專題2：函數(shù)問題
    35. （2012吉林長春10分）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=－2x+42交x軸與點A,交直線y=x于點B,拋物線 分別交線段AB、OB于點C、D，點C和點D的橫坐標分別為16和4，點P在這條拋物線上．
    （1）求點C、D的縱坐標．
    （2）求a、c的值．
    （3）若Q為線段OB上一點，且P、Q兩點的縱坐標都為5，求線段PQ的長．
    （4）若Q為線段OB或線段AB上的一點，PQ⊥x軸，設P、Q兩點之間的距離為d（d＞0），點Q的橫坐標為m，直接寫出d隨m的增大而減小時m的取值范圍．
    （參考公式：二次函數(shù) 圖像的頂點坐標為 ）
    【答案】解：（1）∵點C在直線AB：y=－2x+42上，且C點的橫坐標為16，
    ∴y=－2×16+42=10，即點C的縱坐標為10。
    ∵D點在直線OB：y=x上，且D點的橫坐標為4，∴點D的縱坐標為4。
    （2）由（1）知點C的坐標為（16，10），點D的坐標為（4，4），
    ∵拋物線 經(jīng)過C、D兩點，
    ∴ ，解得： 。∴拋物線的解析式為 。
    （3）∵P為線段OB上一點，縱坐標為5，∴P點的橫坐標也為5。
    ∵點Q在拋物線上，縱坐標為5，∴ ，解得 。
    當點Q的坐標為（ ，5），點P的坐標為（5，5），線段PQ的長為 ；
    當點Q的坐標為（ ，5），點P的坐標為（5，5），線段PQ的長為 。
    所以線段PQ的長為 或 。
    （4）當0≤m＜4或12≤m＜16時，d隨m的增大而減小。
    【考點】二次函數(shù)綜合題，曲線上點的坐標與方程的關系，解二元一次方程組和一元二次方程，二次函數(shù)的性質。
    【分析】（1）點C在直線AB：y=－2x+42上，將C點的橫坐標，代入即可求出C點的縱坐標，同理可知：D點在直線OB：y=x上，將D點的橫坐標，代入解析式即可求出D點的縱坐標。
    （2）拋物線 經(jīng)過C、D兩點，列出關于a和c二元二次方程組，解出a和c即可。
    （3）根據(jù)Q為線段OB上一點，P、Q兩點的縱坐標都為5，則可以求出Q點的坐標，又知P點在拋物線上，求出P點的坐標即可，P、Q兩點的橫坐標的差的絕對值即為線段PQ的長。
    （4）根據(jù)PQ⊥x軸，可知P和Q兩點的橫坐標相同，求出拋物線的頂點坐標和B點的坐標，①當Q是線段OB上的一點時，結合圖形寫出m的范圍，②當Q是線段AB上的一點時，結合圖形寫出m的范圍即可：
    根據(jù)題干條件：PQ⊥x軸，可知P、Q兩點的橫坐標相同，
    ∵拋物線y= ，∴頂點坐標為（8，2）。
    聯(lián)立 ，解得點B的坐標為（14，14）。
    ①當點Q為線段OB上時，如圖所示，當0≤m＜4或
    12≤m≤14時，d隨m的增大而減?。?BR>    ②當點Q為線段AB上時，如圖所示，當14≤m＜16時，d隨m的增大而減小。
    綜上所述，當0≤m＜4或12≤m＜16時，d隨m的增大而減小。
    36. （2012湖北荊州12分）已知：y關于x的函數(shù)y=（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的圖象與x軸有交點．
    （1）求k的取值范圍；
    （2）若x1，x2是函數(shù)圖象與x軸兩個交點的橫坐標，且滿足（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2．
    ①求k的值；②當k≤x≤k+2時，請結合函數(shù)圖象確定y的值和值．
    【答案】解：（1）當k=1時，函數(shù)為一次函數(shù)y=﹣2x+3，其圖象與x軸有一個交點。
    當k≠1時，函數(shù)為二次函數(shù)，其圖象與x軸有一個或兩個交點，
    令y=0得（k﹣1）x2﹣2kx+k+2=0．
    △=（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k+2）≥0，解得k≤2．即k≤2且k≠1。
    綜上所述，k的取值范圍是k≤2。
    （2）①∵x1≠x2，由（1）知k＜2且k≠1。
