解析式為：
(2)令y=0，解方程得 ，得 ,所以A( ,0),B(2,0),在直角三角形AOC中可求得AC= ,同樣可求得BC= ,，顯然AC2+BC2=AB2,得三角形ABC是直角三角形。AB為斜邊，所以外接圓的直徑為AB= ,所以 .
(3)存在，AC⊥BC,①若以AC為底邊，則BD//AC,易求AC的解析式為y=-2x-1,可設(shè)BD的解析式為y=-2x+b，把B(2,0)代入得BD解析式為y=-2x+4，解方程組 得D( ,9)
②若以BC為底邊，則BC//AD,易求BC的解析式為y=0.5x-1,可設(shè)AD的解析式為y=0.5x+b，把 A( ,0)代入得AD解析式為y=0.5x+0.25，解方程組 得D( )
綜上，所以存在兩點(diǎn)：( ,9)或( )。
2009年廣州市初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試
數(shù)學(xué)試題參考答案
一、選擇題：本題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算，每小題3分，滿分30分.
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C A D B D C B A
二、填空題：本題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算，每小題3分，滿分18分.
11. 2 12. 9.3 13.
14. 如果一個(gè)平行四邊形是菱形，那么這個(gè)平行四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直
15. 15; 16. 4
三、解答題：本大題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算，及數(shù)學(xué)能力，滿分102分.
17.本小題主要考查平行四邊形的判定、中位線等基礎(chǔ)知識(shí)，考查幾何推理能力和空間觀念.滿分9分.
證法1： 分別是邊 的中點(diǎn)，
∴ .
同理 .
∴四邊形 是平行四邊形.
證法2： 分別是邊 的中點(diǎn)，
∴ .
為 的中點(diǎn)，
∴ .
∴ .
∴四邊形 是平行四邊形.
18.本小題主要考查分式方程等基本運(yùn)算技能，考查基本的代數(shù)計(jì)算能力.滿分9分.
解：由原方程得 ，
即 ，
即 ，
∴
檢驗(yàn)：當(dāng)x = 3時(shí), .
∴ 是原方程的根.
19.本小題主要考查整式的運(yùn)算、平方差公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查基本的代數(shù)計(jì)算能力.滿分10分.
解：
=
=
= .
將 代入 ，得：
.
20.本小題主要考查圓、等邊三角形等基礎(chǔ)知識(shí)，考查計(jì)算能力、推理能力和空間觀念.滿分10分.
解：(1) ，
∴ .
(2) ，
∴ .
∴ 是等邊三角形.
求 的半徑給出以下四種方法：
方法1：連結(jié) 并延長交 于點(diǎn) (如圖1).
∵ 是等邊三角形，
∴圓心 既是 的外心又是重心，還是垂心.
在 中 ， ，
∴ .
∴ ，即 的半徑為 .
方法2：連結(jié) 、 ，作 交 于點(diǎn) (如圖2).
∴ .
∴ .
∵ ，
∴ 中 .
在 中， ，
∴ ，即 .
∴ ，即 的半徑為 .
方法3：連結(jié) 、 ，作 交 于點(diǎn) (如圖2).
是等邊三角形 的外心，也是 的角平分線的交點(diǎn)，
∴ ， .
在 中， ，即 .
∴ .
∴ ，即 的半徑為 .
方法4：連結(jié) 、 ，作 交 于點(diǎn) (如圖2).
是等邊三角形的外心，也是 的角平分線的交點(diǎn)，
∴ ， .
在 中，設(shè) ，則 ，
∵ .
∴ .
解得 .
∴ ，即 的半徑為 .
∴ 的周長為 ，即 .
21.本小題主要考查概率等基本的概念，考查.滿分12分.
(1)解法1：可畫樹狀圖如下：
共6種情況.
解法2：3個(gè)小球分別放入編號(hào)為①、②、③的三個(gè)盒子的所有可能情況為：紅白藍(lán)、紅藍(lán)白、白紅藍(lán)、白藍(lán)紅、藍(lán)紅白、藍(lán)白紅共6種.
(2)解：從(1)可知，紅球恰好放入2號(hào)盒子的可能結(jié)果有白紅藍(lán)、藍(lán)紅白共2種，
所以紅球恰好放入2號(hào)盒子的概率 .
22. 本小題主要考查圖形的坐標(biāo)、軸對(duì)稱圖形、尺規(guī)作圖、一次函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的基本方法，以及從平面直角坐標(biāo)系中讀圖獲取有效信息的能力，滿分12分.
解：(1) ， ;
(2)解法1：∵直線 經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，
∴設(shè)所求函數(shù)的關(guān)系式是 ，
又點(diǎn) 的坐標(biāo)為(1，2)，
∴ ，
∴直線 所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是 .
解法2：設(shè)所求函數(shù)的關(guān)系式是 ，
則由題意得：
解這個(gè)方程組，得
∴直線 所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是 .
