不盡的探索 無(wú)窮的樂(lè)趣
湖北省襄陽(yáng)市襄州區(qū)黃集鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué) 趙國(guó)瑞
引例?如圖1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，試判斷∠BOC與∠A的關(guān)系？說(shuō)明你的理由．
?
?????????????????? ????????????????
???????????? 圖1
?
解：∠BOC=90°+
∠A．?
理由：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
?
∴∠1=
∠ABC，∠2=∠ACB．
?
∴∠1+∠2=
(∠ABC+∠ACB)．?
在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A．
?
∴∠1+∠2=
(180°-∠A)=90°-
∠A．?
在△BOC中，∠BOC=180°-(∠1+∠2)
?
=180°-(90°-
∠A)=90°+
∠A．?
由此我們得到這樣一個(gè)結(jié)論：
?
結(jié)論1：三角形兩內(nèi)角平分線的夾角等于第三個(gè)內(nèi)角的一半的余角的補(bǔ)角．
?
如果把題目中的內(nèi)角平分線，改為外角的平分線，那么∠BOC與∠A的關(guān)系又如何呢？
?
探索一：如圖2，△
ABC的外角∠CBM、∠BCN的平分線相交于點(diǎn)O，試判斷∠BOC與∠A的關(guān)系？說(shuō)明你的理由．
?
??????????????? 圖2
?
解：∠BOC=90°-
∠A．
?
理由：∵BO平分∠CBM，CO平分∠BCN，
?
∴∠1=
∠CBM，∠2=∠BCN．?
∴∠1+∠2=
(∠CBM +∠BCN)．
?
∵∠CBM=180°-∠ABC，∠BCN=180°-∠ACB，
?
∴∠CBM +∠BCN=360°-(∠ABC+∠ACB)
?
=360°-(180°-∠A)=180°+∠A．
?
∴∠1+∠2=
(180°+∠A)=90°+
∠A． ?
在△BOC中，∠BOC=180°-(∠1+∠2)
?
=180°-(90°+
∠A)=90°-∠A．?
說(shuō)明：在計(jì)算∠CBM +∠BCN時(shí)，也可利用三角形的外角性質(zhì)，即∠CBM=∠A+∠ACB，∠BCN=∠A+∠ABC，所以∠CBM +∠BCN=(∠A+∠ACB+∠ABC)+∠A=180°+∠A．
?
為了利用結(jié)論1，本題也可以這樣說(shuō)明理由：
?
如圖3，分別作∠ABC和∠ACB的平分線BP和
CP，BP和CP相交于點(diǎn)P，根據(jù)“一對(duì)鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直”(此結(jié)論留給同學(xué)們自己探索)，可得∠PBO=90°，∠PCO=90°．又四邊形PBOC的內(nèi)角和等于360°，所以∠BOC=360°-90°-90°-∠BPC=180°-∠BPC．
?
???????????????????????????????????? 圖3
?
利用結(jié)論1，可得∠BPC=90°+
∠A．?
所以∠BOC=180°-(90°+
∠A)=90°-
∠A．?
由此我們得到這樣一個(gè)結(jié)論：
?
結(jié)論2：三角形兩外角平分線的夾角等于與這兩外角不相鄰的內(nèi)角的一半的余角．
?
以上分別是兩內(nèi)角平分線與兩外角平分線相交的情況，如果是一內(nèi)角的平分線與一外角的平分線相交，結(jié)果又會(huì)如何呢？
?
探索二：如圖4，在△
ABC中，內(nèi)角∠ABC的平分線與外角∠ACD的平分線相交于點(diǎn)O，試說(shuō)明∠BOC與∠A的關(guān)系？說(shuō)明你的理由．
?
?????????????? 圖4
?
解：∠BOC=
∠A．
?
理由：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD，
?
∴∠ABC=2∠1，∠ACD=2∠2．
?
又∠2是△BOC的外角，
?
∴∠2=∠1+∠BOC，即∠BOC=∠2-∠1．
?
又∠ACD是△ABC的外角，
?
∴∠ACD=∠ABC +∠A，即∠A=∠ACD -∠ABC．
?
∴∠A=2∠2-2∠1=2(∠2-∠1)=2∠BOC．
?
∴∠BOC=
∠A．?
為了利用結(jié)論1，本題也可以這樣說(shuō)明理由：
?
如圖5，作∠ACB的平分線CP交BO于點(diǎn)P，利用結(jié)論1可知∠BPC=90°+
∠A．根據(jù)“一對(duì)鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直”可知∠PCO=90°．又∠BPC是△PCO的外角，所以∠BPC=∠BOC+∠BPC，即90°+
∠A=∠BOC+90°．∴∠BOC=∠A．?