    由題意得（k﹣1）x12+（k+2）=2kx1（*），
    將（*）代入（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2中得：2k（x1+x2）=4x1x2。
    又∵x1+x2= ，x1x2= ，∴2k• =4• ，
    解得：k1=﹣1，k2=2（不合題意，舍去）?！嗨髃值為﹣1。
    ②如圖，∵k1=﹣1，y=﹣2x2+2x+1=﹣2（x﹣ ）2+ ，且﹣1≤x≤1，
    由圖象知：當x=﹣1時，y最小=﹣3；當x= 時，y= 。
    ∴y的值為 ，最小值為﹣3。
    【考點】拋物線與x軸的交點，一次函數(shù)的定義，一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)物關系，二次函數(shù)的最值。
    【分析】（1）分兩種情況討論，當k=1時，可求出函數(shù)為一次函數(shù)，必與x軸有一交點；當k≠1時，函數(shù)為二次函數(shù)，若與x軸有交點，則△≥0。
    （2）①根據(jù)（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2及根與系數(shù)的關系，建立關于k的方程，求出k的值。②充分利用圖象，直接得出y的值和最小值。
    37. （2012湖北隨州12分）一列快車由甲地開往乙地，一列慢車由乙地開往甲地, 兩車同時出發(fā),勻速運動.快車離乙地的路程y1(km)與行駛的時間x(h)之間的函數(shù)關系,如圖中線段AB所示；慢車離乙地的路程y2(km)與行駛的時間x(h)之間的函數(shù)關系,如圖中線段OC所示。根據(jù)圖象進行以下研究。
    解讀信息：
    (1)甲、乙兩地之間的距離為 km；
    (2)線段AB的解析式為 ; 線段OC的解析式為 ；
    問題解決：
    (3)設快、慢車之間的距離為y(km)，求y與慢車行駛時間x(h)的函數(shù)關系式，并畫出函數(shù)的圖象。
    【答案】解：（1）450。
     （2）y1=450－150x（0≤x≤3）；y2=75x（0≤x≤6）。
    （3）根據(jù)（2）得出：
     。
    由函數(shù)解析式y(tǒng)=450－225x（0≤x＜2），當x=0，y=450；
    由函數(shù)解析式y(tǒng)=225x－450（2≤x＜3），當x=2，y=0；
    由函數(shù)解析式y(tǒng)=75x（3≤x≤6），當x=3，y=225，x=6，y=450。
    根據(jù)各端點，畫出圖象，其圖象為折線圖AE－EF－FC：
    【考點】一次函數(shù)的圖象和應用，待定系數(shù)法，直線上點的坐標與方程的關系。
    【分析】（1）利用A點坐標為（0，450），可以得出甲，乙兩地之間的距離。
     （2）利用A點坐標（0，450），B點坐標（3，0），用待定系數(shù)法求出線段AB的解析式；利用C點坐標（6，450），用待定系數(shù)法求出線段AB的解析式：
    設線段AB的解析式為：y1=kx+b，根據(jù)A點坐標（0，450），B點坐標（3，0），
     得出： ，解得： ?！嗑€段AB的解析式為：y1=450－150x（0≤x≤3）。
     設線段OC的解析式為：y2=ax，將（6，450）代入得a=75。
    ∴線段OC的解析式為 y2=75x （0≤x≤6）。
    （3）利用（2）中所求得出， ，從而求出函數(shù)解析式，得出圖象即可。
    38. （2012湖北孝感12分）)如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交于點A(－1，0)、B(3，0)，與y
    軸交于點C(0，3)．
    (1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標；
    (2)若P為線段BD上的一個動點，過點P作PM⊥x軸于點M，求四邊形PMAC的面積的值和此
    時點P的坐標；
    (3)若點P是拋物線第一象限上的一個動點，過點P作PQ∥AC交x軸于點Q．當點P的坐標為
