數(shù)學(xué)（理）試題
本試題卷分第1卷（）和第Ⅱ卷（必考題和選考題兩部分）?？忌鞔饡r，將答案答在答題卡上（答題注意事項見答題卡），在本試題卷上答題無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、：本大題共1 2小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．已知全集U=R，集合A={1，2，3，4，5}，B={ }，下圖中 陰影部分所表示的集合為
A．{0，1，2} B．{1，2}
C．{1} C．{ 0，1}
2．復(fù)數(shù) ，在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第二象限 D．第四象限
3．若 ，則tan =
A ． B． C． D．
4．已知命題 使得 命題 ，下列命題為真的是
A．p q B．（ C． D．
5．某三棱錐的側(cè)視圖和俯視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為
A． B． C． D．
6．已知△ABC中，C=45°，則sin2A=sin2B一 sinAsinB=
A． B． C． D．
7．如圖是計算函數(shù) 的值的程序框圖，在①、②、③處分別應(yīng)填入的是
A．y=ln（一x），y=0，y=2x
B．y=0，y=2x，y=In（一x）
C．y=ln（一x），y=2z，y=0
D．y=0，y=ln（一x），y=2x
8．已知a，b是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量c滿足
（a-c）•（b一c）=0，則|c|的值是
A．1 B．
C．2 D．
9．已知A，B，C，D是同一球面上的四個點，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6則該球的表面積為
A．16 B．24 C．32 D．48
10．在二項式（ 的展開式中，各項系數(shù)之 和為M，各項二項式系數(shù)之和為N，且M+N=72，則展開式中常數(shù)項的值為
A．18 B．12 C．9 D．6
11．已知函數(shù) ，如果存在實數(shù)x1， 使得對任意的實數(shù)x，都有 成立，則 的最小值為
A． B． C． D．
12．過雙曲線 的右頂點A作斜率為 一1的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為B，C，若A，B，C三點的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列，則雙曲線的離心率為
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
本卷包括必考題和選考題兩部分，第13題～第2l題為必考題，每個試題考生都必須做答。第22～24題為選考題，考生根據(jù)要求做答。
二、 題：本大題共4小題，每小題5分。
13．已知函數(shù) 的值是 。
14．已知圓 過坐標(biāo)原點，則圓心C到直線 距離的最小值等于 ．
15．已知 函數(shù) 上的奇函數(shù)，且 的圖象關(guān)于直線x=1對稱，當(dāng) 時， ．
16．如圖所示，在邊長為1的正方形OABC中任取一點M．則
點M恰好取自陰影部分的概率是 ．
三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17．（本小題滿分12分）
已知數(shù)列{ }中
（I）設(shè) ，求證數(shù)列{ }是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{ }的通項公式．
1 8．（本小題滿分12分）
某校從參加某次知識競賽的 同學(xué)中，選取60名同學(xué)將其成績（百分制，均為整數(shù)）分成6組后，得到部分頻率分布直方圖（如圖），觀察圖中的信息， 回答下列問題．
(Ⅰ)求分?jǐn)?shù)在[70，80）內(nèi)的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；
(Ⅱ)根據(jù)頻率分布直方圖，估計本次考試的平均分；
(Ⅲ)若從60名學(xué)生中隨機抽取2人，抽到的學(xué)生成績在[40，70）記0分，記[70，100]記1分，用X表示抽取結(jié)束后的總記分，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望。
19．（本小題滿分12分）
如圖。在直三棱柱ABC―A1B1C1中，AB=BC=2AA1，∠ABC=90°，M是BC中點。
（I）求證：A1B∥平面AMC1；
（II）求直線CC1與平面AMC1所成角的正弦值；
（Ⅲ）試問：在棱A1B1上是否存在點N，使AN與MC1成角60°？若存在，確定點N的位置；若不存在，請說明理由。
20．（本小題滿分12分）已知橢圓C的方程為 左、右焦點分別為F1、F2，焦距為4 ，點M是橢圓C上一點，滿足
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點P（0，2）分別作直線PA，PB交橢圓C于A，B兩點，設(shè)直線PA，PB的斜率分別為k1，k2， ，求證：直線AB過定點，并求出直線AB的斜率k的取值范圍。
21．（本小題滿分12分）
已知函數(shù)
（1）求 的解析式及減區(qū)間；
（2）若 的最小值。
請考生在第22、23、24三題中任選一題做答，如果多做．則按所做的第一題記分．做答時請寫清題號。
22．（本小題滿分10分）選修4一1：幾何證明選講
在 ABC的邊AB，BC，CA上分別取D，E，F(xiàn)．使得DE=BE，F(xiàn)E=CE，又點O是△ADF的外心。
（Ⅰ）證明：D，E，F(xiàn)，O四點共圓；
（Ⅱ）證明：O在∠DEF的平分線上．
23．（本小題滿分10分）選修4～4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為 （t為參數(shù) ）在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位。且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為
（I）求圓C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)圓C與直線l交于點A，B．若點P 的坐標(biāo)為（1,2）,求 的最小值．
24．（本小題滿分10分）選修4―5：不等式選講
設(shè)函數(shù) =
（I）求函數(shù) 的最小值m；
（II）若不等式 恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
理科數(shù)學(xué)試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)
一、選擇題（每小題5分，共60分）
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C C D A A B B D D C B C
二、題（每小題5分，共20分）
（13） （14） （15） （16）
三、解答題
（17）解：（Ⅰ）遞推公式可化為 ，即 . …………3分
又 ，
所以數(shù)列 是首項為3，公比為 的等比數(shù)列. ……………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ，所以 ……………7分
……………12分
（18）解：（Ⅰ）設(shè)分?jǐn)?shù)在 內(nèi)的頻率為x，根據(jù)頻率分布直方圖，
則有 ，可得x=0.3.
