(一)馬克威茨模型的基本假設(shè)以及單個(gè)證券收益風(fēng)險(xiǎn)的度量
    假設(shè)一：投資者以期望收益率(亦稱收益率均值)來衡量未來實(shí)際收益率的總體水平，以收益率的方差(或標(biāo)準(zhǔn)差)來衡量收益率的不確定性(風(fēng)險(xiǎn))，因而投資者在決策中只關(guān)心投資的期望收益率和方差。
    假設(shè)二：投資者是不知足的和厭惡風(fēng)險(xiǎn)的，即投資者總是希望期望收益率越高越好，而方差越小越好。
    理性投資者的行為特征和決策方法應(yīng)該符合下面幾點(diǎn)。
    第一，追求收益化。在相同風(fēng)險(xiǎn)水平的組合中，投資者選擇期望收益率的組合。
    第二，厭惡風(fēng)險(xiǎn)。在相同期望收益率水平的組合中，投資者會(huì)選擇風(fēng)險(xiǎn)最小的組合。
    第三，追求效用化。如果增加了風(fēng)險(xiǎn)，一定要相應(yīng)地增加足夠的收益。
    下面是單個(gè)證券的的收益和風(fēng)險(xiǎn)度量的期望和方差。
    1．收益及其度量。
    用隨機(jī)變量度量收益的不確定性(可變性)。任何一項(xiàng)投資的效果都可以用收益率來衡量。
    收益率=(收入—支出)／支出x100％
    假若投資期限為一年，該收益率表示年收益率，如果投資期限不是一年，則可以轉(zhuǎn)換為年收益率。例如，投資期限為t年(t不一定是整數(shù))，投資期限內(nèi)的收益率為r，則年收益率f1將滿足：
    r1= (1+r)1／t一1
    對(duì)于證券投資采說，投資收益將等于收到的紅利與投資期內(nèi)證券的價(jià)格變化相加，因而收益率為：
    r=(紅利+期末價(jià)格—期初價(jià)格)／期初價(jià)格X100％
    在收益確定性的情況下(比如將錢存人銀行，不計(jì)通貨膨脹的影響)，投資者可以準(zhǔn)確得知現(xiàn)在的投資到未來一定時(shí)期內(nèi)可獲得的收益。而在不確定性情況下，問題則要復(fù)雜得多，證券價(jià)格時(shí)刻處于波動(dòng)之中，未來價(jià)格不可能準(zhǔn)確知道，因而人們要想對(duì)未來一定期限內(nèi)的收益率做出準(zhǔn)確判斷是絕對(duì)不可能的。
     將這個(gè)問題降低一個(gè)難度，則可以得出對(duì)每一個(gè)收益率范圍的可能性的估計(jì)。投資者可以根據(jù)自己的分析將估計(jì)結(jié)果用數(shù)字的形式表述出來。 比如，可以用下表來描述一項(xiàng)投資的風(fēng)險(xiǎn)處境。
    收益率％ 6 7 8 9 10 11
    可能性 0．05 0．1 0．2 0．3 0．2 0．15
     數(shù)學(xué)上收益率r就是為隨機(jī)變量。將隨機(jī)變量取各種可能值及其對(duì)應(yīng)的可能性(概率)一一列出則稱為給出了隨機(jī)變量的一個(gè)分布。一項(xiàng)投資的風(fēng)險(xiǎn)處境實(shí)際上就是用收益率(作為一個(gè)隨機(jī)變量)的分布來描述的。
     對(duì)于一般情況，用隨機(jī)變量的概率分布來描述。將有可能出現(xiàn)的收益率用d(i=1，2，…，n)來表示，獲得收益率d的可能性用pi表示。風(fēng)險(xiǎn) 處境的一般表述如下表。 收益率 n r2 rn
    概率 P1 p2 pn
    預(yù)期收益。預(yù)期收益率就是的隨機(jī)變量的期望收益率，計(jì)算公式如下：
    Er=∑riXpi
    2.風(fēng)險(xiǎn)及其度量。
     如果投資者以預(yù)期收益率為依據(jù)來進(jìn)行決策，就必須意識(shí)到正在冒著得不到預(yù)期收益率的風(fēng)險(xiǎn)。風(fēng)險(xiǎn)的大小可由未來可能收益率與預(yù)期收益率的偏離程度來反映。在投資學(xué)中，這種偏離程度用收益率(隨機(jī)變量)的方差或標(biāo)準(zhǔn)差加以度量。
    σ2(r)=∑(ri—Er)2XPi
    式中，σ2(r)稱為收益率r的方差，。(r)則稱為r的標(biāo)準(zhǔn)差。
