第四節(jié) 參數(shù)估計
    根據(jù)樣本對總體進行推斷是數(shù)理統(tǒng)計的核心，參數(shù)估計與假設檢驗是統(tǒng)計推斷的兩個基本內容。本節(jié)著重討論參數(shù)估計問題。
    這里所說的參數(shù)主要是指如下幾類：
    ①分布中的未知參數(shù)，如二項分布b(n，p)中的p，正態(tài)分布 中的 ， 或 。
    ②分布的均值E(x)、方差Var(x)等未知特征數(shù)。
    ③其他未知參數(shù)，如某事件的概率P(A)等。
    上述未知參數(shù)都需要根據(jù)樣本和參數(shù)的統(tǒng)計含義選擇適宜的統(tǒng)計量并作出估計，這一統(tǒng)計推斷過程通稱為參數(shù)估計。未知參數(shù)通常用 表示。
    參數(shù)估計有兩種基本形式：點估計與區(qū)間估計。
    一、點估計
    (一) 點估計的概念
    設 是總體的一個未知參數(shù)，記與總體對應的隨機變量為X，從中抽取樣本量為n的一個樣本 。根據(jù)這個樣本，構造一個統(tǒng)計量 ，用 來對 進行估計，稱 為 的點估計量。對一個具體的樣本 ，可計算 的一個具體的數(shù)值，稱為 的估計值。在本教材中，除討論統(tǒng)計量的分布及性質外，不嚴格區(qū)分估計量及具體估計值，通稱為估計。
    (二)點估計優(yōu)良性標準
    點估計量 是隨所抽取的樣本不同而不同的，它是一個隨機變量。評價一個估計量 的優(yōu)劣不能從一個具體樣本獲得的估計值來評判，應該從多次使用中來評定。
    對于一個特定的樣本，估計值 與 的真值之間總是有偏差的，但由于 未知，因此偏差 也未知。但是我們可以通過多次抽樣，對不同樣本， 不同的具體估計值，對實際偏差 進行“平均”。當然這種平均不能直接進行，因為 有正有負，直接平均由于正負抵消反而不能反映誤差。與以前對方差處理的方法相仿，用估計偏差的平方 來代替，并對其求均值，于是用 來表示估計量 的優(yōu)劣。這個量稱為 的均方誤差，簡記為MSE( )，均方誤差實際上是平均平方誤差的意思。雖然由于 是未知的，MSE( )也并不是總能求得的。但是經(jīng)過簡單的推導，總有
    MSE( )= 。 (交叉乘積項為零)
    (1.4-1)
    (1.4-1)式中的第一項 = 表示的是 的均值E( )與未知參數(shù) 的差，稱為偏倚;當 =0時，也即：
    E( )= 或 時，稱估計量 是無偏的，否則稱為有偏的。無偏性是表示估計量優(yōu)良性的一個重要標準。只要有可能，應該盡可能選用無偏估計量，或近似無偏估計量。應該注意，使用無偏估計 估計 時，每次使用是有偏差的，只是多次使用時其平均偏差為零。
    (1.4-1)式中的第二項表示的是 對其均值E( )差的平方的均值，它是估計量的方差。對于無偏估計量，當然方差愈小愈好。方差 愈小，稱估計量更有效。有效性是判定估計量優(yōu)良性的另一個標準。