???????????????? 圖5
?
為了利用結(jié)論2，本題也可以作△ABC的外角平分線與CO的反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P(如圖6)，易證CP是△ABC的外角∠BCE的平分線，根據(jù)“一對(duì)鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直”可知∠PBO=90°．又由結(jié)論
2可知∠BPC=90°-
∠A，所以∠BOC=180°-∠PBO-∠BPC=180°-90°-(90°-∠A)=∠A．?
???????????????? 圖6
?
同學(xué)們，閱讀此文，你是否有一種沉浸在不盡的探索和喜悅之中，在探索的過(guò)程中，我們又利用探索出來(lái)的結(jié)論(或者叫做我們的小發(fā)明或小創(chuàng)造吧)去探索新的結(jié)論，你是否有一種小小的成就感呢？
?
有人算過(guò)這樣一筆帳，一只蜜蜂要釀出一公斤蜂蜜，需要來(lái)回飛行大約三十萬(wàn)公里，吸吮大約一千二百萬(wàn)個(gè)花朵的液汁．每次采集回來(lái)，還需要把液汁從胃里吐出來(lái)，由另一只蜜蜂吸到自己的胃里，如此吞吞吐吐一百二十次到三百四十以次，液汁才成為蜜汁，并最終變成濃稠的蜂蜜．
?
由此可見(jiàn)積累的重要性，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)也需要積累．?dāng)?shù)學(xué)解題能力的提高，需要積累豐富的解題經(jīng)驗(yàn)，并適當(dāng)記住一些簡(jiǎn)潔的結(jié)論，可以快速抓住問(wèn)題的本質(zhì)，簡(jiǎn)化思維過(guò)程，提高解題效率．
?
快樂(lè)體驗(yàn)：
?
1．如圖7，BD平分∠ABC，CD平分外角∠ACE，∠A=70°，求∠D的度數(shù)．
?
圖7
?
2．如圖8，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∠A=70°，求∠D的度數(shù)．
?
???????????????? ??? 圖8
?
3．如圖9，BD平分∠CBE，CD平分∠BCF，∠A=70°，求∠D的度數(shù)．
?
圖9
?
4．如圖10，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC平分線BP交于點(diǎn)P，若∠BPC=40°，則∠CAP=＿＿＿．(提示：先證AP是△ABC的外角平分線)
?
??????????? ?
圖10
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參考答案：1．35°；2．125°；3．55°；4．50°
引例?如圖1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，試判斷∠BOC與∠A的關(guān)系？說(shuō)明你的理由．
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?????????????????? ????????????????
???????????? 圖1
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解：∠BOC=90°+
∠A．?
理由：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
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∴∠1=
∠ABC，∠2=∠ACB．?
∴∠1+∠2=
(∠ABC+∠ACB)．?
在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A．
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∴∠1+∠2=
(180°-∠A)=90°-∠A．?
在△BOC中，∠
BOC=180°-(∠1+∠2)
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=180°-(90°-
∠A)=90°+∠A．?
由此我們得到這樣一個(gè)結(jié)論：
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結(jié)論1：三角形兩內(nèi)角平分線的夾角等于第三個(gè)內(nèi)角的一半的余角的補(bǔ)角．
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如果把題目中的內(nèi)角平分線，改為外角的平分線，那么∠BOC與∠A的關(guān)系又如何呢？
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探索一：如圖2，△ABC的外角∠CBM、∠BCN的平分線相交于點(diǎn)O，試判斷∠BOC與∠A的關(guān)系？說(shuō)明你的理由．
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??????????????? 圖2
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解：∠BOC=90°-
∠A．?
理由：∵BO平分∠CBM，CO平分∠BCN，
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∴∠1=
∠CBM，∠2=∠BCN．?
∴∠1+∠2=
(∠CBM +∠BCN)．?
∵∠CBM=180°-∠ABC，∠BCN=180°-∠ACB，
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∴∠CBM +∠BCN=360°-(∠ABC+∠ACB)
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=360°-(180°-∠A)=180°+∠A．
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∴∠1+∠2=
(180°+∠A)=90°+∠A．?
在△BOC中，∠BOC=180°-(∠1+∠2)
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=180°-(90°+
∠A)=90°-
∠A．?
