甲班和乙班，在數(shù)學(xué)期終考試中，考一樣的題目，哪一個(gè)班考得好呢？
把每一個(gè)班所有人的得分加起來(lái)，然后除以這個(gè)班的人數(shù)，就得出這個(gè)班的平均分?jǐn)?shù).哪一個(gè)班平均分?jǐn)?shù)高，就算哪一個(gè)班考得好。
籃球隊(duì)員的身材都很高，一個(gè)隊(duì)里還是有高有矮，哪個(gè)籃球隊(duì)身材更高呢？
把一個(gè)隊(duì)所有隊(duì)員的身高數(shù)加起來(lái)，再除以全隊(duì)人數(shù)，就算出這個(gè)隊(duì)的平均身高.通常，用平均身高來(lái)衡量一個(gè)球隊(duì)的身材高矮.
要衡量“若干個(gè)數(shù)”的大小，常用的辦法就是求它們的平均值.
求平均值有兩種方法，我們通過(guò)一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明.
例1一學(xué)期中進(jìn)行了五次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)，小明的得分是
95，87，94，100，98.
那么他的平均成績(jī)是多少？
解：方法1把所有分?jǐn)?shù)加起來(lái)，除以次數(shù)，即
（95＋87＋94＋100＋98）÷5＝94.8.
方法2 先設(shè)一個(gè)基數(shù)，通常設(shè)其中最小的數(shù)，例如本題設(shè)87為基數(shù)，求其他數(shù)與87的差，再求這些差的平均值，最后加上基數(shù)，即
[（95-87）+（87-87）+（94-87）+（100-87）+（98-87）]÷5+87
=（8+0+7+13+11）÷5+87
=7.8+87
=94.8.
對(duì)若干個(gè)數(shù)求平均數(shù)，概括成以下兩種方法.
方法1：各個(gè)數(shù)的總和÷數(shù)的個(gè)數(shù)
方法2：基數(shù)+每一數(shù)與基數(shù)的差求和÷數(shù)的個(gè)數(shù).
這兩種方法將形成兩種解題思路.
方法2的好處是使計(jì)算的數(shù)值減小，減少計(jì)算量，特別便于心算.當(dāng)然，也可以設(shè)其他的數(shù)為基數(shù).進(jìn)入中學(xué)后，學(xué)了負(fù)數(shù)，我們還可以設(shè)中間的那個(gè)數(shù)作為基數(shù).方法2啟示我們，求平均數(shù)就是把數(shù)之間的“差”扯平.
一、一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題
求平均數(shù)可以產(chǎn)生許多數(shù)學(xué)題，這一節(jié)將通過(guò)一些簡(jiǎn)單的例子，增加對(duì)“平均”這一概念的理解.
例2小明4次語(yǔ)文測(cè)驗(yàn)的平均成績(jī)是89分，第5次測(cè)驗(yàn)得了97分，5次測(cè)驗(yàn)的平均成績(jī)是多少？
解：按照例1中的兩種思路，有兩種計(jì)算方法：先算出5次成績(jī)的總和，再求平均成績(jī)，就有
（89×4+97）÷5=90.6（分）.
從算每一次“差”的平均入手，就有
89+（97-89）÷5=90.6（分）.
很明顯，第二種方法計(jì)算簡(jiǎn)易.
例3小強(qiáng)4次語(yǔ)文測(cè)驗(yàn)的平均成績(jī)是87分，5次語(yǔ)文測(cè)驗(yàn)的平均成績(jī)是88.4分，問(wèn)第5次測(cè)驗(yàn)他得了多少分？
解：兩種思路，兩種計(jì)算方法：
從總分?jǐn)?shù)（總成績(jī)）來(lái)考慮.
第5次成績(jī)=5次總成績(jī)-4次總成績(jī)
=88.4×5-87×4
=94（分）.
從“差的平均”來(lái)考慮，平均成績(jī)要提高
88.4-87.
因此，第5次得分應(yīng)是
87+（88.4-87）×5=94（分）.
請(qǐng)大家想一想，例2與例3這兩個(gè)問(wèn)題之間的關(guān)系.
例4小明前幾次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)的平均成績(jī)是84分，這一次要考100分，才能把平均成績(jī)提高到86分，問(wèn)這一次是第幾次測(cè)驗(yàn)？
解：平均每次要提高（86-84）分，這一次比原來(lái)的平均成績(jī)多了（100-84）分，平均分?jǐn)傇诿恳淮紊?，可以分?jǐn)偠嗌俅文兀?BR> （100-84）÷（86-84）=8（次）.
因此這一次測(cè)驗(yàn)是第8次.
