分式運(yùn)算的技巧
    
    
    
    【精練】計(jì)算：
    
    【分析】本題中有四個(gè)分式相加減，如果采用直接通分化成同分母的分式相加減，公分母比較復(fù)雜，其運(yùn)算難度較大.不過我們注意到若把前兩個(gè)分式相加，其結(jié)果卻是非常簡單的.因此我們可以采用逐項(xiàng)相加的辦法.
    
    【解】=
    
    ????????????????????????????? =
    ????????????????????????????? =
    【知識(shí)大串聯(lián)】
    ??? 1．分式的有關(guān)概念
    ??? 設(shè)A、B表示兩個(gè)整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能為零，否則分式?jīng)]有意義
    ??? 分子與分母沒有公因式的分式叫做最簡分式．如果分子分母有公因式，要進(jìn)行約分化簡
    2、分式的基本性質(zhì)
    ?（M為不等于零的整式）
    3．分式的運(yùn)算
    ? (分式的運(yùn)算法則與分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則類似)．
    ??
    ?(異分母相加，先通分)；??
    4．零指數(shù)?
    5．負(fù)整數(shù)指數(shù)?
    注意正整數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)??
    可以推廣到整數(shù)指數(shù)冪，也就是上述等式中的m、 n可以是O或負(fù)整數(shù)．
    分式是初中代數(shù)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，其運(yùn)算綜合性強(qiáng)，技巧性大，如果方法選取不當(dāng)，不僅使解題過程復(fù)雜化，而且出錯(cuò)率高．下面通過例子來說明分式運(yùn)算中的種種策略，供同學(xué)們學(xué)習(xí)參考．
    1．順次相加法
    例1：計(jì)算：
    【分析】本題的解法與例1完全一樣.
    【解】=
    ????????????????????????????? =
    
    ???????????????????????? ?????=
    2．整體通分法
    【例2】計(jì)算：
    【分析】本題是一個(gè)分式與整式的加減運(yùn)算.如能把（-a-1）看作一個(gè)整體，并提取“-”后在通分會(huì)使運(yùn)算更加簡便.通常我們把整式看作分母是1的分式.
    【解】
    ==.
    3．化簡后通分
    
    分析：直接通分，極其繁瑣，不過，各個(gè)分式并非最簡分式，有化簡的余地，顯然，化簡后再通分計(jì)算會(huì)方便許多．
    
    
    4．巧用拆項(xiàng)法
    例4計(jì)算：.
    分析：本題的10個(gè)分式相加，無法通分，而式子的特點(diǎn)是：每個(gè)分式的分母都是兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的積（若a是整數(shù)），聯(lián)想到，這樣可抵消一些項(xiàng).
    解：原式=
    ????????? =
    ????????? ==
    5．分組運(yùn)算法
    例5：計(jì)算：
    
    分析：本題項(xiàng)數(shù)較多，分母不相同.因此，在進(jìn)行加減時(shí)，可考慮分組.分組的原則是使各組運(yùn)算后的結(jié)果能出現(xiàn)分子為常數(shù)、相同或倍數(shù)關(guān)系，這樣才能使運(yùn)算簡便.
    解：
    ???? =
    ???? =
    ???? =
    
