不盡的探索 無窮的樂趣
湖北省襄陽市襄州區(qū)黃集鎮(zhèn)初級中學 趙國瑞
引例?如圖1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點O，試判斷∠BOC與∠A的關系？說明你的理由．
?
?????????????????? ????????????????
???????????? 圖1
?
解：∠BOC=90°+
∠A．?
理由：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
?
∴∠1=
∠ABC，∠2=∠ACB．
?
∴∠1+∠2=
(∠ABC+∠ACB)．?
在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A．
?
∴∠1+∠2=
(180°-∠A)=90°-
∠A．?
在△BOC中，∠BOC=180°-(∠1+∠2)
?
=180°-(90°-
∠A)=90°+
∠A．?
由此我們得到這樣一個結論：
?
結論1：三角形兩內角平分線的夾角等于第三個內角的一半的余角的補角．
?
如果把題目中的內角平分線，改為外角的平分線，那么∠BOC與∠A的關系又如何呢？
?
探索一：如圖2，△
ABC的外角∠CBM、∠BCN的平分線相交于點O，試判斷∠BOC與∠A的關系？說明你的理由．
?
??????????????? 圖2
?
解：∠BOC=90°-
∠A．
?
理由：∵BO平分∠CBM，CO平分∠BCN，
?
∴∠1=
∠CBM，∠2=∠BCN．?
∴∠1+∠2=
(∠CBM +∠BCN)．
?
∵∠CBM=180°-∠ABC，∠BCN=180°-∠ACB，
?
∴∠CBM +∠BCN=360°-(∠ABC+∠ACB)
?
=360°-(180°-∠A)=180°+∠A．
?
∴∠1+∠2=
(180°+∠A)=90°+
∠A． ?
在△BOC中，∠BOC=180°-(∠1+∠2)
?
=180°-(90°+
∠A)=90°-∠A．?
說明：在計算∠CBM +∠BCN時，也可利用三角形的外角性質，即∠CBM=∠A+∠ACB，∠BCN=∠A+∠ABC，所以∠CBM +∠BCN=(∠A+∠ACB+∠ABC)+∠A=180°+∠A．
?
為了利用結論1，本題也可以這樣說明理由：
?
如圖3，分別作∠ABC和∠ACB的平分線BP和
CP，BP和CP相交于點P，根據(jù)“一對鄰補角的平分線互相垂直”(此結論留給同學們自己探索)，可得∠PBO=90°，∠PCO=90°．又四邊形PBOC的內角和等于360°，所以∠BOC=360°-90°-90°-∠BPC=180°-∠BPC．
?
???????????????????????????????????? 圖3
?
利用結論1，可得∠BPC=90°+
∠A．?
所以∠BOC=180°-(90°+
∠A)=90°-
∠A．?
由此我們得到這樣一個結論：
?
結論2：三角形兩外角平分線的夾角等于與這兩外角不相鄰的內角的一半的余角．
?
以上分別是兩內角平分線與兩外角平分線相交的情況，如果是一內角的平分線與一外角的平分線相交，結果又會如何呢？
?
探索二：如圖4，在△
ABC中，內角∠ABC的平分線與外角∠ACD的平分線相交于點O，試說明∠BOC與∠A的關系？說明你的理由．
?
?????????????? 圖4
?
解：∠BOC=
∠A．
?
理由：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD，
?
∴∠ABC=2∠1，∠ACD=2∠2．
?
又∠2是△BOC的外角，
?
∴∠2=∠1+∠BOC，即∠BOC=∠2-∠1．
?
又∠ACD是△ABC的外角，
?
∴∠ACD=∠ABC +∠A，即∠A=∠ACD -∠ABC．
?
∴∠A=2∠2-2∠1=2(∠2-∠1)=2∠BOC．
?
∴∠BOC=
∠A．?
為了利用結論1，本題也可以這樣說明理由：
?
如圖5，作∠ACB的平分線CP交BO于點P，利用結論1可知∠BPC=90°+
∠A．根據(jù)“一對鄰補角的平分線互相垂直”可知∠PCO=90°．又∠BPC是△PCO的外角，所以∠BPC=∠BOC+∠BPC，即90°+
∠A=∠BOC+90°．∴∠BOC=∠A．?
