第一講 概率基礎知識
一、考試要求
1. 掌握隨機現(xiàn)象與事件的概念
2. 熟悉事件的運算(對立事件、并、交與差)
3. 掌握概率是事件發(fā)生可能性大小的度量的概念
二、主要考點
事件的運算
三、內(nèi)容講解
一、事件與概率
(一)隨機現(xiàn)象
在一定條件下，并不總是出現(xiàn)相同結(jié)果的現(xiàn)象稱為隨機現(xiàn)象。拋硬幣、擲骰子是兩個最簡單的隨機現(xiàn)象的例子。拋一枚硬幣，可能出現(xiàn)正面，也可能出現(xiàn)反面，至于哪一面出現(xiàn)，事先并不知道。又如擲一顆骰子，可能出現(xiàn)1點到6點中某一個，至于哪一點出現(xiàn)，事先也不知道。從這個定義中可以看出，隨機現(xiàn)象有兩個特點：
(1) 隨機現(xiàn)象的結(jié)果至少有兩個;
(2) 至于哪一個出現(xiàn)，事先并不知道。
只有一個結(jié)果的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象。例如，太陽從東方出，同性電荷相斥，異性電荷相吸，向上拋一石子必然下落等。
例1.1-1 以下是隨機現(xiàn)象的另外一些例子：
(1) 一天內(nèi)進入某超市的顧客數(shù);
(2) 一顧客在超市中購買的商品數(shù);
(3) 一顧客在超市排隊等候付款的時間;
(4) 一棵麥穗上長著的麥粒數(shù);
(5) 新產(chǎn)品在未來市場的占有率;
(6) 一臺電視機從開始使用到發(fā)生第一次故障的時間;
(7) 加工某機械軸的誤差;
(8) 一罐午餐肉的重量。
可見，隨機現(xiàn)象在質(zhì)量管理中隨處可見。
認識一個隨機現(xiàn)象首先要知道它的一切可能發(fā)生的基本結(jié)果。這里的基本結(jié)果稱為樣本點，隨機現(xiàn)象一切可能樣本點的全體稱為這個隨機現(xiàn)象的樣本空間，常記為 。
“拋一枚硬幣”的樣本空間 ={正面、反面};
“拋一顆骰子”的樣本空間 ={1，2，3，4，5，6};
“一顧客在超市中購買商品件數(shù)”的樣本空間 ={0，1，2，…};
“一臺電視機從開始使用到發(fā)生第一次故障的時間”的樣本空間 ={0，1，2，…};
“測量某物理量的誤差 ”的樣本空間 。
(二)隨機事件
隨機現(xiàn)象的某些樣本點組成的集合稱為隨機事件，簡稱事件，常用大寫字母A、B、C等表示。如在擲一顆骰子，“出現(xiàn)奇數(shù)點”是一個事件。他由1點、3點、5點共三個樣本點組成，若記這個事件為A，則有A={1，3，5}。同樣“出現(xiàn)偶數(shù)點”是一個事件。他由2點、4點、6點共三個樣本點組成，若記這個事件為B，則有B={2，4，6}。
1.隨機事件的特征
從隨機事件的定義可見，事件有如下幾個特征：
(1)任一事件A是相應樣本空間中的一個子集。一般我們用維恩(Venn)。
(2)事件A發(fā)生當且僅當A中某一樣本點發(fā)生。
(3)事件A的表示可用集合，也可用語言，但所用語言必須是準確無誤的。
(4)任一樣本空間 都有一個子集，這個子集就是 ，它對應的事件稱為必然事件，仍然用 表示。比如擲一顆骰子，“出現(xiàn)點數(shù)不超過6”就是一個必然事件，因為它含有 ={1,2,3,4,5,6}中所有樣本點。
(5)任一樣本空間 都有一個最小子集，這個最小子集就是空集，它對應的事件稱為不可能事件，記為 。
[例1.1-2] 若產(chǎn)品只區(qū)分合格與不合格，并記合格品為“0”，不合格品為“1”。則檢查兩件產(chǎn)品的樣本空間 由下列四個樣本點組成。
={(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}
其中樣本點(0，1)表示第一件產(chǎn)品為合格品，第二件產(chǎn)品為不合格品，其他樣本點可以類似解釋。下面幾個事件可用集合表示，也可以用語言表示。
A=“至少有一件合格品”={(0，0)，(0，1)，(1，0)};
B=“至少有一件不合格品”={(1，0)，(0，1)，(1，1)};
C=“恰好有一件合格品”={(0，1)，(1，0)};
