高中數(shù)學(xué)必修2《直線的傾斜角和斜率》教案
【教學(xué)目標(biāo)】
(1) 知識目標(biāo)
① 讓學(xué)生經(jīng)歷傾斜角這個反映傾斜程度的幾何量的形成過程，能自然理解傾斜角的概念。
② 通過對坡角、坡度概念回顧，經(jīng)過教學(xué)使學(xué)生能把此知識遷移到直線的斜率中，并理解斜率的定義。
③ 經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，使學(xué)生初步掌握過已知兩點的直線的斜率坐標(biāo)公式。
(2)能力目標(biāo)
① 通過直線的傾斜角概念學(xué)習(xí)和直線傾斜角與斜率關(guān)系的揭示，培養(yǎng)學(xué)生觀察、探索、和抽象概括能力，運用數(shù)學(xué)語言的表達(dá)能力，數(shù)學(xué)交流與評價能力。
② 通過斜率概念的建立和斜率公式的推導(dǎo)，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)形結(jié)合思想，滲透辯證唯物主義思想，滲透幾何問題代數(shù)化的解析幾何研究思想。
(3)情感目標(biāo)：
① 通過自主探究與合作交流的教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)置，激發(fā)學(xué)生
的學(xué)習(xí)熱情和求知欲，充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位。
② 通過數(shù)形結(jié)合的思想和方法的應(yīng)用，讓學(xué)生感受和體會數(shù) 學(xué)的魅力，使學(xué)生初步形成做數(shù)學(xué)的意識和科學(xué)精神。
【教學(xué)重點】
①直線傾斜角與斜率概念;
②推導(dǎo)并掌握過兩點的直線斜率公式;
③體會數(shù)形結(jié)合及分類討論思想的作用。
【教學(xué)難點】
斜率概念的學(xué)習(xí)和過兩點斜率公式的建立過程。
【教學(xué)方法】教師啟發(fā)引導(dǎo)與學(xué)生自主探索相結(jié)合。
【教學(xué)手段】多媒體輔助課堂教學(xué)。
【教學(xué)過程】
創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課
利用水上樂園的滑梯這情境，向?qū)W生設(shè)問
坐哪個滑梯更刺激，速度更快?為什么?(學(xué)生回答)
滑梯的陡峭與平緩反映滑梯的傾斜程度，這一節(jié)課我們要學(xué)習(xí)反映直線傾斜程度的兩個幾何量——傾斜角與斜率，從而揭示課題。
問題情境，形成概念
問題1、過平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點P、Q可作什么圖形?唯一嗎?只經(jīng)過其中一點(如點P)可作多少條直線?若只想確定其中的一條直線，除了再用一點外，還有其他方法嗎?還需要增加一個什么樣的幾何量?
由此引導(dǎo)學(xué)生歸納，確定直線位置可有兩種方式
(1)已知直線上兩點
(2)已知直線上一點和直線的傾斜程度
問題2、過點P與x軸形成 角的直線有幾條?
(學(xué)生可能答一條或兩條，投影演示結(jié)果)如何區(qū)分這兩條直線呢?(學(xué)生可能想到還需要確定一個角)。
為什么已知直線上一點和直線與x軸所成的角不能唯一確定一條直線?選擇哪個角來描述直線的傾斜程度，就能確定坐標(biāo)系下的一條直線呢?
(引導(dǎo)學(xué)生選取哪個角描述直線的傾斜程度，可分別確定這兩條直線)
經(jīng)歷了這個角的形成過程，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)語言準(zhǔn)確描述這個角(傾斜角的定義)。
師生互動，新課探究
1、傾斜角的定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于一條與x軸相交的直線 ，把 軸(正方向)按逆時針方向繞著交點旋轉(zhuǎn)到和直線 重合所成的角，叫做直線 的傾斜角。
通過動畫演示，幫助學(xué)生理解傾斜角定義。
問題3、在平面直角坐標(biāo)系中過點P的直線，按傾斜角分，可分為幾類?(讓學(xué)生試著畫)
學(xué)生容易忽略與 軸平行的直線，補(bǔ)出圖(4)，問傾斜角在哪兒?
