以下是為大家整理的關(guān)于初一奧數(shù)特殊的自然數(shù)練習的文章，供大家學習參考！
    

A1－008 n為怎樣的自然數(shù)時，數(shù)
    

3^2n＋1－2^2n＋1－6ⁿ
    

是合數(shù)？
    

【題說】 第二xx屆（1990年）全蘇數(shù)學奧林匹克十一年級題5
    

【解】 3^2n＋1－2^2n＋1－6ⁿ＝（3ⁿ－2ⁿ）（3^n＋1＋2^n＋1）
    

當 n＞l時，3ⁿ－2ⁿ＞1，3^n＋1＋2^n＋1＞1，所以原數(shù)是合數(shù)．當 n＝1時，原數(shù)是素數(shù)13．
        A1－009設(shè)n是大于6的整數(shù)，且a₁、a₂、…、a_k是所有小于n且與n互素的自然數(shù)，如果
    

a₂－a₁＝a₃－a₂＝…＝a_k－a_k－1＞0
    

求證：n或是素數(shù)或是2的某個正整數(shù)次方．
    

【題說】 第三xx屆（1991年）國際數(shù)學奧林匹克題2．本題由羅馬尼亞提供．
    

【證】 顯然a₁＝1．
    

由（n－1，n）＝1，得 a_k＝n－1．
    

令 d＝a₂－a₁＞0．
    

當a₂＝2時，d＝1，從而k＝n－1，n與所有小于n的自然數(shù)互素．由此可知n是素數(shù)．
    

當a₂＝3時，d＝2，從而n與所有小于n的奇數(shù)互素．故n是2的某個正整數(shù)次方．
    

設(shè)a₂＞3．a(chǎn)₂是不能整除n的最小素數(shù)，所以2|n，3|n．由于n－1＝a_k＝1＋（k－1）d，所以3  d．又1＋d＝a₂，于是3 1＋d．由此可知3|1＋2d．若1＋2d＜n，則a₃＝1＋2d，這時3|（a₃，n）．矛盾．若1＋2d≥n，則小于n且與n互素自然數(shù)的個數(shù)為2．
    

設(shè)n＝2m（＞6）．若m為偶數(shù)，則m＋1與n互質(zhì)，若m為奇數(shù)，則m＋2與m互質(zhì)．即除去n－1與1外、還有小于n且與n互質(zhì)的數(shù)．矛盾．
    

綜上所述，可知n或是素數(shù)或是2的某個正整數(shù)次方．
    

A1－010 試確定具有下述性質(zhì)的正整數(shù)A：把從1001至2000所有正整數(shù)任作一個排列，都可從其中找出連續(xù)的10項，使這10項之和大于或等于A．
    

【題說】 第xx屆（1992年）中國臺北數(shù)學奧林匹克題6．
    

【解】 設(shè)任一排列，總和都是1001＋1002＋…＋2000＝1500500，將它分為100段，每段10項，至少有一段的和≥15005，所以
    

A≥15005
    

另一方面，將1001～2000排列如下：
    

2000       1001       1900       1101       1800
    

1201       1700       1301       1600       1401
    

1999       1002       1899       1102       1799
    

1202       1699       1302       1599       1402
    

…    …    …    …    …    …
    

1901       1100       1801       1200       1701
    

1300       1601       1400       1501       1300
    

并記上述排列為
    

a₁，a₂，…，a₂₀₀₀
    

（表中第i行第j列的數(shù)是這個數(shù)列的第10（i－1）＋j項，1≤i≤20，1≤j≤10）
    

令     S_i＝a_i＋a_i＋1＋…＋a_i＋9（i＝1，2，…，1901）
    

則S₁＝15005，S₂＝15004．易知若i為奇數(shù)，則S_i＝15005；若i為偶數(shù)，則S_i＝15004．
    

綜上所述A＝15005．