在我省近年的中考數(shù)學(xué)試卷中，有一類試題被反復(fù)考查，這就是規(guī)律探究題。在2007年至2011年的近五年中考中都無一例外進(jìn)行了考查。其中2007年的第21題(分值12分)、2008年的第18題(分值8分)、2009年的第17題(分值8分)、2010年的第9題(分值4分)、2011年的第18題(分值8分)都屬于此類問題。由此我們不難發(fā)現(xiàn)這種問題是不折不扣的高頻熱點(diǎn)題型。
    規(guī)律探究題一般是在特定的背景、情境或某些條件下(可以是關(guān)系式、有規(guī)律的數(shù)或式、特定的生活情景、流程圖、某種特征的圖形、圖案或圖表)，通過認(rèn)真分析，仔細(xì)觀察，提取相關(guān)的數(shù)據(jù)、信息，進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆治觥⒕C合歸納，作出大膽猜想，得出結(jié)論，進(jìn)而加以驗(yàn)證或解決問題的數(shù)學(xué)探索題。其解題思維過程是：從特殊情況入手→探索發(fā)現(xiàn)規(guī)律→綜合歸納→猜想得出結(jié)論→驗(yàn)證結(jié)論。由于規(guī)律探究題的命題背景極其豐富多樣，解題過程中一般需要?jiǎng)?chuàng)造性地進(jìn)行思考，所以同學(xué)們在求解時(shí)覺得較難把握。下面我們通過近年的典型試題例析這種試題的解題方法，希望對同學(xué)們有所幫助。
    例1.(2009年第17題)觀察下列等式：
    (1)猜想并寫出第n個(gè)等式;
    (2)證明你寫出的等式的正確性。
    【分析】(1)通過觀察，可以發(fā)現(xiàn)這一組等式結(jié)構(gòu)是相同的，顯然這種不變的結(jié)構(gòu)在猜想的第n個(gè)等式中必須得到保留;而變化的部分呈現(xiàn)一種序列的變化規(guī)律，這種變化規(guī)律一般與正整數(shù)序列(有時(shí)是自然數(shù)序列或相關(guān)序列)相關(guān)，因此我們要做的就是把這種規(guī)律用含n的式子加以表示即可。
    (2)要證明一個(gè)猜想的等式成立，只要證明其左邊等于右邊即可。因此可以選擇從待證等式的一邊出發(fā)經(jīng)過合理的變形得出另一邊(有時(shí)也可能是分別對兩邊進(jìn)行合理的變形，得出都等于相同的中間量)。
    【解】(1)猜想： (n為正整數(shù))
    例2.(2010年第9題)下面兩個(gè)多位數(shù)1248624……、6248624……，都是按照如下方法得到的：將第一位數(shù)字乘以2，若積為一位數(shù)，將其寫在第2位上，若積為兩位數(shù)，則將其個(gè)位數(shù)字寫在第2位，對第2位數(shù)字再進(jìn)行如上操作得到第3位數(shù)字……后面的每一位數(shù)字都是由前一位數(shù)字進(jìn)行如上操作得到的。當(dāng)?shù)?位數(shù)字是3時(shí)，仍按如上操作得到一個(gè)多位數(shù)，則這個(gè)多位數(shù)前100位的所有數(shù)字之和是( )
    A)495 B)497 C)501 D)503
    【分析】要得到這個(gè)多位數(shù)前100位的所有數(shù)字之和，必須知道各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字的排列規(guī)律。因此必須按照這種多位數(shù)的構(gòu)造方法進(jìn)行必要的嘗試，進(jìn)而可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)數(shù)是36248624……也就是說，從左起第2位數(shù)字起按6、2、4、8進(jìn)行循環(huán)排列，所以前100位的所有數(shù)字之和是3+(6+2+4+8)×24+6+2+4=495。故選A。這個(gè)問題中呈現(xiàn)的規(guī)律是一個(gè)周期性的變化規(guī)律，解題時(shí)要通過操作(計(jì)算，推理)直到得出特定對象重復(fù)出現(xiàn)，進(jìn)而找出“循環(huán)節(jié)”，從而完成對問題的求解。
    【解】 A
    例3.(2011年第18題)在平面直角坐標(biāo)系中，一螞蟻從原點(diǎn)O出發(fā)，按向上、向右、向下、向右的方向依次不斷移動(dòng)，每次移動(dòng)1個(gè)單位，其行走路線如下圖所示。
    (1)填寫下列各點(diǎn)的坐標(biāo)：A4( ，
    )、A8( ， )、
    A12( ， );
    (2)寫出點(diǎn)A4n的坐標(biāo)(n是正整數(shù));
    (3)指出螞蟻從點(diǎn)A100到點(diǎn)A101的移動(dòng)方向。
    【分析】(1)不難通過讀圖，在平面直角坐標(biāo)系中直接找出點(diǎn)A4、A8、A12的坐標(biāo);
    (2)從(1)的答案結(jié)合圖形的排列，不難發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)含的序列變化規(guī)律。值得一提的是本題中既表現(xiàn)出明顯的序列變化規(guī)律，在局部又存在一定的周期變化規(guī)律，要考慮周全。
    (3)第(3)小題是第(2)小題中的周期變化規(guī)律的運(yùn)用，在局部總有從A4n向上移動(dòng)1個(gè)單位到A4n+1再向右移動(dòng)1個(gè)單位到A4n+2再向下移動(dòng)1個(gè)單位到A4n+3的規(guī)律。由此點(diǎn)A100到點(diǎn)A101的移動(dòng)方向是向上。
    【解】⑴A4(2,0) A8(4,0) A12(6,0);
    ⑵ A4n (2n,0);
    ⑶向上
    綜上，規(guī)律探究題要求我們能在一定的背景或特定的條件(已知條件或所提供的若干個(gè)特例)下，通過觀察、分析、比較、概括、歸納和猜想，從中發(fā)現(xiàn)有關(guān)數(shù)學(xué)對象所具有的某種規(guī)律或不變性的結(jié)論和數(shù)學(xué)本質(zhì)的內(nèi)容，進(jìn)而利用這個(gè)規(guī)律或結(jié)論進(jìn)一步解決相關(guān)的實(shí)際問題。一般的解題思路是通過觀察，進(jìn)而尋找規(guī)律，猜想出相關(guān)的結(jié)論并加以驗(yàn)證?？煽偨Y(jié)為“認(rèn)真觀察(變化的與不變的)、大膽猜想(序列變化規(guī)律還是周期變化規(guī)律)、仔細(xì)驗(yàn)證(猜想的規(guī)律是否正確)”。
    ?
    

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