怎樣將一條線段任意黃金分割
    湖北省襄陽市襄州區(qū)黃集鎮(zhèn)初級中學　趙國瑞
    
    在數學王國里有一個“數”像詩一樣美妙，它就是美的密碼——(準確值)=0.618(近似值)．
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    兩千多年前，古希臘的數學家歐克多索斯發(fā)現：將一條線段
    AB分割成大小兩條線段AP、PB，若小段PB與大段AP的長度之比等于大段AP與全段AB的長度之比，即，如圖1所示．此時線段AP叫做線段AP、PB的比例中項，則可得出這一比值為，這種分割稱為黃金分割，點P叫做線段AB的黃金分割點．
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    ????????????????????????????????????
    
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    ????????????????????? 圖1
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    那么，應該怎樣把一條線段進行黃金分割呢？或者說怎樣作出已知線段的黃金分割點呢？下面提供一種作法：
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    如圖2，已知線段AB，求作線段AB的黃金分割點．
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    ?????????????????????????????????????????
    
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    　　　　　　　　????????? 圖2
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    ①過點B作BD⊥AB，使BD=AB；
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    ②連結AD，在AD上截取DE=DB；
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    ③在線段AB上截取AP=AE．
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    則點
    P是線段AB上的一個黃金分割點．
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    那么，為什么點P是線段AB上的一個黃金分割點呢？
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    事實上，若設AB=a，AP=x，由作圖過程可知AP=．在Rt△ABD中，由勾股定理可得.整理可得x²=a(a-x)．因此點P是線段
    AB上的一個黃金分割點．
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    實際上，我們不僅可以把一條線段進行黃金分割，而且還可以把一條線段任意進行黃金分割，如何把一條線段任意進行黃金分割呢？為此我們先看一個與黃金分割有趣的數量關系．
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    如圖3，點C是線段AB的一個黃金分割點(其中點C靠近端點B)，由于對稱性，在線段AB上必然還有另一個黃金分割點D(其中點D
    靠近端點A)．
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    　　　　　　　　圖3
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    若設AB=a，由黃金分割的定義，得AC=BD=a，而，∴
    AD=BC=a．
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    ∴CD=BD-BC=a-a===
    a．
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    ∴．
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    ????? 　　　　　　　　　　　　　　　　　　圖4
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    于是點C是線段DB的一個黃金分割點(靠近端點
    D)．利用對稱性，再作出線段DB的另一個黃金分割點E(靠近端點B)，則點E一定是線段CB的一個黃金分割點(靠近端點B)，如圖4所示．這樣我們就可以不斷地利用對稱性對線段AB進行黃金分割．
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    我們不但可以利用與黃金分割有趣的數量關系對一條線段任意進行黃金分割，還可以利用與黃金分割有關的幾何圖形對一條線段任意進行黃金分割．
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    黃金矩形?如果一個矩形的兩邊之比具有黃金分割比值，則稱這種矩形為黃金矩形，它是由一個小正方形和另一個小黃金矩形組成的．
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    事實上，如圖5，設大黃金矩形的兩邊分別為a、b，則，分出一個正方形后，所余小矩形的兩邊分別為(a-b)和b，它們的比為．這樣我們可以將一個黃金矩形無限分割下去，就可以得到無限多個黃金矩形．
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    　　　　圖5?　　　　　??????????????????? 圖6
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    黃金三角形?頂角為36°的等腰三角形叫做黃金三角形．其底與腰之比為黃金分割比值，底角平分線與腰的交點為腰的黃金分割點．如圖6，△
    ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ACB的平分線CP交腰AB于P，則BC=CP=AP，且△ABC∽△CBP，∴，即AP²=BP·AB，∴．
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    再作∠ABC的平分線交CP于P₁，作∠BPC的平分線交BP₁于P₂，得到△BPP₁，△PP₁
    P₂，均為黃金三角形．如此下去則可得到一系列的黃金三角形．
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    親愛的同學們，你知道怎樣根據黃金矩形和黃金三角形的性質對一條線段任意進行黃金分割了嗎？趕快動手試一試吧．
    
    

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