解析幾何中求參數(shù)取值范圍的方法
    近幾年來(lái)，與解析幾何有關(guān)的參數(shù)取值范圍的問(wèn)題經(jīng)常出現(xiàn)在高考考試中，這類問(wèn)題不僅涉及知識(shí)面廣，綜合性大，應(yīng)用性強(qiáng)，而且情景新穎，能很好地考查學(xué)生的創(chuàng)新能力和潛在的數(shù)學(xué)素質(zhì)，是歷年來(lái)高考命題的熱點(diǎn)和重點(diǎn)。學(xué)生在處理這類問(wèn)題時(shí)，往往抓不住問(wèn)題關(guān)鍵，無(wú)法有效地解答，這類問(wèn)題求解的關(guān)鍵在于根據(jù)題意，構(gòu)造相關(guān)的不等式，然后求出不等式的解。那么，如何構(gòu)造不等式呢?本文介紹幾種常見(jiàn)的方法：
    一、利用曲線方程中變量的范圍構(gòu)造不等式
    曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)往往有一定的變化范圍，如橢圓 x2a2 + y2b2 = 1上的點(diǎn)P(x，y)滿足-a≤x≤a，-b≤y≤b，因而可利用這些范圍來(lái)構(gòu)造不等式求解，另外，也常出現(xiàn)題中有多個(gè)變量，變量之間有一定的關(guān)系，往往需要將要求的參數(shù)去表示已知的變量或建立起適當(dāng)?shù)牟坏仁?，再?lái)求解.這是解決變量取值范圍常見(jiàn)的策略和方法。
    例1 已知橢圓 x2a2 + y2b2 = 1 (a>b>0)， A，B是橢圓上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)P(x0 ， 0)
    求證:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a
    分析:先求線段AB的垂直平分線方程，求出x0與A，B橫坐標(biāo)的關(guān)系，再利用橢圓上的點(diǎn)A，B滿足的范圍求解.
    解: 設(shè)A，B坐標(biāo)分別為(x1，y1) ，(x2，y2)，(x1≠x2)代入橢圓方程，作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 x2+x1 y2+y1
    又∵線段AB的垂直平分線方程為
    y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 (x-x1+x22 )
    令y=0得 x0=x1+x22 a2-b2a2
    又∵A，B是橢圓x2a2 + y2b2 = 1 上的點(diǎn)
    ∴-a≤x1≤a， -a≤x2≤a， x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a
    ∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a
    例2 如圖，已知△OFQ的面積為S，且OF FQ=1，若 12 < S <2 ，求向量OF與FQ的夾角θ的取值范圍.
    分析:須通過(guò)題中條件建立夾角θ與變量S的關(guān)系，利用S的范圍解題。
    解: 依題意有
    ∴tanθ=2S
    ∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4
    又∵0≤θ≤π
    ∴π4 <θ< p>
    例3對(duì)于拋物線y2=4x上任一點(diǎn)Q，點(diǎn)P(a，0)都滿足|PQ|≥|a|，則a的取值范圍是
    A a<0 B a≤2 C 0≤a≤2 D 0<2< p>
    分析:直接設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)，利用題中不等式|PQ|≥|a| 求解.
