一元一次方程應(yīng)用題是初一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)。主要困難體現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是難以從實(shí)際問題中找出相等關(guān)系，列出相應(yīng)的方程；二是對(duì)數(shù)量關(guān)系稍復(fù)雜的方程，常常理不清楚基本量，也不知道如何用含未知數(shù)的式子來表示出這些基本量的相等關(guān)系，導(dǎo)致解題時(shí)無從下手。
     
    事實(shí)上，方程就是一個(gè)含未知數(shù)的等式。列方程解應(yīng)用題，就是要將實(shí)際問題中的一些數(shù)量關(guān)系用這種含有未知數(shù)的等式的形式表示出來。而在這種等式中的每個(gè)式子又都有自身的實(shí)際意義，它們分別表示題設(shè)中某一相應(yīng)過程的數(shù)量大小或數(shù)量關(guān)系。由此，解方程應(yīng)用題的關(guān)鍵就是要“抓住基本量，找出相等關(guān)系”。
     
    下面就一元一次方程中常見的幾類應(yīng)用題作逐一講評(píng)，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考。
     
    1.行程問題
     
    行程問題中有三個(gè)基本量：路程、時(shí)間、速度。關(guān)系式為：①路程=速度×時(shí)間；②速度=；③時(shí)間=。
     
    可尋找的相等關(guān)系有：路程關(guān)系、時(shí)間關(guān)系、速度關(guān)系。在不同的問題中，相等關(guān)系是靈活多變的。如相遇問題中多以路程作相等關(guān)系，而對(duì)有先后順序的問題卻通常以時(shí)間作相等關(guān)系，在航行問題中很多時(shí)候還用速度作相等關(guān)系。
     
    航行問題是行程問題中的一種特殊情況，其速度在不同的條件下會(huì)發(fā)生變化：①順?biāo)L(fēng)）速度=靜水（無風(fēng)）速度+水流速度（風(fēng)速）；②逆水（風(fēng)）速度=靜水（無風(fēng)）速度－水流速度（風(fēng)速）。由此可得到航行問題中一個(gè)重要等量關(guān)系：順?biāo)L(fēng)）速度－水流速度（風(fēng)速）＝逆水（風(fēng)）速度+水流速度（風(fēng)速）＝靜水（無風(fēng)）速度。
     
    例１．某隊(duì)伍450米長，以每分鐘90米速度前進(jìn)，某人從排尾到排頭取東西后，立即返回排尾，速度為3米/秒。問往返共需多少時(shí)間？
     
    講評(píng)：這一問題實(shí)際上分為兩個(gè)過程：①從排尾到排頭的過程是一個(gè)追及過程，相當(dāng)于最后一個(gè)人追上最前面的人；②從排頭回到排尾的過程則是一個(gè)相遇過程，相當(dāng)于從排頭走到與排尾的人相遇。
     
    在追及過程中，設(shè)追及的時(shí)間為x秒，隊(duì)伍行進(jìn)（即排頭）速度為90米/分=1.5米/秒，則排頭行駛的路程為1.5x米；追及者的速度為3米/秒，則追及者行駛的路程為3x米。由追及問題中的相等關(guān)系“追趕者的路程－被追者的路程=原來相隔的路程”，有：
     
                       3x－1.5x=450    ∴x=300     
     
    在相遇過程中，設(shè)相遇的時(shí)間為y秒，隊(duì)伍和返回的人速度未變，故排尾人行駛的路程為1.5y米，返回者行駛的路程為3y米，由相遇問題中的相等關(guān)系“甲行駛的路程+乙行駛的路程=總路程”有：    3y+1.5y=450    ∴y=100
     
    故往返共需的時(shí)間為  x+y=300+100=400（秒）
     
    例2 汽車從A地到B地，若每小時(shí)行駛40km，就要晚到半小時(shí)：若每小時(shí)行駛45km，就可以早到半小時(shí)。求A、B 兩地的距離。
     
    講評(píng)：先出發(fā)后到、后出發(fā)先到、快者要早到慢者要晚到等問題，我們通常都稱其為“先后問題”。在這類問題中主要考慮時(shí)間量，考察兩者的時(shí)間關(guān)系，從相隔的時(shí)間上找出相等關(guān)系。本題中，設(shè)A、B兩地的路程為x km，速度為40 km/小時(shí)，則時(shí)間為小時(shí)；速度為45 km/小時(shí)，則時(shí)間為小時(shí)，又早到與晚到之間相隔1小時(shí)，故有
     
               － = 1           ∴　x = 360
     
    例3 一艘輪船在甲、乙兩地之間行駛，順流航行需6小時(shí)，逆流航行需8小時(shí)，已知水流速度每小時(shí)2 km。求甲、乙兩地之間的距離。
     
    講評(píng)：設(shè)甲、乙兩地之間的距離為x km，則順流速度為km/小時(shí)，逆流速度為km/小時(shí)，由航行問題中的重要等量關(guān)系有：
     
    －２=  +2                ∴ x = 96
    
    

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