=“至多有兩件合格品”={(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)};
=“有三件不合格品”。
現(xiàn)在我們來考察“檢查三件產(chǎn)品”這個隨機現(xiàn)象，且合格品仍記為“0”，不合格品記為“1”。它的樣本空間 含有8= 個樣本點。
={(0，0，0)，(0，0，1)，(0，1，0)，(0，1，1)，(1，0，0)，(1，0，1)，(1，1，0)，(1，1，1)}
下面幾個事件可用集合表示，也可以用語言表示。
A=“至少有一件合格品”={ 中剔去(1，1，1)的其余7個樣本點};
B=“至少有一件不合格品”={ 中剔去(0，0，0)的其余7個樣本點};
C=“恰有一件不合格品”={(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)};
D=“恰有兩件不合格品”={(0，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0)};
E=“全是不合格品”={(1，1，1)};
F=“沒有不合格品”={(0，0，0，)}。
2.隨機事件之間的關(guān)系
在一個隨機現(xiàn)象中常會遇到許多事件，它們之間有下列三種關(guān)系。
(1)包含：在一個隨機現(xiàn)象中有兩個事件A與B，若事件A中任一個樣本點必在事件B中，則稱事件A被包含在事件B中，或事件B包含事件A。
特別對任一事件A有 。
(2)互不相容：在一個隨機現(xiàn)象中有兩個事件A與B，若事件A與B沒有相同的樣本點，則稱事件A與B互不相容。這時事件A與B不可能同時發(fā)生。
(3)相等：在一個隨機現(xiàn)象中有兩個事件A與B，若事件A與 B含有相同的樣本點，則稱事件A與B相等，記為A=B。若 ，則A=B;反之，如果A=B，則 。
(三)事件的運算
1.事件的運算的分類
事件的運算有下列四種。
(1)對立事件：在一個隨機現(xiàn)象中， 是樣本空間，A為事件，由屬于 而不屬于A中的樣本點組成的事件稱為A的對立事件，記為 。特別地，必然事件 與不可能事件 互為對立事件。
(2)事件的并：由事件A與B中所有的樣本點(相同的只計入一次)組成的新事件稱為A與B并，記為 。并事件 發(fā)生意味著“事件A與B中至少有一個發(fā)生”。
顯然有：①略
② 略
③若 ，則 。特別地。
(3)事件的交：由事件A與B中公共的樣本點組成的新事件稱為事件A與B的交，記為 或AB。交事件 發(fā)生意味著“事件A與B同時發(fā)生”。
顯然有：⑴略;
⑵若 ，特別地 ;
⑶若 。
注：事件的交和并可推廣到更多個事件的情形。
(4)事件的差：由屬于事件A而不屬于事件B的樣本點組成的新事件稱為A對B的差，記為A-B，表示事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生的事件。顯然，B-A，表示B對A的差，一般 。
顯然有：①不要求 ，才有 ，若 ;
②若 ;
③略;
④ (證明： )
2.事件的運算性質(zhì)
事件的運算具有如下性質(zhì)：
(1)交換律：略
(2)結(jié)合律：略
(3)分配律：略
(4)對偶律：略
以上性質(zhì)都可用維恩圖加以驗證，這些性質(zhì)都可推廣到更多個事件運算上去。
[例1.1-3] 設A、B、C為任意三個事件，試用A、B、C的運算關(guān)系表示下列各事件：
①三個事件中至少一個發(fā)生 ②沒有一個事件發(fā)生 (由對偶律)
③恰有一個事件發(fā)生 ④至多有兩個事件發(fā)生(考慮其對立事件)
⑤至少有兩個事件發(fā)生
(四)概率
所謂概率，就是事件發(fā)生可能性大小的度量。
雖然隨機事件的發(fā)生與否是帶有偶然性的，但是隨機事件發(fā)生的可能性大小還是有大小之別的，是可以度量的。實際上，在生活、生產(chǎn)和經(jīng)濟活動中，人們也常關(guān)心一個隨機事件發(fā)生的可能性大小。例如：
(1)拋一枚均勻的硬幣，出現(xiàn)正面與出現(xiàn)反面的可能性各為1/2。
(2)某廠試制成功一種新止痛片，在未來市場的占有率可能有多高呢?
(3)購買彩券的中獎機會有多少呢?