(3)利用直尺和圓規(guī)，作線段 關(guān)于直線 的對(duì)
稱圖形 ，如圖所示.
23.本小題主要考查建立二元一次方程組模型解決簡單實(shí)際問題的能力，考查基本的代數(shù)計(jì)算推理能力.滿分12分.
解：(1)設(shè)啟動(dòng)活動(dòng)前的一個(gè)月銷售給農(nóng)戶的I型冰箱和II型冰箱分別為 、 臺(tái).
根據(jù)題意得
解得
∴啟動(dòng)活動(dòng)前的一個(gè)月銷售給農(nóng)戶的I型冰箱和II型冰箱分別為560臺(tái)和400臺(tái).
(2)I型冰箱政府補(bǔ)貼金額： 元，
II 型冰箱政府補(bǔ)貼金額： 元.
∴啟動(dòng)活動(dòng)后第一個(gè)月兩種型號(hào)的冰箱政府一共補(bǔ)貼金額：
元
答：啟動(dòng)活動(dòng)后第一個(gè)月兩種型號(hào)的冰箱政府一共約補(bǔ)貼農(nóng)戶 元.
24. 本小題主要考查正方形、矩形、三角形全等等基礎(chǔ)知識(shí),考查計(jì)算能力、推理能力和空間觀念.滿分14分.
(1)證明1：在 與 中，
∵ ， ，
∴ ≌ .
∴ .
證明2：在 中， .
在 中， .
∵ ， ，
∴ .
(2)證明1：將 繞點(diǎn) 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 到 的位置.
在 與 中，
∵ ， ，
，
∴ ≌ .
∴ .
∵ ，
∴ .
證明2：延長 至點(diǎn) ，使 ，連結(jié) .
在 與 中，
∵ ， ，
∴ ≌ .
∴ ， .
∵ ，
∴ .
∴ .
∴ ≌ .
∴ .
∵ ，
∴ .
(3)設(shè) ， ，則 ， .( )
在 中， .
∵ 的周長為1，
∴ .
即 .
即 .
整理得 . (*)
求矩形 的面積給出以下兩種方法：
方法1：由(*)得 . ①
∴矩形 的面積 ②
將①代入②得
.
∴矩形 的面積是 .
方法2：由(*)得 ，
∴矩形 的面積
=
=
=
∴矩形 的面積是 .
25. 本小題主要考查二次函數(shù)、解直角三角形等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力、推理能力和空間觀念.滿分14分.
解：(1)設(shè)點(diǎn) 其中 .
∵拋物線 過點(diǎn) ，
∴ .
∴ .
∴ .
∵ 拋物線 與 軸交于 、 兩點(diǎn)，
∴ 是方程 的兩個(gè)實(shí)根.
求 的值給出以下兩種方法：
方法1：由韋達(dá)定理得： .
∵ 的面積為 ，
∴ ，即 .
∴ .
∴ .
∵ ，
∴ .
∴ .
解得 .
∵ .
∴ .
∴所求二次函數(shù)的關(guān)系式為 .
方法2：由求根公式得 .
.
∵ 的面積為 ，
∴ ，即 .
∴ .
∴ .
解得 .
∵ .
∴ .
∴所求二次函數(shù)的關(guān)系式為 .
(2)令 ，解得 .
∴ .
在Rt△ 中， ，
在Rt△ 中， ，
∵ ，
∴ .
∴ .
∴ 是直角三角形.
∴ 的外接圓的圓心是斜邊 的中點(diǎn).
∴ 的外接圓的半徑 .
∵垂線與 的外接圓有公共點(diǎn)，
∴ .
(3)假設(shè)在二次函數(shù) 的圖象上存在點(diǎn) ，使得四邊形 是直角梯形.
① 若 ，設(shè)點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ， ，
過 作 軸，垂足為 ， 如圖1所示.
求點(diǎn) 的坐標(biāo)給出以下兩種方法：
方法1：在Rt△ 中，
，
在Rt△ 中， ，
∵ ，
∴ .
∴ .
.
解得 或 .
∵ ，
∴ ，此時(shí)點(diǎn) 的坐標(biāo)為 .
而 ，因此當(dāng) 時(shí)在拋物線 上存在點(diǎn) ，使得四邊形 是直角梯形.
方法2：在Rt△ 與Rt△ 中， ，
∴Rt△ ∽ Rt△ .
∴ .
∴ .
以下同方法1.
② 若 ，設(shè)點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ， ，
過 作 軸，垂足為 ， 如圖2所示，………5分
在Rt△ 中， ，
在Rt△ 中， ，
∵ ，
∴ .
∴ .
.
解得 或 .
∵ ，
∴ ，此時(shí)點(diǎn) 的坐標(biāo)為 .
此時(shí) ，因此當(dāng) 時(shí)，在拋物線 上存在點(diǎn) ，使得四邊形 是直角梯形.
綜上所述，在拋物線 上存在點(diǎn) ，使得四邊形 是直角梯形，并且點(diǎn) 的坐標(biāo)為 或 .