例：四人進(jìn)行籃球傳接球練習(xí)，要求每人接球后再傳給別人。開(kāi)始由甲發(fā)球，并作為第一次傳球，若第五次傳球后，球又回到甲手中，則共有多少種傳球方式？
A.60種 B.65種 C.70種 D.75種
【解析一】五次傳球傳回甲，中間將經(jīng)過(guò)四個(gè)人，將其分為兩類(lèi)：
第一類(lèi)：傳球的過(guò)程中不經(jīng)過(guò)甲，甲→___→___→___→___→甲___→甲，共有方法3×2×2×2＝24種
第二類(lèi)：傳球的過(guò)程中經(jīng)過(guò)甲，
①甲→___→___→甲→___→甲，共有方法3×2×1×3＝18種
②甲→___→甲→___→___→甲，共有方法3×1×3×2＝18種
根據(jù)加法原理：共有不同的傳球方式24+18+18＝60種
【解析二】注意到：N次傳球，所有可能的傳法總數(shù)為3（每次傳球有3種方法），第N次傳回甲手中的可能性就是第N-1次不在甲手中的可能性。
| 第N次傳球 | 傳球的方法 | 球在甲手中的傳球方法 | 球不在甲手中的傳球方 |
| 1 | 3 | 0 | 3 |
| 2 | 9 | 3 | 6 |
| 3 | 27 | 6 | 21 |
| 4 | 81 | 21 | 60 |
| 5 | 243 | 60 | 183 |
從表中可知，經(jīng)過(guò)5次傳球后，球仍回甲手的方法共有60種，故選A項(xiàng)。
【解析三】我們很容易算出來(lái)，四個(gè)人傳五次球一共有35＝243種傳法，由于一共有4個(gè)人，所以平均傳給每一個(gè)人的傳法是243÷4＝60.75，最接近的就是60，選擇A。
傳球問(wèn)題核心注釋
這道傳球問(wèn)題是一道非常復(fù)雜麻煩的排列組合問(wèn)題?！窘馕鲆弧渴亲钪庇^、最容易理解的，但耗時(shí)耗力并且容易錯(cuò)，稍微應(yīng)運(yùn)數(shù)字計(jì)算量可能陡增；【解析二】操作性強(qiáng)，可以解決這種類(lèi)型的種問(wèn)題，但理解起來(lái)要求比較高，具體考場(chǎng)之上也比較耗時(shí)；【解析二】不免投機(jī)取巧，但最有效果（根據(jù)對(duì)稱(chēng)性很容易判斷結(jié)果應(yīng)該是3的倍數(shù)，如果答案只有一個(gè)3的倍數(shù)，便能快速得到答案），也給了一個(gè)啟發(fā)—
傳球問(wèn)題核心公式
N個(gè)人傳M次球，記X＝（N-1）M/N，則與X最接近的整數(shù)為傳給“非自己的某人”的方法數(shù)，與X第二接近的整數(shù)便是傳給自己的方法數(shù)。大家牢記一條公式，可以解決此類(lèi)至少三人傳球的所有問(wèn)題。
比如說(shuō)上例之中，X＝（4-1）5、4＝60.75，最接近的整數(shù)是61，第二接近的整數(shù)是60，所以傳回甲自己的方法數(shù)為60種，而傳給乙（或者丙、?。┑姆椒〝?shù)為61。
題：某人去A、B、C、D、E五個(gè)城市旅游，第一天去A城市，第七天到E城市，如果他今天在某個(gè)城市，那么第二天肯定會(huì)離開(kāi)這個(gè)城市去另外一個(gè)城市，那么他一共有多少種旅游行程安排的方式？
A.204 B.205 C.819 D.820
【答案】C。相當(dāng)于五個(gè)人傳六次球，根據(jù)“傳球問(wèn)題核心公式”，X＝（5-1）6/5＝819.2，與之最接近的是819，第二接近的是820。因此若第七天回到A城市則有820種方法，去另外一個(gè)城市則有819種方法。
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