例5寒假中，小明興致勃勃地讀《西游記》，第一天讀83頁(yè)，第二天讀74頁(yè)，第三天讀71頁(yè)，第四天讀64頁(yè)，第五天讀的頁(yè)數(shù)，比五天中平均讀的頁(yè)數(shù)還多3.2頁(yè)，問(wèn)小明在第五天讀了多少頁(yè)？
解：前四天，每天平均讀的頁(yè)數(shù)是
（83+74+71+64）÷4=73（頁(yè)）.
很明顯，第五天讀的頁(yè)數(shù)比73頁(yè)多，由此平均數(shù)就增加了.為了便于思考，畫(huà)出下面的示意圖：
圖上“73”后面的虛線，表示第五天后增加的平均數(shù)，現(xiàn)在要用3.2去補(bǔ)足這些增加的平均數(shù)值，3.2共要補(bǔ)足四份，每份是
3.5÷4=0.8.
由此就知道，第五天讀的頁(yè)數(shù)是
73+0.8+3.2=77（頁(yè)）.
例6 甲、乙、丙三人，平均體重63千克.甲與乙的平均體重比丙的體重多3千克，甲比丙重2千克.求乙的體重.
解：甲與乙的平均體重比丙的體重多3千克，也就是甲與乙的體重之和比兩個(gè)丙的體重多3×2=6（千克）.已知甲比丙重2千克，就得出乙比丙多
3×2-2=4（千克）.
從方法2知道
丙的體重+差的平均=三人的平均體重.
因此，丙的體重=63-（3×2）÷3
=61（千克）.
乙的體重＝61+4=65（千克）.
例7下面是一串有規(guī)律的數(shù)
5，9，13，17，21，25，29.
從小到大排到，后一個(gè)數(shù)與前一個(gè)數(shù)的差都是4，求這串?dāng)?shù)的平均數(shù).
解：上面共有7個(gè)數(shù)，第2個(gè)數(shù)比第1個(gè)數(shù)多4，而第6個(gè)數(shù)比第7個(gè)數(shù)少4.因此，第1個(gè)和第7個(gè)的平均數(shù)（5+29）÷2=17，與第2個(gè)和第6個(gè)的平均數(shù)（9+25）÷2=17是相等的.同樣道理，第3個(gè)和第5個(gè)的平均數(shù)也是17.由此，可以得出這串?dāng)?shù)的平均數(shù)，就是頭、尾兩數(shù)的平均值17.
當(dāng)把一些數(shù)排列好前后次序，相鄰的兩個(gè)數(shù)，后一個(gè)減前一個(gè)的差都相等，這列數(shù)，就稱為等差數(shù)列.例7中的這串?dāng)?shù)就是一個(gè)等差數(shù)列.等差數(shù)列可長(zhǎng)可短，不論它有多少數(shù)，總有一個(gè)基本性質(zhì)：它的所有數(shù)的平均數(shù)，就是頭、尾兩數(shù)的平均數(shù).很明顯，當(dāng)?shù)炔顢?shù)列有奇數(shù)個(gè)數(shù)時(shí)，這一平均數(shù)恰好是最中間的這個(gè)數(shù).當(dāng)?shù)炔顢?shù)列有偶數(shù)個(gè)數(shù)時(shí)，這一平均數(shù)也就是最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù).
利用這一性質(zhì)，我們很容易求一個(gè)等差數(shù)列的所有數(shù)之和，它等于平均數(shù)乘以數(shù)的個(gè)數(shù).例7中7個(gè)數(shù)之和是
（5+29）÷2×7=119.
例8小強(qiáng)在前五天平均每天做了3.6道數(shù)學(xué)題，第四、五兩天共做了5題.第六天，為了使后三天的平均數(shù)超過(guò)六天的平均數(shù)，第六天他至少要做多少題？
解：（前三天題數(shù)÷3+后三天題數(shù)÷3）÷2=六天題數(shù)÷6.
因此，只要后三天平均數(shù)超過(guò)前三天平均數(shù)，也就是后三天做的題數(shù)，比前三天做的題數(shù)多，后三天的平均數(shù)就超過(guò)六天平均數(shù)了.
前三天做的題數(shù)是
3.6×5-5=13（題）.
第四、五天已做了5題，13-5=8，小強(qiáng)第六天至
少要做9題.
答：小強(qiáng)第六天至少要做9題.
二、部分平均與全體平均
例9某次考試，21位男同學(xué)的平均成績(jī)是82分，19位女同學(xué)的平均成績(jī)是87分，全體同學(xué)的平均成績(jī)是多少？
解：有兩種求法：
方法1
男同學(xué)的總分?jǐn)?shù) 82×21=1722，
女同學(xué)的總分?jǐn)?shù) 87×19=1653，
全體同學(xué)的總分?jǐn)?shù) 1722+1653=3375，
全體同學(xué)的人數(shù) 21+19=40，
全體同學(xué)的平均成績(jī)3375÷40=84.375.