    3．樣本平均值和樣本方差
     用歷史數(shù)據(jù)估計(jì)期望收益率和方差。
     計(jì)算樣本期望和方差之前，應(yīng)該得到用一系列數(shù)字表示的樣本。假設(shè)投資者記錄了時(shí)間區(qū)間從時(shí)刻t=1到時(shí)刻t=n的實(shí)際收益率rt(t=1，2，…，n)，這就是由收益率的時(shí)間序列所構(gòu)成的一段樣本，則樣本均值和樣本方差為：
    4．系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)與非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)。
     系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)是與市場(chǎng)的整體運(yùn)動(dòng)相關(guān)聯(lián)的。通常表現(xiàn)為某個(gè)領(lǐng)域、某個(gè)金融市場(chǎng)或某個(gè)行業(yè)部門的整體變化。這類風(fēng)險(xiǎn)因其來源于宏觀因素變化對(duì)市場(chǎng)整體的影響，因而亦稱之為“宏觀風(fēng)險(xiǎn)”。
    非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)，則基本上只針對(duì)某個(gè)具體的證券或板塊，而與其他證券無關(guān)。種風(fēng)險(xiǎn)來自于企業(yè)內(nèi)部的微觀因素，因而亦稱之為“微觀風(fēng)險(xiǎn)”。
     對(duì)于非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)，可采用分散投資來弱化甚至消除。但是，分散投資不能改善系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)。在高度分散化的前提下，可以消除非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)，但與此同時(shí)，系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)趨于正常的平均水平——即市場(chǎng)整體水平。
     降低系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)有兩種方法。一種是將風(fēng)險(xiǎn)證券與無風(fēng)險(xiǎn)證券進(jìn)行投資組合。如果增加無風(fēng)險(xiǎn)證券的投資比例，系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)將降低。另一種辦法是實(shí)際證券組合管理常用的方法——套期保值。
    從收益與風(fēng)險(xiǎn)關(guān)系采看，系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)可以帶采收益的補(bǔ)償，而非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)則得不到收益補(bǔ)償。因而人們常常義無反顧地要求降低非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)。對(duì)于系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)，人們則需根據(jù)自己的風(fēng)險(xiǎn)承受能力決定承擔(dān)多大的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)以期獲得相應(yīng)的收益獎(jiǎng)勵(lì)，因而人們并不普遍采取措施來完全消除系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)，而是通過投資選擇使系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)處于自己認(rèn)為最滿意的位置。
    （二)證券組合的收益和方差