如何規(guī)定?(當(dāng)直線 與 軸平行或重合時，它的傾斜角為0 )數(shù)形結(jié)合，得出傾斜角的范圍是[0 ，180 )
平面直角坐標(biāo)系中一條直線 傾斜角
(傾斜角是從“形”的角度刻畫平面直角坐標(biāo)系內(nèi)直線的傾斜程度)。
回顧舊知，遷移應(yīng)用
(1)對于生活中斜坡，我們是用什么量刻畫它的傾斜程度?
(坡角與坡度)
(2)坡度定義是什么?
(3)坡度隨坡角 變化如何變化?當(dāng)坡角 =90 與0 時坡度又分別是什么?
斜坡 平面直角坐標(biāo)系中的直線
坡角 直線的傾斜角
坡度 直線的斜率。
左圖中傾斜角為銳角，圖中橫坐標(biāo)x從0到1增加一個單位，縱坐標(biāo)y從0增加到k(k>0),我們稱k為這條直線的斜率。 ，右圖中傾斜角為鈍角，在以后學(xué)習(xí)中可知，直線斜率也可用傾斜角的正切值表示。
2、斜率：傾斜角不是90 的直線，其傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率。即
問題4、當(dāng)直線的傾斜角 為鈍角時，如何求它的斜率?
傾斜角 為鈍角的斜率，可轉(zhuǎn)化到其補(bǔ)角 來求
如：傾斜角 ，則斜率
討論交流，加深理解
問題5、當(dāng)傾斜角變化時，斜率k如何變化?(動畫演示)
新知演練 及時反饋
例1、下列哪些說法是正確的( D、F )
A、任一條直線都有傾斜角，也都有斜率
B、直線的傾斜角越大，斜率也越大
C、平行于x軸的直線的傾斜角是0或π
D、直線斜率的范圍是R
E、兩直線的傾斜角相等，它們的斜率也相等
F、兩直線的斜率相等，它們的傾斜角也相等
嘗試推導(dǎo)，深化認(rèn)識
兩點 一條直線 直線傾斜角 直線斜率
問題6、在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線上兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)且x1 x2，怎樣用P1 、P2的坐標(biāo)來表示直線斜率k?
解：設(shè)直線P1 P2傾斜角為 ( 90 ),過點P1作 軸的平行線，過點P2作 軸的平行線，兩線交于點Q，則點Q為(x2，y1)
(1)當(dāng) 為銳角時，
設(shè) x= , y=
=
(2)當(dāng) 為鈍角時， (設(shè) = )，
設(shè) x= , y=
即
(可讓學(xué)生分組推導(dǎo))
綜上，無論 為銳角或鈍角，都有 ，即
思考： 1、當(dāng)直線垂直于x軸或y軸時，上述結(jié)論適用嗎?
2、斜率公式使用時應(yīng)注意什么問題?
新知演練 及時反饋：
例2.求經(jīng)過下列兩點直線的斜率，并判斷傾斜角是銳角還是鈍角。
(1)A(3,2),B(-4,1)
(2)A(3,2),B(4,1)
(3)A(3,2),B(3,-1)
(4)A(3,2),B(-4,2)
小結(jié)全課，概括升華
1、傾斜角和斜率的概念：
(1)兩者都是刻畫直線傾斜程度的兩個量，一個從形方面，一個從數(shù)方面。
(2)傾斜角取值范圍
2.求斜率的方法：k=tanα，
3、數(shù)學(xué)思想方法：分類討論思想，數(shù)形結(jié)合思想。
板書設(shè)計
直線的傾斜角與斜率
1、傾斜角的定義
范圍[0 ，180 )
2、直線的斜率
①定義法
為銳角時： ( )
為鈍角時：
②坐標(biāo)法
布置作業(yè)
高中教學(xué)計劃小編推薦各科教學(xué)設(shè)計：
語文、數(shù)學(xué)、英語、歷史、地理、政治、化學(xué)、物理、生物、美術(shù)、音樂、體育、信息技術(shù)
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【教學(xué)目標(biāo)】
(1) 知識目標(biāo)
① 讓學(xué)生經(jīng)歷傾斜角這個反映傾斜程度的幾何量的形成過程，能自然理解傾斜角的概念。
② 通過對坡角、坡度概念回顧，經(jīng)過教學(xué)使學(xué)生能把此知識遷移到直線的斜率中，并理解斜率的定義。