方法2
以男同學(xué)的平均成績(jī)82分作為計(jì)算的基數(shù)，女同學(xué)每人平均多（87-82）=5（分），19人多了5×19=95（分），現(xiàn)在平均分?jǐn)偨o全體40人.
因此，全體同學(xué)的平均成績(jī)是
82+（87-82）×19÷40
=82+95÷40
=84.375（分）.
注意 從部分的平均數(shù)，來(lái)求全體的平均數(shù)，不能簡(jiǎn)單地把部分平均數(shù)再進(jìn)行求平均，如例9，（82+87）÷2=83.5，它不是全體的平均成績(jī).這一基本概念，大家必須弄清楚.
例10 甲班52人，乙班48人.語(yǔ)文考試中，兩個(gè)班全體同學(xué)的平均成績(jī)是78分，乙班的平均成績(jī)要比甲班的平均成績(jī)高5分.兩個(gè)班的平均成績(jī)各是多少？
解：兩個(gè)班的全體人數(shù)是
52+48=100（人）.
他們的分?jǐn)?shù)總和是
78×100=7800（分）.
以甲班同學(xué)的平均成績(jī)?yōu)榛鶖?shù)，乙班每人平均多了5分，如果乙班的分?jǐn)?shù)總和少了5×48=240（分），乙班的平均成績(jī)就與甲班的一樣，因此甲班的平均成績(jī)是
（7800-240）÷100=75.6（分）.
乙班的平均成績(jī)是
75.6+5=80.6（分）.
例11女同學(xué)的人數(shù)是男同學(xué)人數(shù)的一半，男同學(xué)的平均體重是41千克，女同學(xué)的平均體重是35千克，全體同學(xué)的平均體重是多少千克？
解：題目沒(méi)有告訴我們女同學(xué)或男同學(xué)有多少人，怎么辦？
設(shè)全體女同學(xué)是1組人，那么男同學(xué)就是2組人.
女同學(xué)的體重總和： 35×1組人數(shù).
男同學(xué)的體重總和： 41×2組人數(shù).
全體總?cè)藬?shù)：（1+2）組人數(shù).
全體同學(xué)平均體重是
（35×1+41×2）÷（1+2）=39（千克）.
上面算式中每一項(xiàng)都有“組人數(shù)”，因此可以約掉.實(shí)際上和“1個(gè)女同學(xué)與2個(gè)男同學(xué)”的情形一樣.
還有一種計(jì)算方法，以女同學(xué)體重為基數(shù)，2組人每人都多（41-35）千克，平攤給（2+1）組人，因此全體同學(xué)的平均體重是
35+（41-35）×2÷（2+1）=39（千克）.
例12 某班有50人，在一次數(shù)學(xué)考試后，按成績(jī)排了名次.結(jié)果，前30名的平均分?jǐn)?shù)比后20名的平均分?jǐn)?shù)多12分.一位同學(xué)對(duì)“平均”的概念不清楚，他把前30名的平均成績(jī)，加上后20名的平均成績(jī)，再除以2，錯(cuò)誤地認(rèn)為這就是全班的平均成績(jī).這樣做，全班的平均成績(jī)是提高了，還是降低了？請(qǐng)算出提高多少或降低多少.
解：全班平均成績(jī)降低了.
按照這位同學(xué)的計(jì)算，相當(dāng)于把前30名同學(xué)比后20名同學(xué)平均多出的12分作了平分.因此相當(dāng)于前30名同學(xué)每人少了6分，后20名同學(xué)每人多了6分，合起來(lái)全班的總分就少了
30×6-20×6=60（分）.
全班的平均成績(jī)也就降低了
60÷（30+20）=1.2（分）.
例13 某學(xué)校入學(xué)考試，確定了錄取分?jǐn)?shù)線.報(bào)考的學(xué)生中，只錄取了
均分比錄取分?jǐn)?shù)線低26分.所有考生的平均成績(jī)是70分.那么錄取分?jǐn)?shù)線是多少？
我們把錄取學(xué)生的人數(shù)算作1，沒(méi)有被錄取的人數(shù)算作3.
以錄取分?jǐn)?shù)線作為基數(shù)，沒(méi)有被錄取的考生總共少了26×3分，錄取的學(xué)生總共多了10×1分，合起來(lái)，總共少了
26×3-10×1（分）.
對(duì)所有考生來(lái)說(shuō)，每人平均少了
（26×3-10×1）÷（3+1）=17（分）.
也就是每一考生的平均分70（分）比錄取分?jǐn)?shù)線少了17（分），因此錄取的分?jǐn)?shù)線是
70+17=87（分）.
注意 這道題可檢驗(yàn)如下：
沒(méi)有被錄取的考生的平均成績(jī)是87-26=61（分），被錄取考生的平均成績(jī)是87+10=97（分）.全體考生的平均成績(jī)是
61+（97-61）÷（3+1）=70（分），
或
（61×3+97×1）÷（3+1）=70（分）.