上述問題中的正面出現(xiàn)的機會、市場占有率、中簽率以及常見的不合格品率、命中率等都是用來度量隨機事件發(fā)生的可能性大小。一個隨機事件A發(fā)生的可能性的大小稱為這個事件的概率，并用P(A)表示。顯然，概率是一個介于0到1之間的數(shù)，因為可能性都是介于0%到100%之間的。概率愈大，事件發(fā)生的可能性就愈大;概率愈小，事件發(fā)生的可能性就愈小。
特別地，不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1。
一、考試要求
1. 掌握隨機現(xiàn)象與事件的概念
2. 熟悉事件的運算(對立事件、并、交與差)
3. 掌握概率是事件發(fā)生可能性大小的度量的概念
二、主要考點
事件的運算
三、內(nèi)容講解
一、事件與概率
(一)隨機現(xiàn)象
在一定條件下，并不總是出現(xiàn)相同結(jié)果的現(xiàn)象稱為隨機現(xiàn)象。拋硬幣、擲骰子是兩個最簡單的隨機現(xiàn)象的例子。拋一枚硬幣，可能出現(xiàn)正面，也可能出現(xiàn)反面，至于哪一面出現(xiàn)，事先并不知道。又如擲一顆骰子，可能出現(xiàn)1點到6點中某一個，至于哪一點出現(xiàn)，事先也不知道。從這個定義中可以看出，隨機現(xiàn)象有兩個特點：
(1) 隨機現(xiàn)象的結(jié)果至少有兩個;
(2) 至于哪一個出現(xiàn)，事先并不知道。
只有一個結(jié)果的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象。例如，太陽從東方出，同性電荷相斥，異性電荷相吸，向上拋一石子必然下落等。
例1.1-1 以下是隨機現(xiàn)象的另外一些例子：
(1) 一天內(nèi)進入某超市的顧客數(shù);
(2) 一顧客在超市中購買的商品數(shù);
(3) 一顧客在超市排隊等候付款的時間;
(4) 一棵麥穗上長著的麥粒數(shù);
(5) 新產(chǎn)品在未來市場的占有率;
(6) 一臺電視機從開始使用到發(fā)生第一次故障的時間;
(7) 加工某機械軸的誤差;
(8) 一罐午餐肉的重量。
可見，隨機現(xiàn)象在質(zhì)量管理中隨處可見。
認識一個隨機現(xiàn)象首先要知道它的一切可能發(fā)生的基本結(jié)果。這里的基本結(jié)果稱為樣本點，隨機現(xiàn)象一切可能樣本點的全體稱為這個隨機現(xiàn)象的樣本空間，常記為 。
“拋一枚硬幣”的樣本空間 ={正面、反面};
“拋一顆骰子”的樣本空間 ={1，2，3，4，5，6};
“一顧客在超市中購買商品件數(shù)”的樣本空間 ={0，1，2，…};
“一臺電視機從開始使用到發(fā)生第一次故障的時間”的樣本空間 ={0，1，2，…};
“測量某物理量的誤差 ”的樣本空間 。
(二)隨機事件
隨機現(xiàn)象的某些樣本點組成的集合稱為隨機事件，簡稱事件，常用大寫字母A、B、C等表示。如在擲一顆骰子，“出現(xiàn)奇數(shù)點”是一個事件。他由1點、3點、5點共三個樣本點組成，若記這個事件為A，則有A={1，3，5}。同樣“出現(xiàn)偶數(shù)點”是一個事件。他由2點、4點、6點共三個樣本點組成，若記這個事件為B，則有B={2，4，6}。
1.隨機事件的特征
從隨機事件的定義可見，事件有如下幾個特征：
(1)任一事件A是相應樣本空間中的一個子集。一般我們用維恩(Venn)。
(2)事件A發(fā)生當且僅當A中某一樣本點發(fā)生。
(3)事件A的表示可用集合，也可用語言，但所用語言必須是準確無誤的。
(4)任一樣本空間 都有一個子集，這個子集就是 ，它對應的事件稱為必然事件，仍然用 表示。比如擲一顆骰子，“出現(xiàn)點數(shù)不超過6”就是一個必然事件，因為它含有 ={1,2,3,4,5,6}中所有樣本點。
(5)任一樣本空間 都有一個最小子集，這個最小子集就是空集，它對應的事件稱為不可能事件，記為 。
[例1.1-2] 若產(chǎn)品只區(qū)分合格與不合格，并記合格品為“0”，不合格品為“1”。則檢查兩件產(chǎn)品的樣本空間 由下列四個樣本點組成。
={(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}
其中樣本點(0，1)表示第一件產(chǎn)品為合格品，第二件產(chǎn)品為不合格品，其他樣本點可以類似解釋。下面幾個事件可用集合表示，也可以用語言表示。
A=“至少有一件合格品”={(0，0)，(0，1)，(1，0)};
B=“至少有一件不合格品”={(1，0)，(0，1)，(1，1)};
C=“恰好有一件合格品”={(0，1)，(1，0)};