所以頻率分布直方圖如圖所示：
……………4分
（Ⅱ）平均 分為：
………………6分
（Ⅲ）學(xué)生成績在[40,70)的有0.4×60=24人，在[70,100]的有0.6×60=36人，
且X的可能取值是0，1，2．
則 ， ， ．
所以X的分布列為：
X 0 1 2
P
所以EX＝0× ＋1× ＋2× ＝ ． ……………12分
（19）解：（Ⅰ）連接 交 于 ,連接 .在三角形 中，
是三角形 的中位線，
所以 ∥ ,
又因 平面 ，
所以 ∥平面 . ……………4分
（Ⅱ）（法一）設(shè)直線 與平面 所成角為 ，
點到平面 的距離為 ，不妨設(shè) ，則 ，
因為 , ，
所以 . ……………5分
因為 ，
所以 , .
.
，
， . ……………8分
（法二）如圖以 所在的直線為 軸, 以 所在
的直線為 軸, 以 所在的直線為 軸，
以 的長度為單位長度建立空間直角坐標(biāo)系.
則 , , , ， , , .設(shè)直線 與平面 所成角為 ，平面 的法向量為 .則有 , , ，
令 ,得 ，
設(shè)直線 與平面 所成角為 ，
則 . ……………8分
（Ⅲ）假設(shè)直線 上存在 點 ，使 與 成角為 .
設(shè) ，則 ， .
設(shè)其夾角為 ，
所以，
，
， 或 （舍去），
故 .所以在棱 上存在棱 的中點 ，使 與 成角 . 12分
（20）解：（Ⅰ）在 中,設(shè) , ,由余弦定理得 ，
即 ，即 ，得 .
又因為 ， ， ，
又因為 所以 ，
所以所求橢圓的方程為 . ……………5分
（Ⅱ）顯然直線 的斜率 存在，設(shè)直線方程為 ， ，
由 得 ，即 ，
， ，
由 得， ，又 ， ，
則 ， ，
，
那么 ，
則直線 過定點 . ……………10分
因為 ， ，
， ，
， ，
，所以 或 . ……………12分
（21）解：（Ⅰ）令 得 ， ，所以 ，
， ……………3分
，
由 得 ， 的減區(qū)間為（ ）. ……5分
（Ⅱ）由題意 ，
，
設(shè) ， . ………… …7分
當(dāng) 時， 恒成立， 無值；
當(dāng) 時，由 得 ， 得 .
在 上為增函數(shù)，在 上為減函數(shù).
， ，
， ……………10分
設(shè) ， ，
由 得 ， 得 ，
，所以 的最小值為 . ……………12分
（22）證明：（Ⅰ） 如圖，∠DEF=180°-（180°-2∠B）-（180°-2∠C）=180°-2∠A．
因此∠A是銳角，
從而 的外心與頂點A在DF的同側(cè)，
∠DOF=2∠A=180°-∠DEF．
因此D，E，F(xiàn)，O四點共圓． ……………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∠DEO=∠DFO=∠FDO =∠FEO，
即O在∠DEF的平分線上． ……………10分
（23）解:（Ⅰ）由 得 ，化為直角坐標(biāo)方程為 ，
即 . ……………4分
（Ⅱ）將 的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得 .