③ 經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，使學(xué)生初步掌握過已知兩點的直線的斜率坐標(biāo)公式。
(2)能力目標(biāo)
① 通過直線的傾斜角概念學(xué)習(xí)和直線傾斜角與斜率關(guān)系的揭示，培養(yǎng)學(xué)生觀察、探索、和抽象概括能力，運用數(shù)學(xué)語言的表達(dá)能力，數(shù)學(xué)交流與評價能力。
② 通過斜率概念的建立和斜率公式的推導(dǎo)，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)形結(jié)合思想，滲透辯證唯物主義思想，滲透幾何問題代數(shù)化的解析幾何研究思想。
(3)情感目標(biāo)：
① 通過自主探究與合作交流的教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)置，激發(fā)學(xué)生
的學(xué)習(xí)熱情和求知欲，充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位。
② 通過數(shù)形結(jié)合的思想和方法的應(yīng)用，讓學(xué)生感受和體會數(shù) 學(xué)的魅力，使學(xué)生初步形成做數(shù)學(xué)的意識和科學(xué)精神。
【教學(xué)重點】
①直線傾斜角與斜率概念;
②推導(dǎo)并掌握過兩點的直線斜率公式;
③體會數(shù)形結(jié)合及分類討論思想的作用。
【教學(xué)難點】
斜率概念的學(xué)習(xí)和過兩點斜率公式的建立過程。
【教學(xué)方法】教師啟發(fā)引導(dǎo)與學(xué)生自主探索相結(jié)合。
【教學(xué)手段】多媒體輔助課堂教學(xué)。
【教學(xué)過程】
創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課
利用水上樂園的滑梯這情境，向?qū)W生設(shè)問
坐哪個滑梯更刺激，速度更快?為什么?(學(xué)生回答)
滑梯的陡峭與平緩反映滑梯的傾斜程度，這一節(jié)課我們要學(xué)習(xí)反映直線傾斜程度的兩個幾何量——傾斜角與斜率，從而揭示課題。
問題情境，形成概念
問題1、過平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點P、Q可作什么圖形?唯一嗎?只經(jīng)過其中一點(如點P)可作多少條直線?若只想確定其中的一條直線，除了再用一點外，還有其他方法嗎?還需要增加一個什么樣的幾何量?
由此引導(dǎo)學(xué)生歸納，確定直線位置可有兩種方式
(1)已知直線上兩點
(2)已知直線上一點和直線的傾斜程度
問題2、過點P與x軸形成 角的直線有幾條?
(學(xué)生可能答一條或兩條，投影演示結(jié)果)如何區(qū)分這兩條直線呢?(學(xué)生可能想到還需要確定一個角)。
為什么已知直線上一點和直線與x軸所成的角不能唯一確定一條直線?選擇哪個角來描述直線的傾斜程度，就能確定坐標(biāo)系下的一條直線呢?
(引導(dǎo)學(xué)生選取哪個角描述直線的傾斜程度，可分別確定這兩條直線)
經(jīng)歷了這個角的形成過程，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)語言準(zhǔn)確描述這個角(傾斜角的定義)。
師生互動，新課探究
1、傾斜角的定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于一條與x軸相交的直線 ，把 軸(正方向)按逆時針方向繞著交點旋轉(zhuǎn)到和直線 重合所成的角，叫做直線 的傾斜角。
通過動畫演示，幫助學(xué)生理解傾斜角定義。
問題3、在平面直角坐標(biāo)系中過點P的直線，按傾斜角分，可分為幾類?(讓學(xué)生試著畫)
學(xué)生容易忽略與 軸平行的直線，補(bǔ)出圖(4)，問傾斜角在哪兒?
