4、非歐幾何
非歐幾何有三種不同的含義：狹義的，單指羅氏(羅巴切夫斯基)幾何；廣義的，泛指一切和歐氏(歐幾里得)幾何不同的幾何；通常意義的，指羅氏幾何和黎曼幾何。
歐幾里得的第5公設(shè)(平行公設(shè))在數(shù)學(xué)占有特殊的地位，它與前4條公設(shè)相比，性質(zhì)顯得太復(fù)雜了。它在《原本》中第一次應(yīng)用是在證明第29個(gè)定理時(shí)，而且此后似乎總是盡量避免使用它。因此人們懷疑第五公設(shè)的公理地位，并探索用其它公理來(lái)證明它，以使它變?yōu)橐粭l定理。在三千多年的時(shí)間中，進(jìn)行這種探索并有案可查的就達(dá)兩千人以上，其中包括許多知名的數(shù)學(xué)家，但他們都失敗了。
羅巴契夫斯基于1826年，鮑耶于1832年發(fā)表了劃時(shí)代的研究結(jié)果，開(kāi)創(chuàng)了非歐幾何。在這種幾何中，他們假設(shè)“過(guò)不在已知直線上的一點(diǎn)，可以引至少兩條直線平行于已知直線”，用以代替第五公設(shè)，同時(shí)保留了歐氏幾何的其它公設(shè)。
1854年，黎曼推出了另一種非歐幾何。在這種幾何中，他假設(shè)“過(guò)已知直線外一點(diǎn)，沒(méi)有和已知直線平行的直線可引”，用以代替第5公設(shè)，同時(shí)保留了歐氏幾何的其它公設(shè)。1871年，克萊因把這3種幾何：羅巴契夫斯基—鮑耶的、歐幾里得的和黎曼的分別定名為雙曲幾何、拋物幾何和橢圓幾何。
非歐幾何的發(fā)現(xiàn)不僅最終解決了平行公設(shè)的問(wèn)題——平行公設(shè)被證明是獨(dú)立于歐氏幾何的其它公設(shè)的，而且把幾何學(xué)從其傳統(tǒng)模型中解放出來(lái)，創(chuàng)造了許多不同體系的幾何的道路被打開(kāi)了。
1854年，黎曼發(fā)表了“關(guān)于作為幾何學(xué)基礎(chǔ)的假設(shè)的講演”。他指出：每種不同的(兩個(gè)無(wú)限靠近的點(diǎn)的)距離公式?jīng)Q定了最終產(chǎn)生的空間和幾何的性質(zhì)。1872年，克萊因建立了各種幾何系統(tǒng)按照不同變換群不變量的分類方法。
19世紀(jì)以后，幾何空間概念發(fā)展的另一方向，是按照所研究流形的微分幾何原則的分類，每一種幾何都對(duì)應(yīng)著一種定理系統(tǒng)。1899年，希爾伯特發(fā)表了《幾何基礎(chǔ)》一書(shū)，提出了完備的幾何公理體系，建立了歐氏幾何的嚴(yán)密的基礎(chǔ)，并給出了證明一個(gè)公理體系的相容性(無(wú)矛盾性)、獨(dú)立性和完備性的普遍原則。按照他的觀點(diǎn)，不同的幾何空間乃是從屬于不同幾何公理要求的元素集合。歐氏幾何和非歐幾何，在大量的幾何系統(tǒng)中，只不過(guò)是極其特殊的情形罷了。
5、拓?fù)鋵W(xué)
1736年，歐拉發(fā)表論文，討論哥尼斯堡七橋問(wèn)題。他還提出球面三角形剖分圖形頂點(diǎn)、邊、面之間關(guān)系的歐拉公式，這可以說(shuō)是拓?fù)鋵W(xué)的開(kāi)端。
龐加萊于1895～1904年建立了拓?fù)鋵W(xué)，采用代數(shù)組合的方法研究拓?fù)湫再|(zhì)。他把歐拉公式推廣為歐拉—龐加萊公式，與此有關(guān)的理論現(xiàn)在稱為同調(diào)理論和同倫理論。以后的拓?fù)鋵W(xué)主要按照龐加萊的設(shè)想發(fā)展。
拓?fù)鋵W(xué)開(kāi)始是幾何學(xué)的一個(gè)分支，在二十世紀(jì)它得到了極大的推廣。1906年，弗雷歇發(fā)表博士論文，把函數(shù)作為一個(gè)“點(diǎn)”來(lái)看，把函數(shù)收斂描繪成點(diǎn)的收斂，這就把康托的點(diǎn)集論和分析學(xué)的抽象化聯(lián)系起來(lái)了。他在函數(shù)所構(gòu)成的集合中引入距離的概念，構(gòu)成距離空間，展開(kāi)了線性距離空間的理論。在這個(gè)基礎(chǔ)上，產(chǎn)生了點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)。在豪斯道夫的《點(diǎn)集論綱要》一書(shū)中，出現(xiàn)了更一般的點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)的完整想法。第二次世界大戰(zhàn)后，把分析引進(jìn)拓?fù)?，發(fā)展了微分拓?fù)洹?BR> 現(xiàn)在的拓?fù)鋵W(xué)可以粗略地定義為對(duì)于連續(xù)性的數(shù)學(xué)研究。任何事物的集合都能在某種意義上構(gòu)成拓?fù)淇臻g，拓?fù)鋵W(xué)的概念和理論已基本完組成為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論之一，滲入到各個(gè)分支，并且成功地應(yīng)用于電磁學(xué)和物理學(xué)的研究。