     時，四邊形PQAC是平行四邊形；當點P的坐標為 時，四邊形PQAC是等腰梯形(直接寫出結果，不寫求解過程)．
    【答案】解：（1）∵拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交于點A(－1，0)、B(3，0)，
     ∴可設拋物線的解析式為 。
     又∵拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 與y軸交于點C(0，3)，
     ∴ ，解得 。
     ∴拋物線的解析式為 。即 。
     又∵ ，∴拋物線頂點D的坐標為（1，4）。
    （2）設直線BD的解析式為 ，
     由B（3，0），D（1，4）得 ，解得 。
     ∴直線BD的解析式為 。
     ∵點P在直線PD上，∴設P（p， ）。
     則OA=1，OC=3，OM= p，PM= 。
     ∴ 。
     ∵ ，∴當 時，四邊形PMAC的面積取得值為 ，此時點P的坐
    標為（ ）。
     （3）（2，3）；（ ）。
    【考點】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標與方程的關系，二次函數(shù)的性質，平行四邊形的判定，等腰梯形的判定，相似三角形的判定和性質勾股定理，解一元二次方程。
    【分析】（1）將拋物線的解析式設為交點式，可用待定系數(shù)法較簡捷地求得拋物線的解析式，將其化為頂點式即可求得頂點D的坐標。
     （2）求出直線BD的解析式，設定點P的坐標，由 列式，根據(jù)二
    次函數(shù)最值原理，即可求得四邊形PMAC的面積的值和此時點P的坐標。
     （3）①如圖，四邊形PQAC是平行四邊形時，
    ∵CP∥x軸，點P在拋物線上，
    ∴點P與點C關于拋物線的對稱軸x=1對稱。
     ∵C(0，3)，∴P（2，3）。
     ②如圖，四邊形PQAC是等腰梯形時，
     設P（m， ），
     過點P作PH⊥x軸于點H，則H（m，0）。
    易得△ACO∽△QNP，∴ 。
    ∵OA=1，OC=3，HP= ，∴ ，即 。
    ∴AQ=AO+OH－QH= ?！?。
    又由勾股定理得， 。
    由四邊形PQAC是等腰梯形得AQ=CP，即AQ2=CP2，
    ∴ ，整理得 ，解得 或 。
    當 時，由①知CP∥AQ，四邊形PQAC是平行四邊形，不符合條件，舍去。
    當 時，CP與AQ不平行，符合條件?！郟（ ）。
    39. （2012江蘇鎮(zhèn)江9分）對于二次函數(shù) 和一次函數(shù) ，把 稱為這兩個函數(shù)的“再生二次函數(shù)”，其中t是不為零的實數(shù)，其圖象記作拋物線E。現(xiàn)有點A（2，0）和拋物線E上的點B（－1，n），請完成下列任務：
    【嘗試】
    （1）當t=2時，拋物線 的頂點坐標為 ▲ 。
    （2）判斷點A是否在拋物線E上；
    （3）求n的值。
    【發(fā)現(xiàn)】通過（2）和（3）的演算可知，對于t取任何不為零的實數(shù)，拋物線E總過定點，坐標為 ▲ 。
    【應用1】二次函數(shù) 是二次函數(shù) 和一次函數(shù) 的一個“再生二次函數(shù)”嗎？如果是，求出t的值；如果不是，說明理由；
    【應用2】以AB為邊作矩形ABCD，使得其中一個頂點落在y軸上，或拋物線E經(jīng)過A、B、C、D其中的一點，求出所有符合條件的t的值。
    【答案】解：【嘗試】（1）（1，－2）。
     （2）點A在拋物線E上，理由如下：
     將x=2代入 得y=0。
     ∴點A在拋物線E上。
    （3）將（－1，n）代入 得
     。
    【發(fā)現(xiàn)】A（2，0）和B（－1，6）。
    【應用1】不是。
     ∵將x=－1代入 ，得 ，
     ∴二次函數(shù) 的圖象不經(jīng)過點B。
     ∴二次函數(shù) 不是二次函數(shù) 和一次函數(shù) 的一個“再生二次函數(shù)”。
    【應用2】如圖，作矩形ABC1D1和ABC2D2，過點B作BK⊥y軸于點K，過點D1作D1G⊥x軸于點G，過點C2作C2H⊥y軸于點H，過點B作BM⊥x軸于點M，C2H與BM相交于點T。