由 ，故可設(shè) 是上述方程的兩根，
所以 又直線 過點 ，故結(jié)合t的幾何意義得
=
所以 的最小值為 ……………10分
（24）解：（Ⅰ）
顯然，函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞減，在區(qū)間 上單調(diào)遞增，
所以函數(shù) 的最小值 ……………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ， 恒成立，
由于 ，
等號當(dāng)且僅當(dāng) 時成立，故 ，解之得 或
所以實數(shù) 的取值范圍為 或 ……………10分
本試題卷分第1卷（）和第Ⅱ卷（必考題和選考題兩部分）?？忌鞔饡r，將答案答在答題卡上（答題注意事項見答題卡），在本試題卷上答題無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、：本大題共1 2小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．已知全集U=R，集合A={1，2，3，4，5}，B={ }，下圖中 陰影部分所表示的集合為
A．{0，1，2} B．{1，2}
C．{1} C．{ 0，1}
2．復(fù)數(shù) ，在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第二象限 D．第四象限
3．若 ，則tan =
A ． B． C． D．
4．已知命題 使得 命題 ，下列命題為真的是
A．p q B．（ C． D．
5．某三棱錐的側(cè)視圖和俯視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為
A． B． C． D．
6．已知△ABC中，C=45°，則sin2A=sin2B一 sinAsinB=
A． B． C． D．
7．如圖是計算函數(shù) 的值的程序框圖，在①、②、③處分別應(yīng)填入的是
A．y=ln（一x），y=0，y=2x
B．y=0，y=2x，y=In（一x）
C．y=ln（一x），y=2z，y=0
D．y=0，y=ln（一x），y=2x
8．已知a，b是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量c滿足
（a-c）•（b一c）=0，則|c|的值是
A．1 B．
C．2 D．
9．已知A，B，C，D是同一球面上的四個點，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6則該球的表面積為
A．16 B．24 C．32 D．48
10．在二項式（ 的展開式中，各項系數(shù)之 和為M，各項二項式系數(shù)之和為N，且M+N=72，則展開式中常數(shù)項的值為
A．18 B．12 C．9 D．6
11．已知函數(shù) ，如果存在實數(shù)x1， 使得對任意的實數(shù)x，都有 成立，則 的最小值為
A． B． C． D．
12．過雙曲線 的右頂點A作斜率為 一1的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為B，C，若A，B，C三點的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列，則雙曲線的離心率為
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
本卷包括必考題和選考題兩部分，第13題～第2l題為必考題，每個試題考生都必須做答。第22～24題為選考題，考生根據(jù)要求做答。
二、 題：本大題共4小題，每小題5分。
13．已知函數(shù) 的值是 。
14．已知圓 過坐標(biāo)原點，則圓心C到直線 距離的最小值等于 ．
15．已知 函數(shù) 上的奇函數(shù)，且 的圖象關(guān)于直線x=1對稱，當(dāng) 時， ．
16．如圖所示，在邊長為1的正方形OABC中任取一點M．則
點M恰好取自陰影部分的概率是 ．
三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17．（本小題滿分12分）
已知數(shù)列{ }中
（I）設(shè) ，求證數(shù)列{ }是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{ }的通項公式．
1 8．（本小題滿分12分）
某校從參加某次知識競賽的 同學(xué)中，選取60名同學(xué)將其成績（百分制，均為整數(shù)）分成6組后，得到部分頻率分布直方圖（如圖），觀察圖中的信息， 回答下列問題．
(Ⅰ)求分?jǐn)?shù)在[70，80）內(nèi)的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；
(Ⅱ)根據(jù)頻率分布直方圖，估計本次考試的平均分；
(Ⅲ)若從60名學(xué)生中隨機抽取2人，抽到的學(xué)生成績在[40，70）記0分，記[70，100]記1分，用X表示抽取結(jié)束后的總記分，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望。
19．（本小題滿分12分）
如圖。在直三棱柱ABC―A1B1C1中，AB=BC=2AA1，∠ABC=90°，M是BC中點。
（I）求證：A1B∥平面AMC1；
（II）求直線CC1與平面AMC1所成角的正弦值；
（Ⅲ）試問：在棱A1B1上是否存在點N，使AN與MC1成角60°？若存在，確定點N的位置；若不存在，請說明理由。
20．（本小題滿分12分）已知橢圓C的方程為 左、右焦點分別為F1、F2，焦距為4 ，點M是橢圓C上一點，滿足
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點P（0，2）分別作直線PA，PB交橢圓C于A，B兩點，設(shè)直線PA，PB的斜率分別為k1，k2， ，求證：直線AB過定點，并求出直線AB的斜率k的取值范圍。
21．（本小題滿分12分）
已知函數(shù)
（1）求 的解析式及減區(qū)間；
（2）若 的最小值。
請考生在第22、23、24三題中任選一題做答，如果多做．則按所做的第一題記分．做答時請寫清題號。
22．（本小題滿分10分）選修4一1：幾何證明選講
在 ABC的邊AB，BC，CA上分別取D，E，F(xiàn)．使得DE=BE，F(xiàn)E=CE，又點O是△ADF的外心。
（Ⅰ）證明：D，E，F(xiàn)，O四點共圓；
（Ⅱ）證明：O在∠DEF的平分線上．
23．（本小題滿分10分）選修4～4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為 （t為參數(shù) ）在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位。且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為
（I）求圓C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)圓C與直線l交于點A，B．若點P 的坐標(biāo)為（1,2）,求 的最小值．
24．（本小題滿分10分）選修4―5：不等式選講
設(shè)函數(shù) =
（I）求函數(shù) 的最小值m；
（II）若不等式 恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
理科數(shù)學(xué)試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)
一、選擇題（每小題5分，共60分）
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C C D A A B B D D C B C
二、題（每小題5分，共20分）
（13） （14） （15） （16）
三、解答題
（17）解：（Ⅰ）遞推公式可化為 ，即 . …………3分
又 ，
所以數(shù)列 是首項為3，公比為 的等比數(shù)列. ……………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ，所以 ……………7分
……………12分
（18）解：（Ⅰ）設(shè)分?jǐn)?shù)在 內(nèi)的頻率為x，根據(jù)頻率分布直方圖，
則有 ，可得x=0.3.
