均值不等式是數(shù)學(xué)中的一個重要公式。也是十分常見的一個考點。下面是由出國留學(xué)網(wǎng)編輯為大家整理的“均值不等式的推導(dǎo)過程有哪些”，僅供參考，歡迎大家閱讀本文。
    公式內(nèi)容為Hn≤Gn≤An≤Qn，即調(diào)和平均數(shù)不超過幾何平均數(shù)，幾何平均數(shù)不超過算術(shù)平均數(shù)，算術(shù)平均數(shù)不超過平方平均數(shù)。
    1、調(diào)和平均數(shù)：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)
    2、幾何平均數(shù)：Gn=(a1a2...an)^(1/n)
    3、算術(shù)平均數(shù)：An=(a1+a2+...+an)/n
    4、平方平均數(shù)：Qn=√ (a1^2+a2^2+...+an^2)/n
    這四種平均數(shù)滿足Hn≤Gn≤An≤Qn 的式子即為均值不等式。
    推導(dǎo)過程
    關(guān)于均值不等式的證明方法有很多，數(shù)學(xué)歸納法(第一數(shù)學(xué)歸納法或反向歸納法)、拉格朗日乘數(shù)法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以證明均值不等式，在這里簡要介紹數(shù)學(xué)歸納法的證明方法：
    (注：在此證明的，是對n維形式的均值不等式的證明方法。)
    用數(shù)學(xué)歸納法證明，需要一個輔助結(jié)論。
    
    引理：設(shè)A≥0，B≥0，則，且僅當B=0時取等號。
    注：引理的正確性較明顯，條件A≥0，B≥0可以弱化為A≥0，A+B≥0，有興趣的同學(xué)可以想想如何證明(用數(shù)學(xué)歸納法)(或用二項展開公式更為簡便)。
    原題等價于：
    
    當且僅當時取等號。
    當n=2時易證;
    假設(shè)當n=k時命題成立，即 , 當且僅當時取等號。那么當n=k+1時，不妨設(shè)是中最大者，則
    
    設(shè)
    
    根據(jù)引理
    
    當且僅當且時，即時取等號。
    利用琴生不等式法也可以很簡單地證明均值不等式，同時還有柯西歸納法等等方法。