宋代是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的最繁盛時(shí)期，是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的顛峰。公元1084年北宋政府秘書(shū)省第一次印刷出版了《算經(jīng)十書(shū)》，為宋朝數(shù)學(xué)發(fā)展創(chuàng)造了良好的條件。宋朝涌現(xiàn)許多杰出的數(shù)學(xué)家，出現(xiàn)了大批有份量的數(shù)學(xué)著作。宋代最抽象的數(shù)學(xué)成就極高，在希臘文明與西方之間的空白地帶鶴立雞群。宋的代數(shù)學(xué)充分發(fā)揮了絕對(duì)化的方法，把漢代方程解法的組合變換式發(fā)展到了一個(gè)奇妙的境界，不但在解法上解決了很多問(wèn)題，也提出了高次方程、虛根等問(wèn)題。西方的方程學(xué)在幾個(gè)世紀(jì)之后才出現(xiàn)。宋的方程學(xué)是一個(gè)發(fā)達(dá)的數(shù)學(xué)學(xué)科。
    沈括創(chuàng)立了“隙積術(shù)”和“會(huì)圓術(shù)”。沈括通過(guò)對(duì)堆積的酒壇和壘起的棋子之類(lèi)有空隙的堆積體的研究，提出了求它們的總數(shù)的方法，這就是“隙積術(shù)”，“隙積術(shù)”其實(shí)質(zhì)是高階等差級(jí)數(shù)求和，他是中國(guó)第一個(gè)高階級(jí)等差級(jí)數(shù)。沈括還從計(jì)算田畝出發(fā)，考察了圓弓形中弧、弦和矢之間的關(guān)系，提出了由弦和矢的長(zhǎng)度求弧長(zhǎng)的近似公式，這就是“會(huì)圓術(shù)”。會(huì)圓術(shù)是一個(gè)幾何問(wèn)題，把勾股定理用于從弓行的弦、和矢求弧長(zhǎng)。隙積術(shù)和會(huì)圓術(shù)是后世垛積術(shù)及弧矢割圓術(shù)之先河，為中國(guó)古代數(shù)學(xué)開(kāi)辟了新的研究方向。
    宋朝著名數(shù)學(xué)家賈憲在《黃帝九章算法細(xì)草》中提出開(kāi)任意高次冪的“增乘開(kāi)方法”，“增乘開(kāi)方法”用于求解高次方程，是在求得一位商后即以之乘高次未知數(shù)的系數(shù)加入新方程一次項(xiàng)系數(shù)。在作法上把商、常數(shù)項(xiàng)、新方程一次項(xiàng)系數(shù)和高次未知數(shù)系數(shù)分別排列，再用上法對(duì)這個(gè)組合進(jìn)行變換。楊輝在《九章算法纂類(lèi)》中載有賈憲“增乘開(kāi)平方法”、“增乘開(kāi)立方法”;在《詳解九章算法》中載有賈憲的“開(kāi)方作法本源”圖、“增乘方法求廉草”和用增乘開(kāi)方法開(kāi)四次方的例子。從開(kāi)平方、開(kāi)立方到四次以上的開(kāi)方，在認(rèn)識(shí)上是一個(gè)飛躍。西方七百年后1819年才由英國(guó)人霍納發(fā)明了同樣的方法。賈憲的二項(xiàng)式定理系數(shù)表與17世紀(jì)歐洲出現(xiàn)的“巴斯加三角”是類(lèi)似的。
    南宋杰出的數(shù)學(xué)家秦九韶，公元1247年在《數(shù)書(shū)九章》中將“增乘開(kāi)方法”加以推廣，論述了高次方程的數(shù)值解法，并且例舉20多個(gè)取材于實(shí)踐的高次方程的解法。16世紀(jì)意大利人菲爾洛才提出三次方程的解法。另外，秦九韶還對(duì)一次同余式理論進(jìn)行過(guò)研究。秦九韶還推廣了孫子定理，他的“大衍求一術(shù)”將孫子定理的方法從較小的數(shù)和較少的同余式個(gè)數(shù)推廣到一般解法。秦九韶的大衍求一術(shù)整數(shù)論中一次同余式的解法，比歐洲的尤拉和高斯的有關(guān)研究要早500年。秦九韶還得出了與希臘海倫公式等價(jià)的從三角形三邊求面積的公式。劉益的“益積術(shù)”、“減從術(shù)”也是對(duì)系數(shù)組合進(jìn)行變換的技術(shù)。數(shù)學(xué)家李冶公元1248年發(fā)表《測(cè)圓海鏡》，該書(shū)是首部系統(tǒng)論述“天元術(shù)”(一元高次方程)的著作，在數(shù)學(xué)史上具有里程碑意義。數(shù)學(xué)家楊輝公元1261年在《詳解九章算法》中用“垛積術(shù)”求出幾類(lèi)高階等差級(jí)數(shù)之和，給出了幾種高階級(jí)數(shù)的求法。公元1274年在《乘除通變本末》中還敘述了“九歸捷法”，介紹了籌算乘除的各種運(yùn)算法。此外楊輝還發(fā)展了九宮圖，他作了圓、直線交叉的組合。使宋在組合數(shù)學(xué)上也有進(jìn)步。楊輝在數(shù)學(xué)組合上指出4×4數(shù)學(xué)方陣上交換對(duì)角結(jié)果，可惜他以后沒(méi)有進(jìn)一步發(fā)展。
    數(shù)學(xué)在宋代已經(jīng)開(kāi)始得到重視，數(shù)學(xué)的研究成果在宋朝已開(kāi)始有應(yīng)用的環(huán)境了。沈括說(shuō)“算術(shù)不患多學(xué)，見(jiàn)簡(jiǎn)即用，見(jiàn)繁即變，不膠一法，乃為通術(shù)也?！睌?shù)學(xué)家秦九韶認(rèn)為數(shù)學(xué)的研究成果“可以經(jīng)世務(wù)，悉萬(wàn)物”，“竊嘗設(shè)為問(wèn)答以擬于用的”。數(shù)學(xué)家李冶公開(kāi)批判輕視科學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，將數(shù)學(xué)貶為“賤技”、“玩物”等長(zhǎng)期存在的士風(fēng)謬論。他說(shuō)“術(shù)雖居六藝之末，而施人之事，則要實(shí)惠得多?！敝袊?guó)的數(shù)學(xué)在宋代領(lǐng)先西方幾個(gè)世紀(jì)。遺憾的是宋以后中國(guó)的數(shù)學(xué)開(kāi)始衰落，雖然在元朝中國(guó)古代數(shù)學(xué)還有持續(xù)的零星發(fā)展，但中國(guó)數(shù)學(xué)整體的已沒(méi)有繼續(xù)、發(fā)展運(yùn)用的大環(huán)境了。如今的宋朝數(shù)學(xué)成就只有依稀從有幸流傳下來(lái)書(shū)籍的支言片言中窺其一二，所以明代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》記載的線性方程求解不能自圓其說(shuō)，因?yàn)檫@只是記下了宋代科學(xué)家對(duì)其的一個(gè)結(jié)論.
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