說(shuō)明：在計(jì)算∠CBM +∠BCN時(shí)，也可利用三角形的外角性質(zhì)，即∠CBM=∠A+∠ACB，∠BCN=∠A+∠ABC，所以∠CBM +∠BCN=(∠A+∠ACB+∠ABC)+∠A=180°+∠A．
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為了利用結(jié)論1，本題也可以這樣說(shuō)明理由：
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如圖3，分別作∠
ABC和∠ACB的平分線BP和CP，BP和CP相交于點(diǎn)P，根據(jù)“一對(duì)鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直”(此結(jié)論留給同學(xué)們自己探索)，可得∠PBO=90°，∠PCO=90°．又四邊形PBOC的內(nèi)角和等于360°，所以∠BOC=360°-90°-90°-∠BPC=180°-∠BPC．
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???????????????????????????????????? 圖3
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利用結(jié)論1，可得∠BPC=90°+
∠A．?
所以∠BOC=180°-(90°+
∠A)=90°-
∠A．?
由此我們得到這樣一個(gè)結(jié)論：
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結(jié)論2：三角形兩外角平分線的夾角等于與這兩外角不相鄰的內(nèi)角的一半的余角．
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以上分別是兩內(nèi)角平分線與兩外角平分線相交的情況，如果是一內(nèi)角的平分線與一外角的平分線相交，結(jié)果又會(huì)如何呢？
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探索二：如圖4，在△ABC中，內(nèi)角∠ABC的平分線與外角∠ACD的平分線相交于點(diǎn)
O，試說(shuō)明∠BOC與∠A的關(guān)系？說(shuō)明你的理由．
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?????????????? 圖4
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解：∠BOC=
∠A．?
理由：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD，
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∴∠ABC=2∠1，∠ACD=2∠2．
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又∠2是△BOC的外角，
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∴∠2=∠1+∠BOC，即∠BOC=∠2-∠1．
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又∠ACD是△ABC的外角，
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∴∠ACD=∠ABC +∠A，即∠A=∠ACD -∠ABC．
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∴∠A=2∠2-2∠1=2(∠2-∠1)=2∠BOC．
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∴∠BOC=
∠A．
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為了利用結(jié)論1，本題也可以這樣說(shuō)明理由：
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如圖5，作∠ACB的平分線CP交BO于點(diǎn)P，利用結(jié)論1可知∠BPC=90°+
∠A．根據(jù)“一對(duì)鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直”可知∠PCO=90°．又∠BPC是△PCO的外角，所以∠BPC=∠BOC+∠BPC，即90°+∠A=∠BOC+90°．∴∠BOC=
∠A．?
???????????????? 圖5
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為了利用結(jié)論2，本題也可以作△ABC的外角平分線與CO的反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P(如圖6)，易證CP是△ABC的外角∠BCE的平分線，根據(jù)“一對(duì)鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直”可知∠
PBO=90°．又由結(jié)論2可知∠BPC=90°-
∠A，所以∠BOC=180°-∠PBO-∠BPC=180°-90°-(90°-∠A)=∠A．?
???????????????? 圖6
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同學(xué)們，閱讀此文，你是否有一種沉浸在不盡的探索和喜悅之中，在探索的過(guò)程中，我們又利用探索出來(lái)的結(jié)論(或者叫做我們的小發(fā)明或小創(chuàng)造吧)去探索新的結(jié)論，你是否有一種小小的成就感呢？
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有人算過(guò)這樣一筆帳，一只蜜蜂要釀出一公斤蜂蜜，需要來(lái)回
飛行大約三十萬(wàn)公里，吸吮大約一千二百萬(wàn)個(gè)花朵的液汁．每次采集回來(lái)，還需要把液汁從胃里吐出來(lái)，由另一只蜜蜂吸到自己的胃里，如此吞吞吐吐一百二十次到三百四十以次，液汁才成為蜜汁，并最終變成濃稠的蜂蜜．
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由此可見(jiàn)積累的重要性，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)也需要積累．?dāng)?shù)學(xué)解題能力的提高，需要積累豐富的解題經(jīng)驗(yàn)，并適當(dāng)記住一些簡(jiǎn)潔的結(jié)論，可以快速抓住問(wèn)題的本質(zhì)，簡(jiǎn)化思維過(guò)程，提高解題效率．
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快樂(lè)體驗(yàn)：
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1．如圖7，BD平分∠ABC，CD平分外角∠ACE，∠A=70°，求∠D的度數(shù)．
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圖7
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．如圖8，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∠A=70°，求∠D的度數(shù)．
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???????????????? ??? 圖8
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3．如圖9，BD平分∠CBE，CD平分∠BCF，∠A=70°，求∠D的度數(shù)．
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圖9
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4．如圖10，△ABC的外角∠
ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC平分線BP交于點(diǎn)P，若∠BPC=40°，則∠CAP=＿＿＿．(提示：先證AP是△ABC的外角平分線)
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參考答案：1．35°；2．125°；3．55°；4．50°
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