動點(diǎn)最值問題解法探析
湖北省隨州市草店中學(xué) 王厚軍 李華榮
一、問題原型：
（人教版八年級上冊第42頁探究）如圖1-1，要在燃?xì)夤艿?sub>
上修建一個泵站，分別向
、
兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？這個“確定最短路線”問題，是一個利用軸對稱解決極值的經(jīng)典問題。解這類問題
二、基本解法：
對稱共線法。利用軸對稱變換，將線路中各線段映射到同一直線上（線路長度不變），確定動點(diǎn)位置，計(jì)算線路最短長度。
三、一般結(jié)論：
(
在線段
上時取等號)（如圖1-2）?????????????????????
線段和最小，常見有三種類型：
（一）“|定動|+|定動|”型：兩定點(diǎn)到一動點(diǎn)的距離和最小
通過軸對稱，將動點(diǎn)所在直線同側(cè)的兩個定點(diǎn)中的其中一個，映射到直線的另一側(cè)，當(dāng)動點(diǎn)在這個定點(diǎn)的對稱點(diǎn)及另一定點(diǎn)的線段上時，由“兩點(diǎn)之間線段最短”可知線段和的最小值，最小值為定點(diǎn)線段的長。
1.兩個定點(diǎn)+一個動點(diǎn)。
如圖1-3，作一定點(diǎn)
關(guān)于動點(diǎn)
所在直線的對稱點(diǎn)
，線段（是另一定點(diǎn)）與的交點(diǎn)即為距離和最小時動點(diǎn)位置，最小距離和
。例1（2006年河南省中考題）如圖2，正方形
的邊長為
，
是
的中點(diǎn)，是對角線
上一動點(diǎn)，則
的最小值是 。
解析：
與
關(guān)于直線對稱，連結(jié)
，則
。連結(jié)
,在
中，
，
，則
故的最小值為
例2 （2009年濟(jì)南市中考題）如圖3，已知：拋物線
的對稱軸為
，與
軸交于、兩點(diǎn)，與軸
交于點(diǎn)，其中
，
。
（1）求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）已知在對稱軸上存在一點(diǎn)
，使得
的周長最小，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)。解析：（1）對稱軸為
，，由對稱性可知：
。根據(jù)、、三點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法，可求得拋物線為：
（2）
與關(guān)于對稱軸對稱，連結(jié)，與對稱軸交點(diǎn)即為所求點(diǎn)。設(shè)直線
解析式為：
。把、代入得，
。當(dāng)時，
，則
2.兩個定點(diǎn)+兩個動點(diǎn)。
兩動點(diǎn)，其中一個隨另一個動（一個主動，一個從動），并且兩動點(diǎn)間的距離保持不變。用平移方法，可把兩動點(diǎn)變成一個動點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為“兩個定點(diǎn)和一個動點(diǎn)”類型來解。
例3 如圖4，河岸兩側(cè)有
、兩個村莊，為了村民出行方便，計(jì)劃在河上修一座橋，橋修在何處才能兩村村民來往路程最短？
解析：設(shè)橋端兩動點(diǎn)為
、
，那么點(diǎn)隨點(diǎn)而動，
等于河寬，且垂直于河岸。將
向上平移河寬長到，線段
與河北岸線的交點(diǎn)即為橋端
點(diǎn)位置。四邊形
為平行四邊形，，此時
值最小。那么來往、兩村最短路程為：
。例4 (2010年天津市中考)在平面角坐標(biāo)系中，矩形
的頂點(diǎn)
在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)、分別在軸、軸的正半軸上，
，
，為邊
的中點(diǎn)。（1）若
為邊
上的一個動點(diǎn)，當(dāng)
的周長最小時，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若
，
為邊上的兩個動點(diǎn)，且
，當(dāng)四邊形
的周長最小時，求點(diǎn)，的坐標(biāo)。解析：作點(diǎn)
關(guān)于軸的對稱點(diǎn)
