一次函數(shù)中的分段函數(shù)
    湖北省黃石市下陸中學(xué)　宋毓彬
    
    在函數(shù)自變量不同的取值范圍內(nèi)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系也不相同，我們這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù)。學(xué)習(xí)一次函數(shù)中的分段函數(shù)，通常應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：⑴要特別注意相應(yīng)的自變量變化區(qū)間。在解析式和圖象上都要反映出自變量的相應(yīng)取值范圍。⑵分段函數(shù)的圖象是由幾條線段（或射線）組成的折線。其中每條線段（射線）代表某一個(gè)階段的情況。⑶分析分段函數(shù)的圖象要結(jié)合實(shí)際問(wèn)題背景對(duì)圖象的意義進(jìn)行認(rèn)識(shí)和理解。尤其要理解折線中橫、縱坐標(biāo)表示的實(shí)際意義。
    ?
    一、分段計(jì)費(fèi)問(wèn)題
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    例1. 我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家之一．為了增強(qiáng)居民節(jié)水意識(shí)，某市自來(lái)水公司對(duì)居民用水采用以戶為單位分段計(jì)費(fèi)辦法收費(fèi)．即一月用水10噸以內(nèi)（包括10噸）的用戶，每噸收水費(fèi)元；一月用水超過(guò)10噸的用戶，10噸水仍按每噸元收費(fèi)，超過(guò)10噸的部分，按每噸元（b＞a）收費(fèi)．設(shè)一戶居民月用水
    噸，應(yīng)收水費(fèi)元，與之間的函數(shù)關(guān)系如圖13所示．
    ?
    
    ?
    （1）求的值；某戶居民上月用水8噸，應(yīng)收水費(fèi)多少元？
    ?
    （2）求的值，并寫出當(dāng)時(shí)，與之間的函數(shù)關(guān)系式；
    ?
    （3）已知居民甲上月比居民乙多用水4噸，兩家共收水費(fèi)46元，求他們上月分別用水多少噸？
    ?
    解析：（1）當(dāng)時(shí)，有
    ．將代入，得．∴y=1.5x
    ?
    當(dāng)x=8時(shí),y=8×1.5＝12（元）．
    ?
    （2）當(dāng)時(shí)，有
    ???? 將，代入，
    ?
    得． ∴．?故當(dāng)時(shí)，．
    ?
    （3）因，?∴甲、乙兩家上月用水均超過(guò)10噸．
    ?
    設(shè)甲、乙兩家上月用水分別為噸，噸，
    ?
    則???????? 解之，得
    
    ?
    故居民甲上月用水16噸，居民乙上月用水12噸．
    ?
    二、行程中的分段函數(shù)
    ?
    例2。一列快車從甲地駛往乙地，一列慢車從乙地駛往甲地，兩車同時(shí)出發(fā)，設(shè)慢車行駛的時(shí)間為，兩車之間的距離為，圖中的折線表示
    與之間的函數(shù)關(guān)系．
    ?
    根據(jù)圖象進(jìn)行以下探究：
    ?
    
    ?
    信息讀取
    ?
    （1）甲、乙兩地之間的距離為???????? km；
    ?
    （2）請(qǐng)解釋圖中點(diǎn)的實(shí)際意義；
    ?
    圖象理解
    ?
    （3）求慢車和快車的速度；
    ?
    （4）求線段所表示的與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；
    ?
    問(wèn)題解決
    ?
    （5）若第二列快車也從甲地出發(fā)駛往乙地，速度與第一列快車相同．在第一列快車與慢車相遇30分鐘后，第二列快車與慢車相遇．求第二列快車比第一列快車晚出發(fā)多少小時(shí)？
    ?
    解析：（1）900；
    ?
    （2）圖中點(diǎn)的實(shí)際意義是：當(dāng)慢車行駛4h時(shí)，慢車和快車相遇．
    ?
    （3）由圖象可知，慢車12h行駛的路程為900km，
    ?
    所以慢車的速度為；
    ?
    當(dāng)慢車行駛4h時(shí)，慢車和快車相遇，兩車行駛的路程之和為900km，所以慢車和快車行駛的速度之和為，所以快車的速度為150km/h．
    ?
    （4）根據(jù)題意，快車行駛900km到達(dá)乙地，所以快車行駛到達(dá)乙地，此時(shí)兩車之間的距離為，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．
    ?
    設(shè)線段所表示的
    與之間的函數(shù)關(guān)系式為，把，代入得
    ?
    ???? 解得
    
    ?
    所以，線段所表示的與之間的函數(shù)關(guān)系式為．
    ?
    自變量的取值范圍是
    ．
    ?
    （5）慢車與第一列快車相遇30分鐘后與第二列快車相遇，此時(shí)，慢車的行駛時(shí)間是4.5h．
    ?
    把代入，得．
    ?
    此時(shí)，慢車與第一列快車之間的距離等于兩列快車之間的距離是112.5km，所以兩列快車出發(fā)的間隔時(shí)間是
    ，即第二列快車比第一列快車晚出發(fā)0.75h．
    ?
    三、與幾何圖形有關(guān)的分段函數(shù)
    ?
    例3。在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始按A —B—C—D的方向運(yùn)動(dòng)到D。如圖3—1。設(shè)動(dòng)點(diǎn)P所經(jīng)過(guò)的路程為x，△APD的面積為y。（當(dāng)點(diǎn)P與A或D重合時(shí)，y=0）
    ?
    
    ?
    ⑴寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
    ?
    ⑵畫出此函數(shù)的圖象。
    ?
    解析：⑴P在邊AB、BC、CD上所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系不相同。應(yīng)分段求出相應(yīng)的函數(shù)式。
    ?
    ①P在邊AB上，0≤x＜3時(shí)，??? y=×4x=2x
    ?
    ②P在邊BC上，3≤x＜7時(shí)，y=×4×3=6
    ?
    ③P在邊CD上，7≤x≤10時(shí)，y=×4（10-x）=-2x+20
    ?
    ∴y=
    ?
    ⑵函數(shù)圖象如圖3—2。
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