    1．由兩個(gè)證券組成的組合的數(shù)學(xué)表示。
    假設(shè)有兩種證券A和證券B，某個(gè)投資者將一筆資金以xA的比例投資于證券A，以xB的比例投資于證券B，且xA+xB=1，稱該投資者擁有一個(gè)證券組合P：(xA，xB)，xA，xB分別稱為證券組合P中證券A的權(quán)數(shù)和證券B的權(quán)數(shù)。如果到期時(shí)，證券A的收益率為ra，證券B的收益率為rB，則證券組合P的收益率顯然為：
    rP=XAX rA+XB X rB
     證券組合中的權(quán)數(shù)可以為負(fù)，比如xA<0，則表示該組合投資者賣空了證券A，并將所得的資金連同自有資金買人證券B，因?yàn)閤A+xB=1，故有XB==1—XA>1。
    投資者在進(jìn)行投資決策時(shí)并不知道rA和rB的確切值，因而此時(shí)的rA和rB應(yīng)該是隨機(jī)變量，對(duì)其分布的簡(jiǎn)化描述是它們的期望值和方差。
    2．兩種證券組成的組合的期望收益率和風(fēng)險(xiǎn)計(jì)算方法。
     為了得到投資組合P的期望收益率和收益的方差，除了要知道A和B兩種證券各自的期望收益率和方差外，還必須知道它們的收益率之間的關(guān)聯(lián)性——相關(guān)系數(shù)或協(xié)方差。在此基礎(chǔ)上，才可以計(jì)算出組合P的期望和方差。具體的計(jì)算公式如下：
    E(rp) =XA*E(rA) +xB*E(rB)
    從上面的計(jì)算公式中看出，如果選擇不同的組合權(quán)數(shù)，就可以得到證券A與證券B的不同的證券組合，從而得到不同的期望收益率和方差。因?yàn)閤A和xB有無限種取值的方式，所以，投資者有無限多種證券組合可供選擇。正是因如此，每個(gè)投資者可以根據(jù)自己對(duì)收益和方差(風(fēng)險(xiǎn))的偏好，選擇符合自己要求的證券組合。
    3．由多個(gè)證券組成的組合的期望和風(fēng)險(xiǎn)的計(jì)算。
    設(shè)有n種證券，記作A1，A2，…，An，證券組合·P=(x1，x2，…，xn)表不資金分別以權(quán)數(shù)xl，x2，…，xn，投資到證券A1，A2，…， An。如果允許賣空，則權(quán)數(shù)可以為負(fù)，負(fù)的權(quán)數(shù)表示賣空相應(yīng)證券占，總資金的比例。假設(shè)證券Ai的期望收益率為
    Erj(i=1，2，…，n)，則，簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)推導(dǎo)可得證券組合P的期望收益率和方差，分別可通過下式計(jì)算：
    式中，為證券Aj的收益率rj的方差，ρii為ri與rj的相關(guān)系數(shù)(i，j=1，2，…，n)。計(jì)算，需估計(jì)n個(gè)方差和n(n—1)／2個(gè)協(xié)方差，當(dāng)n非常大時(shí)，計(jì)算量十分巨大。
    (三)證券組合的可行域和有效邊界
    1．證券組合的可行域。
    如果選定了每個(gè)證券的投資比例，就確定了一個(gè)證券組合，進(jìn)而可以計(jì)算這個(gè)組合的期望收益率和標(biāo)準(zhǔn)差。從幾何的觀點(diǎn)看，以期望收益率為縱座標(biāo)、標(biāo)準(zhǔn)差為橫坐標(biāo)，那么，就可在Ep~op坐標(biāo)系中確定一個(gè)點(diǎn)。因此，每個(gè)證券組合都對(duì)應(yīng)于Ep~σp中的一個(gè)點(diǎn)。反過來，Ep~σp中的某個(gè)點(diǎn)有可能反映一個(gè)特定的證券組合。
     如果投資者選擇了全部的可以選擇的投資比例，那么，每個(gè)證券組合在Ep~σp中的點(diǎn)將組成一個(gè)Ep---σp中的區(qū)域。這個(gè)區(qū)域就是可行域(feasible set)?？尚杏蛑械狞c(diǎn)所對(duì)應(yīng)的組合才是“有可能實(shí)現(xiàn)”的證券組合?？尚杏蛑獾狞c(diǎn)是不可能實(shí)現(xiàn)的證券組合。