???????????????? 圖5
?
為了利用結論2，本題也可以作△ABC的外角平分線與CO的反向延長線相交于點P(如圖6)，易證CP是△ABC的外角∠BCE的平分線，根據(jù)“一對鄰補角的平分線互相垂直”可知∠PBO=90°．又由結論
2可知∠BPC=90°-
∠A，所以∠BOC=180°-∠PBO-∠BPC=180°-90°-(90°-∠A)=∠A．?
???????????????? 圖6
?
同學們，閱讀此文，你是否有一種沉浸在不盡的探索和喜悅之中，在探索的過程中，我們又利用探索出來的結論(或者叫做我們的小發(fā)明或小創(chuàng)造吧)去探索新的結論，你是否有一種小小的成就感呢？
?
有人算過這樣一筆帳，一只蜜蜂要釀出一公斤蜂蜜，需要來回飛行大約三十萬公里，吸吮大約一千二百萬個花朵的液汁．每次采集回來，還需要把液汁從胃里吐出來，由另一只蜜蜂吸到自己的胃里，如此吞吞吐吐一百二十次到三百四十以次，液汁才成為蜜汁，并最終變成濃稠的蜂蜜．
?
由此可見積累的重要性，學習數(shù)學也需要積累．數(shù)學解題能力的提高，需要積累豐富的解題經(jīng)驗，并適當記住一些簡潔的結論，可以快速抓住問題的本質，簡化思維過程，提高解題效率．
?
快樂體驗：
?
1．如圖7，BD平分∠ABC，CD平分外角∠ACE，∠A=70°，求∠D的度數(shù)．
?
圖7
?
2．如圖8，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∠A=70°，求∠D的度數(shù)．
?
???????????????? ??? 圖8
?
3．如圖9，BD平分∠CBE，CD平分∠BCF，∠A=70°，求∠D的度數(shù)．
?
圖9
?
4．如圖10，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內角∠ABC平分線BP交于點P，若∠BPC=40°，則∠CAP=＿＿＿．(提示：先證AP是△ABC的外角平分線)
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??????????? ?
圖10
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參考答案：1．35°；2．125°；3．55°；4．50°
引例?如圖1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點O，試判斷∠BOC與∠A的關系？說明你的理由．
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?????????????????? ????????????????
???????????? 圖1
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解：∠BOC=90°+
∠A．?
理由：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
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∴∠1=
∠ABC，∠2=∠ACB．?
∴∠1+∠2=
(∠ABC+∠ACB)．?
在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A．
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∴∠1+∠2=
(180°-∠A)=90°-∠A．?
在△BOC中，∠
BOC=180°-(∠1+∠2)
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=180°-(90°-
∠A)=90°+∠A．?
由此我們得到這樣一個結論：
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結論1：三角形兩內角平分線的夾角等于第三個內角的一半的余角的補角．
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如果把題目中的內角平分線，改為外角的平分線，那么∠BOC與∠A的關系又如何呢？
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探索一：如圖2，△ABC的外角∠CBM、∠BCN的平分線相交于點O，試判斷∠BOC與∠A的關系？說明你的理由．
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??????????????? 圖2
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解：∠BOC=90°-
∠A．?
理由：∵BO平分∠CBM，CO平分∠BCN，
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∴∠1=
∠CBM，∠2=∠BCN．?
∴∠1+∠2=
(∠CBM +∠BCN)．?
∵∠CBM=180°-∠ABC，∠BCN=180°-∠ACB，
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∴∠CBM +∠BCN=360°-(∠ABC+∠ACB)
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=360°-(180°-∠A)=180°+∠A．
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∴∠1+∠2=
(180°+∠A)=90°+∠A．?
在△BOC中，∠BOC=180°-(∠1+∠2)
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=180°-(90°+
∠A)=90°-
∠A．?