所以頻率分布直方圖如圖所示：
……………4分
（Ⅱ）平均 分為：
………………6分
（Ⅲ）學(xué)生成績在[40,70)的有0.4×60=24人，在[70,100]的有0.6×60=36人，
且X的可能取值是0，1，2．
則 ， ， ．
所以X的分布列為：
X 0 1 2
P
所以EX＝0× ＋1× ＋2× ＝ ． ……………12分
（19）解：（Ⅰ）連接 交 于 ,連接 .在三角形 中，
是三角形 的中位線，
所以 ∥ ,
又因 平面 ，
所以 ∥平面 . ……………4分
（Ⅱ）（法一）設(shè)直線 與平面 所成角為 ，
點到平面 的距離為 ，不妨設(shè) ，則 ，
因為 , ，
所以 . ……………5分
因為 ，
所以 , .
.
，
， . ……………8分
（法二）如圖以 所在的直線為 軸, 以 所在
的直線為 軸, 以 所在的直線為 軸，
以 的長度為單位長度建立空間直角坐標(biāo)系.
則 , , , ， , , .設(shè)直線 與平面 所成角為 ，平面 的法向量為 .則有 , , ，
令 ,得 ，
設(shè)直線 與平面 所成角為 ，
則 . ……………8分
（Ⅲ）假設(shè)直線 上存在 點 ，使 與 成角為 .
設(shè) ，則 ， .
設(shè)其夾角為 ，
所以，
，
， 或 （舍去），
故 .所以在棱 上存在棱 的中點 ，使 與 成角 . 12分
（20）解：（Ⅰ）在 中,設(shè) , ,由余弦定理得 ，
即 ，即 ，得 .
又因為 ， ， ，
又因為 所以 ，
所以所求橢圓的方程為 . ……………5分
（Ⅱ）顯然直線 的斜率 存在，設(shè)直線方程為 ， ，
由 得 ，即 ，
， ，
由 得， ，又 ， ，
則 ， ，
，
那么 ，
則直線 過定點 . ……………10分
因為 ， ，
， ，
， ，
，所以 或 . ……………12分
（21）解：（Ⅰ）令 得 ， ，所以 ，
， ……………3分
，
由 得 ， 的減區(qū)間為（ ）. ……5分
（Ⅱ）由題意 ，
，
設(shè) ， . ………… …7分
當(dāng) 時， 恒成立， 無值；
當(dāng) 時，由 得 ， 得 .
在 上為增函數(shù)，在 上為減函數(shù).
， ，
， ……………10分
設(shè) ， ，
由 得 ， 得 ，
，所以 的最小值為 . ……………12分
（22）證明：（Ⅰ） 如圖，∠DEF=180°-（180°-2∠B）-（180°-2∠C）=180°-2∠A．
因此∠A是銳角，
從而 的外心與頂點A在DF的同側(cè)，
∠DOF=2∠A=180°-∠DEF．
因此D，E，F(xiàn)，O四點共圓． ……………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∠DEO=∠DFO=∠FDO =∠FEO，
即O在∠DEF的平分線上． ……………10分
（23）解:（Ⅰ）由 得 ，化為直角坐標(biāo)方程為 ，
即 . ……………4分
（Ⅱ）將 的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得 .
由 ，故可設(shè) 是上述方程的兩根，
所以 又直線 過點 ，故結(jié)合t的幾何意義得
=
所以 的最小值為 ……………10分
（24）解：（Ⅰ）
顯然，函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞減，在區(qū)間 上單調(diào)遞增，
所以函數(shù) 的最小值 ……………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ， 恒成立，
由于 ，
等號當(dāng)且僅當(dāng) 時成立，故 ，解之得 或
所以實數(shù) 的取值范圍為 或 ……………10分