    解: 設(shè)Q( y024 ，y0) 由|PQ| ≥a
    得y02+( y024 -a)2≥a2 即y02(y02+16-8a) ≥0
    ∵y02≥0 ∴(y02+16-8a) ≥0即a≤2+ y028 恒成立
    又∵ y02≥0
    而 2+ y028 最小值為2 ∴a≤2 選( B )
    二、利用判別式構(gòu)造不等式
    在解析幾何中，直線與曲線之間的位置關(guān)系，可以轉(zhuǎn)化為一元二次方程的解的問(wèn)題，因此可利用判別式來(lái)構(gòu)造不等式求解。
    例4設(shè)拋物線y2 = 8x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q，若過(guò)點(diǎn)Q的直線L與拋物線有公共點(diǎn)，則直線L的斜率取值范圍是
    A [-12 ，12 ] B [-2，2] C [-1，1] D [-4，4]
    分析:由于直線l與拋物線有公共點(diǎn)，等價(jià)于一元二次方程有解，則判別式△≥0
    解:依題意知Q坐標(biāo)為(-2，0) ， 則直線L的方程為y = k(x+2)
    由 得 k2x2+(4k2-8)x+4k2 = 0
    ∵直線L與拋物線有公共點(diǎn)
    ∴△≥0 即k2≤1 解得-1≤k≤1 故選 (C)
    例5 直線L: y = kx+1與雙曲線C: 2x2-y2 = 1的右支交于不同的兩點(diǎn)A、B，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。
    分析:利用直線方程和雙曲線方程得到x的一元二次方程，由于直線與右支交于不同兩點(diǎn)，則△>0，同時(shí)，還需考慮右支上點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍來(lái)建立關(guān)于k的不等式。
    解：由 得 (k2-2)x2 +2kx+2 = 0
    ∵直線與雙曲線的右支交于不同兩點(diǎn)，則　　解得 -2<-2< p>
    四、利用三角函數(shù)的有界性構(gòu)造不等式
    曲線的參數(shù)方程與三角函數(shù)有關(guān)，因而可利用把曲線方程轉(zhuǎn)化為含有三角函數(shù)的方程，后利用三角函數(shù)的有界性構(gòu)造不等式求解。
    例8 若橢圓x2+4(y-a)2 = 4與拋物線x2=2y有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
    分析: 利用橢圓的參數(shù)方程及拋物線方程，得到實(shí)數(shù)a與參數(shù)θ的關(guān)系，再利用三角函數(shù)的有界性確定a的取值情況。
    解：設(shè)橢圓的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù))
    代入x2=2y 得
    4cos2θ= 2(a+sinθ)
    ∴a = 2cos2θ-sinθ=-2(sinθ+ 14 )2+ 178
    又∵-1≤sinθ≤1，∴-1≤a≤178
    例9 已知圓C：x2 +(y-1)2= 1上的點(diǎn)P(m，n)，使得不等式m+n+c≥0恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍
    分析:把圓方程變?yōu)閰?shù)方程，利用三角函數(shù)的有界性，確定m+n的取值情況，再確定c的取值范圍。
    解：∵點(diǎn)P在圓上，∴m = cosβ，n = 1+sinβ(β為參數(shù))
    ∵m+n = cosβ+1+sinβ = 2 sin(β+ π4 )+1
    ∴m+n最小值為1-2 ，
    ∴-(m+n)最大值為2 -1
    又∵要使得不等式c≥-(m+n) 恒成立
    ∴c≥2 -1
    五、利用離心率構(gòu)造不等式
    我們知道，橢圓離心率e∈(0，1)，拋物線離心率e = 1，雙曲線離心率e>1，因而可利用這些特點(diǎn)來(lái)構(gòu)造相關(guān)不等式求解。
    例10已知雙曲線x2-3y2 = 3的右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線為L(zhǎng)，直線y=kx+3通過(guò)以F為焦點(diǎn)，L為相應(yīng)準(zhǔn)線的橢圓中心，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
    分析:由于橢圓中心不在原點(diǎn)，故先設(shè)橢圓中心，再找出橢圓中各量的關(guān)系，再利用橢圓離心率0<1，建立相關(guān)不等式關(guān)系求解.
    解：依題意得F的坐標(biāo)為(2，0)，L:x = 32
    設(shè)橢圓中心為(m，0)，則 m-2 =c和 m-32 = a2c
    兩式相除得: m-2m-32 = c2a2 = e2
    ∵0<1，∴0<1，解得m>2，
    又∵當(dāng)橢圓中心(m，0)在直線y=kx+3上，
    ∴0 = km+3 ，即m = - 3k ，
    ∴- 3k >2，解得-32 <0< p>
    上面是處理解析幾何中求參數(shù)取值范圍問(wèn)題的幾種思路和求法，希望通過(guò)以上的介紹，能讓同學(xué)們了解這類問(wèn)題的常用求法，并能認(rèn)真體會(huì)、理解掌握，在以后的學(xué)習(xí)過(guò)程中能夠靈活運(yùn)用。
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