=“至多有兩件合格品”={(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)};
=“有三件不合格品”。
現(xiàn)在我們來考察“檢查三件產(chǎn)品”這個隨機現(xiàn)象，且合格品仍記為“0”，不合格品記為“1”。它的樣本空間 含有8= 個樣本點。
={(0，0，0)，(0，0，1)，(0，1，0)，(0，1，1)，(1，0，0)，(1，0，1)，(1，1，0)，(1，1，1)}
下面幾個事件可用集合表示，也可以用語言表示。
A=“至少有一件合格品”={ 中剔去(1，1，1)的其余7個樣本點};
B=“至少有一件不合格品”={ 中剔去(0，0，0)的其余7個樣本點};
C=“恰有一件不合格品”={(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)};
D=“恰有兩件不合格品”={(0，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0)};
E=“全是不合格品”={(1，1，1)};
F=“沒有不合格品”={(0，0，0，)}。
2.隨機事件之間的關(guān)系
在一個隨機現(xiàn)象中常會遇到許多事件，它們之間有下列三種關(guān)系。
(1)包含：在一個隨機現(xiàn)象中有兩個事件A與B，若事件A中任一個樣本點必在事件B中，則稱事件A被包含在事件B中，或事件B包含事件A。
特別對任一事件A有 。
(2)互不相容：在一個隨機現(xiàn)象中有兩個事件A與B，若事件A與B沒有相同的樣本點，則稱事件A與B互不相容。這時事件A與B不可能同時發(fā)生。
(3)相等：在一個隨機現(xiàn)象中有兩個事件A與B，若事件A與 B含有相同的樣本點，則稱事件A與B相等，記為A=B。若 ，則A=B;反之，如果A=B，則 。
(三)事件的運算
1.事件的運算的分類
事件的運算有下列四種。
(1)對立事件：在一個隨機現(xiàn)象中， 是樣本空間，A為事件，由屬于 而不屬于A中的樣本點組成的事件稱為A的對立事件，記為 。特別地，必然事件 與不可能事件 互為對立事件。
(2)事件的并：由事件A與B中所有的樣本點(相同的只計入一次)組成的新事件稱為A與B并，記為 。并事件 發(fā)生意味著“事件A與B中至少有一個發(fā)生”。
顯然有：①略
② 略
③若 ，則 。特別地。
(3)事件的交：由事件A與B中公共的樣本點組成的新事件稱為事件A與B的交，記為 或AB。交事件 發(fā)生意味著“事件A與B同時發(fā)生”。
顯然有：⑴略;
⑵若 ，特別地 ;
⑶若 。
注：事件的交和并可推廣到更多個事件的情形。
(4)事件的差：由屬于事件A而不屬于事件B的樣本點組成的新事件稱為A對B的差，記為A-B，表示事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生的事件。顯然，B-A，表示B對A的差，一般 。
顯然有：①不要求 ，才有 ，若 ;
②若 ;
③略;
④ (證明： )
2.事件的運算性質(zhì)
事件的運算具有如下性質(zhì)：
(1)交換律：略
(2)結(jié)合律：略
(3)分配律：略
(4)對偶律：略
以上性質(zhì)都可用維恩圖加以驗證，這些性質(zhì)都可推廣到更多個事件運算上去。
[例1.1-3] 設A、B、C為任意三個事件，試用A、B、C的運算關(guān)系表示下列各事件：
①三個事件中至少一個發(fā)生 ②沒有一個事件發(fā)生 (由對偶律)
③恰有一個事件發(fā)生 ④至多有兩個事件發(fā)生(考慮其對立事件)
⑤至少有兩個事件發(fā)生
(四)概率
所謂概率，就是事件發(fā)生可能性大小的度量。
雖然隨機事件的發(fā)生與否是帶有偶然性的，但是隨機事件發(fā)生的可能性大小還是有大小之別的，是可以度量的。實際上，在生活、生產(chǎn)和經(jīng)濟活動中，人們也常關(guān)心一個隨機事件發(fā)生的可能性大小。例如：
(1)拋一枚均勻的硬幣，出現(xiàn)正面與出現(xiàn)反面的可能性各為1/2。
(2)某廠試制成功一種新止痛片，在未來市場的占有率可能有多高呢?
(3)購買彩券的中獎機會有多少呢?
上述問題中的正面出現(xiàn)的機會、市場占有率、中簽率以及常見的不合格品率、命中率等都是用來度量隨機事件發(fā)生的可能性大小。一個隨機事件A發(fā)生的可能性的大小稱為這個事件的概率，并用P(A)表示。顯然，概率是一個介于0到1之間的數(shù)，因為可能性都是介于0%到100%之間的。概率愈大，事件發(fā)生的可能性就愈大;概率愈小，事件發(fā)生的可能性就愈小。
特別地，不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1。