    ???? =
    ???? =
    【錯(cuò)題警示】
    一、錯(cuò)用分式的基本性質(zhì)
    例1????????? 化簡
    錯(cuò)解：原式
    分析：分式的基本性質(zhì)是“分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變”，而此題分子乘以3，分母乘以2，違反了分式的基本性質(zhì).
    正解：原式
    二、錯(cuò)在顛倒運(yùn)算順序
    例2???????? 計(jì)算
    錯(cuò)解：原式
    分析：乘除是同一級(jí)運(yùn)算，除在前應(yīng)先做除，上述錯(cuò)解顛倒了運(yùn)算順序，致使結(jié)果出現(xiàn)錯(cuò)誤.
    正解：原式
    三、錯(cuò)在約分
    例1? 當(dāng)為何值時(shí)，分式有意義？
    [錯(cuò)解]原式.
    由得.
    ∴時(shí)，分式有意義.
    [解析]上述解法錯(cuò)在約分這一步，由于約去了分子、分母的公因式，擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍，而導(dǎo)致錯(cuò)誤.
    [正解]由得且
    .
    ∴當(dāng)且，分式有意義.
    四、錯(cuò)在以偏概全
    例2? 為何值時(shí)，分式有意義？
    [錯(cuò)解]當(dāng)，得.
    ∴當(dāng)，原分式有意義.
    [解析]上述解法中只考慮的分母，沒有注意整個(gè)分母，犯了以偏概全的錯(cuò)誤.
    [正解]
    ，得，
    由，得.
    ∴當(dāng)且時(shí)，原分式有意義.
    五、錯(cuò)在計(jì)算去分母
    例3? 計(jì)算.
    [錯(cuò)解]原式
    =.
    [解析]上述解法把分式通分與解方程混淆了，分式計(jì)算是等值代換，不能去分母，.
    [正解]原式
    .
    六、錯(cuò)在只考慮分子沒有顧及分母
    例4? 當(dāng)為何值時(shí)，分式的值為零.
    [錯(cuò)解]由，得.
    ∴當(dāng)
    或時(shí)，原分式的值為零.
    [解析]當(dāng)時(shí)，分式的分母，分式無意義，談不上有值存在，出錯(cuò)的原因是忽視了分母不能為零的條件.
    [正解]由由，得.
    由，得且.
    ∴當(dāng)時(shí)，原分式的值為零.
    七、錯(cuò)在“且”與“或”的用法
    例7? 為何值時(shí)，分式
    有意義
    錯(cuò)解：要使分式有意義，須滿足，即.
    由得，或由得
    .
     當(dāng)或時(shí)原分式有意義.
    分析：上述解法由得或
    是錯(cuò)誤的.因?yàn)?sub>與中的一個(gè)式子成立并不能保證一定成立，只有與同時(shí)成立，才能保證一定成立.
    故本題的正確答案是且.
    八、錯(cuò)在忽視特殊情況
    例8????????? 解關(guān)于的方程.
    錯(cuò)解：方程兩邊同時(shí)乘以，得
    ，即.
    當(dāng)時(shí)，，
    當(dāng)時(shí)，原方程無解.
    分析：當(dāng)時(shí)，原方程變?yōu)?sub>
    取任何值都不能滿足這個(gè)方程，錯(cuò)解只注意了對(duì)的討論，而忽視了的特殊情況的討論.
    正解：方程兩邊同時(shí)乘以，得，即
    當(dāng)且時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，原方程無解.
    
    【分析】本題中有四個(gè)分式相加減，如果采用直接通分化成同分母的分式相加減，公分母比較復(fù)雜，其運(yùn)算難度較大.不過我們注意到若把前兩個(gè)分式相加，其結(jié)果卻是非常簡單的.因此我們可以采用逐項(xiàng)相加的辦法.
    【解】=
    
    ????????????????????????????? =
    ????????????????????????????? =
    
    【知識(shí)大串聯(lián)】
    ??? 1．分式的有關(guān)概念
    ??? 設(shè)A、B表示兩個(gè)整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能為零，否則分式?jīng)]有意義
    ??? 分子與分母沒有公因式的分式叫做最簡分式．如果分子分母有公因式，要進(jìn)行約分化簡
    2、分式的基本性質(zhì)
    ?（M為不等于零的整式）
    3．分式的運(yùn)算
    ? (分式的運(yùn)算法則與分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則類似)．
    ?? ?(異分母相加，先通分)；
    ??
    4．零指數(shù)?
    5．負(fù)整數(shù)指數(shù)?
    
    注意正整數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)??
    可以推廣到整數(shù)指數(shù)冪，也就是上述等式中的m、 n可以是O或負(fù)整數(shù)．
    分式是初中代數(shù)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，其運(yùn)算綜合性強(qiáng)，技巧性大，如果方法選取不當(dāng)，不僅使解題過程復(fù)雜化，而且出錯(cuò)率高．下面通過例子來說明分式運(yùn)算中的種種策略，供同學(xué)們學(xué)習(xí)參考．
    1．順次相加法
    例1：計(jì)算：
    【分析】本題的解法與例1完全一樣.
    【解】=
    ????????????????????????????? =
    ???????????????????????? ?????=
    2．整體通分法
    【例2】計(jì)算：
    【分析】本題是一個(gè)分式與整式的加減運(yùn)算.如能把（-a-1）看作一個(gè)整體，并提取“-”后在通分會(huì)使運(yùn)算更加簡便.通常我們把整式看作分母是1的分式.
    【解】=
    =.
    3．化簡后通分
    