說明：在計算∠CBM +∠BCN時，也可利用三角形的外角性質，即∠CBM=∠A+∠ACB，∠BCN=∠A+∠ABC，所以∠CBM +∠BCN=(∠A+∠ACB+∠ABC)+∠A=180°+∠A．
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為了利用結論1，本題也可以這樣說明理由：
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如圖3，分別作∠
ABC和∠ACB的平分線BP和CP，BP和CP相交于點P，根據(jù)“一對鄰補角的平分線互相垂直”(此結論留給同學們自己探索)，可得∠PBO=90°，∠PCO=90°．又四邊形PBOC的內角和等于360°，所以∠BOC=360°-90°-90°-∠BPC=180°-∠BPC．
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???????????????????????????????????? 圖3
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利用結論1，可得∠BPC=90°+
∠A．?
所以∠BOC=180°-(90°+
∠A)=90°-
∠A．?
由此我們得到這樣一個結論：
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結論2：三角形兩外角平分線的夾角等于與這兩外角不相鄰的內角的一半的余角．
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以上分別是兩內角平分線與兩外角平分線相交的情況，如果是一內角的平分線與一外角的平分線相交，結果又會如何呢？
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探索二：如圖4，在△ABC中，內角∠ABC的平分線與外角∠ACD的平分線相交于點
O，試說明∠BOC與∠A的關系？說明你的理由．
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?????????????? 圖4
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解：∠BOC=
∠A．?
理由：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD，
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∴∠ABC=2∠1，∠ACD=2∠2．
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又∠2是△BOC的外角，
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∴∠2=∠1+∠BOC，即∠BOC=∠2-∠1．
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又∠ACD是△ABC的外角，
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∴∠ACD=∠ABC +∠A，即∠A=∠ACD -∠ABC．
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∴∠A=2∠2-2∠1=2(∠2-∠1)=2∠BOC．
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∴∠BOC=
∠A．
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為了利用結論1，本題也可以這樣說明理由：
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如圖5，作∠ACB的平分線CP交BO于點P，利用結論1可知∠BPC=90°+
∠A．根據(jù)“一對鄰補角的平分線互相垂直”可知∠PCO=90°．又∠BPC是△PCO的外角，所以∠BPC=∠BOC+∠BPC，即90°+∠A=∠BOC+90°．∴∠BOC=
∠A．?
???????????????? 圖5
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為了利用結論2，本題也可以作△ABC的外角平分線與CO的反向延長線相交于點P(如圖6)，易證CP是△ABC的外角∠BCE的平分線，根據(jù)“一對鄰補角的平分線互相垂直”可知∠
PBO=90°．又由結論2可知∠BPC=90°-
∠A，所以∠BOC=180°-∠PBO-∠BPC=180°-90°-(90°-∠A)=∠A．?
???????????????? 圖6
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同學們，閱讀此文，你是否有一種沉浸在不盡的探索和喜悅之中，在探索的過程中，我們又利用探索出來的結論(或者叫做我們的小發(fā)明或小創(chuàng)造吧)去探索新的結論，你是否有一種小小的成就感呢？
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有人算過這樣一筆帳，一只蜜蜂要釀出一公斤蜂蜜，需要來回
飛行大約三十萬公里，吸吮大約一千二百萬個花朵的液汁．每次采集回來，還需要把液汁從胃里吐出來，由另一只蜜蜂吸到自己的胃里，如此吞吞吐吐一百二十次到三百四十以次，液汁才成為蜜汁，并最終變成濃稠的蜂蜜．
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由此可見積累的重要性，學習數(shù)學也需要積累．數(shù)學解題能力的提高，需要積累豐富的解題經(jīng)驗，并適當記住一些簡潔的結論，可以快速抓住問題的本質，簡化思維過程，提高解題效率．
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快樂體驗：
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1．如圖7，BD平分∠ABC，CD平分外角∠ACE，∠A=70°，求∠D的度數(shù)．
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圖7
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．如圖8，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∠A=70°，求∠D的度數(shù)．
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???????????????? ??? 圖8
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3．如圖9，BD平分∠CBE，CD平分∠BCF，∠A=70°，求∠D的度數(shù)．
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圖9
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4．如圖10，△ABC的外角∠
ACD的平分線CP與內角∠ABC平分線BP交于點P，若∠BPC=40°，則∠CAP=＿＿＿．(提示：先證AP是△ABC的外角平分線)
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??????????? ?圖10
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參考答案：1．35°；2．125°；3．55°；4．50°
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