非歐幾何有三種不同的含義：狹義的，單指羅氏(羅巴切夫斯基)幾何；廣義的，泛指一切和歐氏(歐幾里得)幾何不同的幾何；通常意義的，指羅氏幾何和黎曼幾何。
歐幾里得的第5公設(shè)(平行公設(shè))在數(shù)學(xué)占有特殊的地位，它與前4條公設(shè)相比，性質(zhì)顯得太復(fù)雜了。它在《原本》中第一次應(yīng)用是在證明第29個(gè)定理時(shí)，而且此后似乎總是盡量避免使用它。因此人們懷疑第五公設(shè)的公理地位，并探索用其它公理來(lái)證明它，以使它變?yōu)橐粭l定理。在三千多年的時(shí)間中，進(jìn)行這種探索并有案可查的就達(dá)兩千人以上，其中包括許多知名的數(shù)學(xué)家，但他們都失敗了。
羅巴契夫斯基于1826年，鮑耶于1832年發(fā)表了劃時(shí)代的研究結(jié)果，開(kāi)創(chuàng)了非歐幾何。在這種幾何中，他們假設(shè)“過(guò)不在已知直線上的一點(diǎn)，可以引至少兩條直線平行于已知直線”，用以代替第五公設(shè)，同時(shí)保留了歐氏幾何的其它公設(shè)。
1854年，黎曼推出了另一種非歐幾何。在這種幾何中，他假設(shè)“過(guò)已知直線外一點(diǎn)，沒(méi)有和已知直線平行的直線可引”，用以代替第5公設(shè)，同時(shí)保留了歐氏幾何的其它公設(shè)。1871年，克萊因把這3種幾何：羅巴契夫斯基—鮑耶的、歐幾里得的和黎曼的分別定名為雙曲幾何、拋物幾何和橢圓幾何。
非歐幾何的發(fā)現(xiàn)不僅最終解決了平行公設(shè)的問(wèn)題——平行公設(shè)被證明是獨(dú)立于歐氏幾何的其它公設(shè)的，而且把幾何學(xué)從其傳統(tǒng)模型中解放出來(lái)，創(chuàng)造了許多不同體系的幾何的道路被打開(kāi)了。
1854年，黎曼發(fā)表了“關(guān)于作為幾何學(xué)基礎(chǔ)的假設(shè)的講演”。他指出：每種不同的(兩個(gè)無(wú)限靠近的點(diǎn)的)距離公式?jīng)Q定了最終產(chǎn)生的空間和幾何的性質(zhì)。1872年，克萊因建立了各種幾何系統(tǒng)按照不同變換群不變量的分類方法。
19世紀(jì)以后，幾何空間概念發(fā)展的另一方向，是按照所研究流形的微分幾何原則的分類，每一種幾何都對(duì)應(yīng)著一種定理系統(tǒng)。1899年，希爾伯特發(fā)表了《幾何基礎(chǔ)》一書(shū)，提出了完備的幾何公理體系，建立了歐氏幾何的嚴(yán)密的基礎(chǔ)，并給出了證明一個(gè)公理體系的相容性(無(wú)矛盾性)、獨(dú)立性和完備性的普遍原則。按照他的觀點(diǎn)，不同的幾何空間乃是從屬于不同幾何公理要求的元素集合。歐氏幾何和非歐幾何，在大量的幾何系統(tǒng)中，只不過(guò)是極其特殊的情形罷了。
5、拓?fù)鋵W(xué)
1736年，歐拉發(fā)表論文，討論哥尼斯堡七橋問(wèn)題。他還提出球面三角形剖分圖形頂點(diǎn)、邊、面之間關(guān)系的歐拉公式，這可以說(shuō)是拓?fù)鋵W(xué)的開(kāi)端。
龐加萊于1895～1904年建立了拓?fù)鋵W(xué)，采用代數(shù)組合的方法研究拓?fù)湫再|(zhì)。他把歐拉公式推廣為歐拉—龐加萊公式，與此有關(guān)的理論現(xiàn)在稱為同調(diào)理論和同倫理論。以后的拓?fù)鋵W(xué)主要按照龐加萊的設(shè)想發(fā)展。
拓?fù)鋵W(xué)開(kāi)始是幾何學(xué)的一個(gè)分支，在二十世紀(jì)它得到了極大的推廣。1906年，弗雷歇發(fā)表博士論文，把函數(shù)作為一個(gè)“點(diǎn)”來(lái)看，把函數(shù)收斂描繪成點(diǎn)的收斂，這就把康托的點(diǎn)集論和分析學(xué)的抽象化聯(lián)系起來(lái)了。他在函數(shù)所構(gòu)成的集合中引入距離的概念，構(gòu)成距離空間，展開(kāi)了線性距離空間的理論。在這個(gè)基礎(chǔ)上，產(chǎn)生了點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)。在豪斯道夫的《點(diǎn)集論綱要》一書(shū)中，出現(xiàn)了更一般的點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)的完整想法。第二次世界大戰(zhàn)后，把分析引進(jìn)拓?fù)?，發(fā)展了微分拓?fù)洹?BR> 現(xiàn)在的拓?fù)鋵W(xué)可以粗略地定義為對(duì)于連續(xù)性的數(shù)學(xué)研究。任何事物的集合都能在某種意義上構(gòu)成拓?fù)淇臻g，拓?fù)鋵W(xué)的概念和理論已基本完組成為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論之一，滲入到各個(gè)分支，并且成功地應(yīng)用于電磁學(xué)和物理學(xué)的研究。