    分析：直接通分，極其繁瑣，不過，各個(gè)分式并非最簡分式，有化簡的余地，顯然，化簡后再通分計(jì)算會(huì)方便許多．
    
    
    4．巧用拆項(xiàng)法
    例4計(jì)算：.
    分析：本題的10個(gè)分式相加，無法通分，而式子的特點(diǎn)是：每個(gè)分式的分母都是兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的積（若a是整數(shù)），聯(lián)想到，這樣可抵消一些項(xiàng).
    解：原式
    =
    ????????? =
    ????????? ==
    
    5．分組運(yùn)算法
    例5：計(jì)算：
    分析：本題項(xiàng)數(shù)較多，分母不相同.因此，在進(jìn)行加減時(shí)，可考慮分組.分組的原則是使各組運(yùn)算后的結(jié)果能出現(xiàn)分子為常數(shù)、相同或倍數(shù)關(guān)系，這樣才能使運(yùn)算簡便.
    解：
    ???? =
    ???? =
    ???? =
    ???? =
    ???? =
    【錯(cuò)題警示】
    一、錯(cuò)用分式的基本性質(zhì)
    例1????????? 化簡
    錯(cuò)解：原式
    
    分析：分式的基本性質(zhì)是“分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變”，而此題分子乘以3，分母乘以2，違反了分式的基本性質(zhì).
    正解：原式
    
    二、錯(cuò)在顛倒運(yùn)算順序
    例2???????? 計(jì)算
    錯(cuò)解：原式
    
    分析：乘除是同一級(jí)運(yùn)算，除在前應(yīng)先做除，上述錯(cuò)解顛倒了運(yùn)算順序，致使結(jié)果出現(xiàn)錯(cuò)誤.
    正解：原式
    三、錯(cuò)在約分
    例1? 當(dāng)為何值時(shí)，分式有意義？
    [錯(cuò)解]原式.
    由得.
    ∴時(shí)，分式
    有意義.
    [解析]上述解法錯(cuò)在約分這一步，由于約去了分子、分母的公因式，擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍，而導(dǎo)致錯(cuò)誤.
    [正解]由得
    且.
    ∴當(dāng)且
    ，分式有意義.
    四、錯(cuò)在以偏概全
    例2? 為何值時(shí)，分式
    有意義？
    [錯(cuò)解]當(dāng)，得.
    ∴當(dāng)，原分式有意義.
    [解析]上述解法中只考慮的分母，沒有注意整個(gè)分母，犯了以偏概全的錯(cuò)誤.
    [正解] ，得，
    由，得
    .
    ∴當(dāng)且時(shí)，原分式有意義.
    五、錯(cuò)在計(jì)算去分母
    例3? 計(jì)算.
    [錯(cuò)解]原式
    =.
    [解析]上述解法把分式通分與解方程混淆了，分式計(jì)算是等值代換，不能去分母，.
    [正解]原式
    .
    六、錯(cuò)在只考慮分子沒有顧及分母
    例4? 當(dāng)為何值時(shí)，分式的值為零.
    [錯(cuò)解]由，得
    .
    ∴當(dāng)或時(shí)，原分式的值為零.
    [解析]當(dāng)時(shí)，分式的分母，分式無意義，談不上有值存在，出錯(cuò)的原因是忽視了分母不能為零的條件.
    [正解]由由，得
    .
    由，得且
    .
    ∴當(dāng)時(shí)，原分式的值為零.
    七、錯(cuò)在“且”與“或”的用法
    例7? 為何值時(shí)，分式
    有意義
    錯(cuò)解：要使分式有意義，須滿足，即
    .
    由得，或由
    得.
     當(dāng)
    或時(shí)原分式有意義.
    分析：上述解法由得
    或是錯(cuò)誤的.因?yàn)?sub>與中的一個(gè)式子成立并不能保證一定成立，只有與同時(shí)成立，才能保證一定成立.
    故本題的正確答案是且
    .
    八、錯(cuò)在忽視特殊情況
    例8????????? 解關(guān)于的方程
    .
    錯(cuò)解：方程兩邊同時(shí)乘以，得，即
    .
    當(dāng)時(shí)，，
    當(dāng)時(shí)，原方程無解.
    分析：當(dāng)時(shí)，原方程變?yōu)?sub>取任何值都不能滿足這個(gè)方程，錯(cuò)解只注意了對(duì)
    的討論，而忽視了的特殊情況的討論.
    正解：方程兩邊同時(shí)乘以，得
    ，即
    當(dāng)且時(shí)，
    ，當(dāng)或時(shí)，原方程無解.
    

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