，則
，
。（1）連接
交軸于點(diǎn)，連接，此時的周長最小。由
可知
，那么
，則
。（2）將
向左平移2個單位（）到
點(diǎn)，定點(diǎn)、分別到動點(diǎn)、的距離和等于為定點(diǎn)、到動點(diǎn)的距離和，即
。從而把“兩個定點(diǎn)和兩個動點(diǎn)”類問題轉(zhuǎn)化成“兩個定點(diǎn)和一個動點(diǎn)”類型。在
上截取
，連接
交軸于，四邊形
為平行四邊形，
。此時
值最小，則四邊形的周長最小。由、
可求直線解析式為
，當(dāng)
時，
，即
，則
。（也可以用（1）中相似的方法求坐標(biāo)）
（二）“|動定|+|動動|”型：
兩動點(diǎn)分別在兩條直線上獨(dú)立運(yùn)動，一動點(diǎn)分別到一定點(diǎn)和另一動點(diǎn)的距離和最小。
利用軸對稱變換，使一動點(diǎn)在另一動點(diǎn)的對稱點(diǎn)與定點(diǎn)的線段上（兩點(diǎn)之間線段最短），且這條線段垂直于另一動點(diǎn)的對稱點(diǎn)所在直線（連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短）時，兩線段和最小，最小值等于這條垂線段的長。
例5?。?009年陜西省中考）如圖6，在銳角
中，
，
，
的平分線交于點(diǎn)，、分別是
和
上的動點(diǎn)，則
的最小值為 4 。
解析：角平分線所在直線是角的對稱軸，
上動點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)
在上，
，
，當(dāng)
時，
最小。作
于，交于，∵
，∴
?
作
交于，
例6 如圖7，四邊形
是等腰梯形，、在軸上，在軸上，
，
，
，
，拋物線
過、兩點(diǎn)。
（1）求
、
；（2）設(shè)
是軸上方拋物線上的一動點(diǎn)，它到軸與軸的距離之和為
，求的最大值；（3）當(dāng)（2）中
點(diǎn)運(yùn)動到使取最大值時，此時記點(diǎn)為，設(shè)線段與軸交于點(diǎn)，為線段
上一動點(diǎn)，求到點(diǎn)與到軸的距離之和的最小值，并求此時點(diǎn)的坐標(biāo)。解析：（1）由
，，，可得：
、
、
、
；根據(jù)、的坐標(biāo)可求出拋物線解析式為
（2）設(shè)
，且
，則
，用零點(diǎn)分段法可求得，
。當(dāng)
時，
。此時
，則
。（3）
軸與直線
關(guān)于對稱，作
軸于
，動點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)
在直線上，
，當(dāng)
垂直于直線時，的值最小。
，根據(jù)和可求直線的解析式
，則有
。由
可知，
。作
，過點(diǎn)作軸的平行線，交
于，那么
。作
于，則
，
，當(dāng)是于
的交點(diǎn)時，與重合，
有最小值5。函數(shù)，此時，則
，即
。3.“|定動|+|動動|+|動定|”型：兩定點(diǎn)到兩動點(diǎn)的距離、以及兩動之間距離和最小。
例7?。?009年漳州中考）如圖8，
，是
內(nèi)一點(diǎn)，
，
、
分別是和上的動點(diǎn)，求
周長的最小值。
解析：分別作
關(guān)于、的對稱點(diǎn)、，連接
，則
，當(dāng)、在線段上時， 周長最小，∵
，
∴
。?則周長的最小值為
例8?。?009年恩施中考）恩施到張家界高速公路
與滬渝高速公路
垂直，如圖9建立直角坐標(biāo)系。著名的恩施大峽谷（）和世界級自然保護(hù)區(qū)星斗山（）位于兩高速公路同側(cè)，
，到直線的距離為
，到直線和的距離分別為
和
。請你在旁和旁各修建一服務(wù)區(qū)、，使、、、組成的四邊形的周長最小，并求出這個最小值。
解析：作點(diǎn)
關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，連接
，
。當(dāng)、在線段上時，
最小。過
、分別作軸、軸的平行線交于。在
中，
，
，交軸于，交軸于。
，而
∴?四邊形
的周長最小值為：
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