     下面的圖形歸納了可行域的幾種典型示例。其中封閉區(qū)域的是不允許賣空情況下的可行域，有開口而不封閉的是允許賣空情況下的可行域。可行域左上邊緣部分必然向外凸或呈線性，即，不會(huì)出現(xiàn)凹陷。
    略
    2．證券組合的有效邊界。
    投資者在證券組合的選擇上遵循下述規(guī)則：①如果兩種證券組合具有相同的收益率標(biāo)準(zhǔn)差，和不同的期望收益率，那么投資者選擇期望收益率高的一種組合；②如果兩種證券組合具有相同的期望收益率和不同的收益率標(biāo)準(zhǔn)差，那么他就選擇標(biāo)準(zhǔn)差較小的那種組合；③如果一種證券組合比另一種證券組合具有較小的標(biāo)準(zhǔn)差和較高的期望收益率，則他選擇前一種組合。這種選擇規(guī)則，我們稱之為投資者的共同偏好規(guī)則。
     圖中任何一個(gè)點(diǎn)都一定比這一點(diǎn)“西北方(左上方)”或“正北方”的點(diǎn)“壞”。同時(shí)，一定比這一點(diǎn)“東南方(右下方)”或“正東方”的點(diǎn)“好”。
    從幾何圖形的觀點(diǎn)看，所有的有效組合在可行域的圖形中，組成了可行域的左上方的邊界，我們稱之為有效邊界。對(duì)于可行域內(nèi)部及下邊緣上的任意可行組合，均可以在有效邊界上找到一個(gè)有效組合比它好。但有效邊界上的不同組合，比如B和C，按共同偏好規(guī)則，則不能區(qū)分好壞。因而有效組合相當(dāng)于有可能被某位投資者選作組合的候選組合，不同投資者可以在有效邊界上獲得任何位置。
     由于可行域的形狀所限，有效邊界一定是向外凸的(不會(huì)有凹陷)，但允許有線性部分。圖中粗線部分為幾種有效邊界。
    略
    (四)證券組合
    1．投資者的個(gè)人偏好與無差異曲線。按照投資者共同偏好規(guī)則，有些證券組合之間是不能區(qū)分好壞的：
    E(rA)
     證券組合B雖然比組合A承擔(dān)著大的風(fēng)險(xiǎn)，但它卻同時(shí)帶來更高的期望收益率，這種期望收益率的增量可認(rèn)為是對(duì)增加的風(fēng)險(xiǎn)的補(bǔ)償。
    某投資者認(rèn)為經(jīng)過A的那一條曲線上的證券組合對(duì)他的滿意程度相同(無差異)，那么，我們稱這條曲線為該投資者的一條無差異曲線(或稱等效曲線)。有了這條無差異曲線，任何證券組合均可與證券A進(jìn)行比較。比如，按該投資者的偏好，組合B與A無差異(等效)；C比A好，因?yàn)镃在過A的無差異曲線的左上方，所以，實(shí)際_kc比該無差異曲線上的任何組合都好；相反，D則比A壞，因?yàn)樗湓谠摕o差異曲線的右下方。
    略
     同樣，也有一系列證券組合與C等效，從而形成過C的一條無差異曲線，類似地，過D也有一條無差異曲線。事實(shí)上，任何一個(gè)證券組合都將落在某一條無差異曲線上。
     無差異曲線應(yīng)該具有下面幾個(gè)性質(zhì)：
    第一，無差異曲線的波動(dòng)方向一定是從左下方向右上方的過程。
    第二，隨著無差異曲線向右移動(dòng)，曲線將變得越來越陡，而不是越來越平緩。隨著所增加的風(fēng)險(xiǎn)將增大，而為了補(bǔ)償增加風(fēng)險(xiǎn)，所需要額外增加的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)將更加大。
    第三，無差異曲線的形狀(彎曲程度)因人而異，它反映了該投資者的偏好態(tài)度。
    第四，無差異曲線族中的曲線互不相交。
    2．證券組合的選擇。
    投資者要在有效組合中確定自己的證券組合點(diǎn)，需要首先確定自己的無差異曲線。因?yàn)闊o差異曲線與有效邊界的“彎曲方向”不同，有效邊界與無差異曲線族中的一條曲線應(yīng)該只能有一個(gè)交點(diǎn)，否則，就不是。換句話說，有效邊界中的每個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一條無差異曲線。這樣，對(duì)應(yīng)于位置的無差異曲線的那個(gè)有效組合便是該投資者所認(rèn)為的證券組合。這里所說的位置，是指處在“最西北”的位置。
    這個(gè)證券組合顯然就是無差異曲線族與有效邊界的切點(diǎn)所代表的組合。