    易得AM=3，BM=6，BK=1，△KBC1∽△NBA，
    則 ，即 ，得 。
    ∴C1（0， ）。
    易得△KBC1≌△GAD1，得AG=1，GD1= ?！郉1（3， ）。
    易得△OAD2∽GAD1，則 ，
    由AG=1，OA=2，GD1= 得 ，得OD2=1?！郉2（0，－1）。
    易得△TBC2≌△OD2A，得TC2=AO=2，BT==OD2=1?！郈2（－3，5）。
    ∵拋物線E總過定點A、B，∴符合條件的三點只可能是A、B、C或A、B、D。
    當拋物線經(jīng)過A、B、C1時，將C1（0， ）代入 得 ；
    當拋物線經(jīng)過A、B、D1時，將D1（3， ）代入 得 ；
    當拋物線經(jīng)過A、B、C2時，將C2（－3，5）代入 得 ；
    當拋物線經(jīng)過A、B、D2時，將D2（0，－1）代入 得 。
    ∴滿足條件的所有t值為 ， ， ， 。
    【考點】新定義，二次函數(shù)的性質，曲線上點的坐標與方程的關系，矩形的性質。
    【分析】【嘗試】（1）當t=2時，拋物線為 ，∴拋物線的頂點坐標為（1，－2）。
     （2）根據(jù)點在曲線上，點的坐標滿足方程的關系驗證即可。
     （3）根據(jù)點在曲線上，點的坐標滿足方程的關系，將（－1，n）代入函數(shù)關系式 即可求得n的值。
    【發(fā)現(xiàn)】由（1）可得。
    【應用1】根據(jù)點在曲線上，點的坐標滿足方程的關系驗證即可。
    【應用2】根據(jù)條件，作出矩形，求出各點坐標，根據(jù)新定義求出t的值。
    40. （2012四川瀘州11分）如圖，二次函數(shù) 的圖象與x軸相交于點A、B(點在點的左側)，與y軸相交于點C，頂點D在第一象限.過點D作x軸的垂線，垂足為H。
    (1)當 時，求tan∠ADH的值；
    (2)當60°≤∠ADB≤90°時，求m的變化范圍；
    (3)設△BCD和△ABC的面積分別為S1、S2，且滿足S1=S2，求點D到直線BC的距離。
    【答案】解：（1）)當 時， ?！郉 ?！郉H= 。
     在 中令 ，即 ，解得 。
     ∴A（－1，0）?！郃H= ?！鄑an∠ADH= 。
    （2）∵ ，∴D 。
     ∴DH= 。
    在 中令 ，即 ，解得 。
    ∵頂點D在第一象限，∴ ?！?BR>    ∴A（－1，0）。∴AH= 。
     當∠ADB=600時，∠ADH=300，tan∠ADH= 。
     ∴ ，解得 （增根，舍去）。
     當∠ADB=900時，∠ADH=450，AH=DH，即 ，
    解得 （不符合 ，舍去）。
    ∴當60°≤∠ADB≤90°時， 。
    （3）設DH與BC交于點M，則點M的橫坐標為m，
    設過點B（ ，0），C（0， ）的直線為 ，則
     ，解得 。
     ∴直線BC為 。
     當 時， 。
     ∴M（m， ）?！郉M= ，AB= 。
     ∵S△BCD= DM•OB，S△ABC= AB•OC，S△BCD=S△ABC，
     ∴ 。
     又∵頂點D在第一象限，∴ ，解得 。
     當 時 ，A（－1，0），B（5，0），C（0， ）。
     ∴BC= ，S△ABC= 。
     設點D到BC的距離為d，∵S△DBC= ，
     ∴ ，解得 。
     答：點D到直線BC的距離為 。
    【考點】二次函數(shù)綜合題，二次函數(shù)的性質，曲線上點的坐標與方程的關系，待定系數(shù)法，銳角三角函數(shù)定義，點到直線的距離，解二元一次方程組和一元二次方程。
    【分析】（1）求出頂點D和A的坐標，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義即可求出tan∠ADH的值。
     （2）求出∠ADB=600和∠ADB=900時的m的值即可得出m的變化范圍。
    （3）設點D到BC的距離為d，根據(jù)S△DBC= 和S△BCD=S△ABC，求出BC和S△ABC即可求得點D到直線BC的距離d。