如何規(guī)定?(當(dāng)直線 與 軸平行或重合時，它的傾斜角為0 )數(shù)形結(jié)合，得出傾斜角的范圍是[0 ，180 )
平面直角坐標(biāo)系中一條直線 傾斜角
(傾斜角是從“形”的角度刻畫平面直角坐標(biāo)系內(nèi)直線的傾斜程度)。
回顧舊知，遷移應(yīng)用
(1)對于生活中斜坡，我們是用什么量刻畫它的傾斜程度?
(坡角與坡度)
(2)坡度定義是什么?
(3)坡度隨坡角 變化如何變化?當(dāng)坡角 =90 與0 時坡度又分別是什么?
斜坡 平面直角坐標(biāo)系中的直線
坡角 直線的傾斜角
坡度 直線的斜率。
左圖中傾斜角為銳角，圖中橫坐標(biāo)x從0到1增加一個單位，縱坐標(biāo)y從0增加到k(k>0),我們稱k為這條直線的斜率。 ，右圖中傾斜角為鈍角，在以后學(xué)習(xí)中可知，直線斜率也可用傾斜角的正切值表示。
2、斜率：傾斜角不是90 的直線，其傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率。即
問題4、當(dāng)直線的傾斜角 為鈍角時，如何求它的斜率?
傾斜角 為鈍角的斜率，可轉(zhuǎn)化到其補(bǔ)角 來求
如：傾斜角 ，則斜率
討論交流，加深理解
問題5、當(dāng)傾斜角變化時，斜率k如何變化?(動畫演示)
新知演練 及時反饋
例1、下列哪些說法是正確的( D、F )
A、任一條直線都有傾斜角，也都有斜率
B、直線的傾斜角越大，斜率也越大
C、平行于x軸的直線的傾斜角是0或π
D、直線斜率的范圍是R
E、兩直線的傾斜角相等，它們的斜率也相等
F、兩直線的斜率相等，它們的傾斜角也相等
嘗試推導(dǎo)，深化認(rèn)識
兩點 一條直線 直線傾斜角 直線斜率
問題6、在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線上兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)且x1 x2，怎樣用P1 、P2的坐標(biāo)來表示直線斜率k?
解：設(shè)直線P1 P2傾斜角為 ( 90 ),過點P1作 軸的平行線，過點P2作 軸的平行線，兩線交于點Q，則點Q為(x2，y1)
(1)當(dāng) 為銳角時，
設(shè) x= , y=
=
(2)當(dāng) 為鈍角時， (設(shè) = )，
設(shè) x= , y=
即
(可讓學(xué)生分組推導(dǎo))
綜上，無論 為銳角或鈍角，都有 ，即
思考： 1、當(dāng)直線垂直于x軸或y軸時，上述結(jié)論適用嗎?
2、斜率公式使用時應(yīng)注意什么問題?
新知演練 及時反饋：
例2.求經(jīng)過下列兩點直線的斜率，并判斷傾斜角是銳角還是鈍角。
(1)A(3,2),B(-4,1)
(2)A(3,2),B(4,1)
(3)A(3,2),B(3,-1)
(4)A(3,2),B(-4,2)
小結(jié)全課，概括升華
1、傾斜角和斜率的概念：
(1)兩者都是刻畫直線傾斜程度的兩個量，一個從形方面，一個從數(shù)方面。
(2)傾斜角取值范圍
2.求斜率的方法：k=tanα，
3、數(shù)學(xué)思想方法：分類討論思想，數(shù)形結(jié)合思想。
板書設(shè)計
直線的傾斜角與斜率
1、傾斜角的定義
范圍[0 ，180 )
2、直線的斜率
①定義法
為銳角時： ( )
為鈍角時：
②坐標(biāo)法
布置作業(yè)
高中教學(xué)計劃小編推薦各科教學(xué)設(shè)計：
語文、數(shù)學(xué)、英語、歷史、地理、政治、化學(xué)、物理、生物、美術(shù)、音樂、體育、信息技術(shù)
高中教學(xué)計劃小編推薦各科教學(xué)設(shè)計：
語文、數(shù)學(xué)、英語、歷史、地理、政治、化學(xué)、物理、生物、美術(shù)、音樂、體育、信息技術(shù)