由此就知道，上面解答是正確的.
例14某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽原定一等獎(jiǎng)10人，二等獎(jiǎng)20人.現(xiàn)在將一等獎(jiǎng)中最后4人調(diào)整為二等獎(jiǎng)，這樣得二等獎(jiǎng)的學(xué)生平均分提高了1分，得一等獎(jiǎng)的學(xué)生的平均分提高了3分.那么原來(lái)一等獎(jiǎng)平均分比二等獎(jiǎng)平均分多多少分？
解：根據(jù)題意
前六人平均分=前十人平均分+3.
這說(shuō)明在計(jì)算前十人平均分時(shí)，前六人共多出3×6=18（分），來(lái)彌補(bǔ)后四人的分?jǐn)?shù)，因此后四人的平均分比前十名平均分少
18÷4=4.5（分）.
當(dāng)后四人調(diào)整為二等獎(jiǎng)后，這時(shí)二等獎(jiǎng)共有20+4=24（人），平均每人提高了1分，這由調(diào)整進(jìn)來(lái)的四人來(lái)供給，每人平均供給
24÷4=6（分）.
后四人平均分=（原二等獎(jiǎng)平均分）+6.
與前面算出的前六人平均分比較，就知原來(lái)一等獎(jiǎng)平勻分比原來(lái)二等獎(jiǎng)平均分多
4.5+6=10.5（分）.
我們可以畫(huà)出示意圖來(lái)說(shuō)明上面的計(jì)算.
從前十名來(lái)說(shuō)，前六名用二條虛線所夾部分，來(lái)彌補(bǔ)后四人的二條虛線所夾部分這一塊的不足.
對(duì)二等獎(jiǎng)來(lái)說(shuō)，可以畫(huà)出如下示意圖：
三、從平均數(shù)求個(gè)別數(shù)
例15 A，B，C，D四個(gè)數(shù)的平均數(shù)是38，A與B的平均數(shù)是42；B，C，D三個(gè)數(shù)的平均數(shù)是36，那么B是多少？
解：A，B，C，D四個(gè)數(shù)的平均數(shù)是
（A+B+C+D）÷4
=（A+B）÷4+（C+D）÷4
=[（A+B）÷2+（C+D）+2]÷2.
這說(shuō)明A與B的平均數(shù)，C與D的平均數(shù)，兩者的再平均，就是四個(gè)數(shù)的平均數(shù).
因此，C與D的平均數(shù)是
38×2-42=34.
題目已給出B，C，D三個(gè)數(shù)的平均數(shù)36，B是
34+（36-34）×3=40.
還有一個(gè)解法：
四個(gè)數(shù)的平均數(shù)是38，B，C，D三個(gè)數(shù)的平均數(shù)是36，還是按照例3中的計(jì)算，A是
36+（38-36）×4=44.
己知A與B的平均數(shù)是42，因此B是
42×2-44=40.
注意 知道若干個(gè)數(shù)的平均數(shù)，也就是知道了它們的和，已知A，B，C，D四個(gè)數(shù)的和，又已知其中三個(gè)數(shù)B，C，D的和，自然能求出（做一次減法）第四個(gè)數(shù)A.又已知A與B的和，就很容易求出B，這就是例15的實(shí)質(zhì).
例16某次考試，A，B，C，D，E五人的成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下：
A，B，C，D的平均分 75分.
A，C，D，E的平均分 70分.
A，D，E的平均分 60分.
B，D的平均分 65分.
求A得了多少分.
解：由A，C，D，E四人平均分和A，D，E三人平均分，按照例3的方法，就可求出C的得分：
60+（70-60）×4=100（分）.
由A，B，C，D四人平均分和B，D兩人平均分，按照例15，可以求出A與C平均分：
75×2-65=85（分）.
上面已算出C得100分，因此A得
85×2-100=70（分）.
例17 某次考試，小英等7人的平均分是78分，其中最高得分是97分，最低得分是64分，小英得了88分，余下的4個(gè)人中有3個(gè)人得了相同的分?jǐn)?shù).分?jǐn)?shù)各不相同的5個(gè)人的平均分是80分，其中還有一位同學(xué)與別人的得分都不同，他的得分是多少分？
解：7個(gè)人的分?jǐn)?shù)總和是
78×7=546（分）.
分?jǐn)?shù)各不相同的5個(gè)人平均分是80分，那么另2位分?jǐn)?shù)相同的同學(xué)每人得分是
（546-80×5）÷2=73（分）.
這位與別人的得分都不相同的同學(xué)，他的得分是
546-97-64-88-73×3=78（分）.
例18 A，B，C，D四個(gè)數(shù)，兩兩配對(duì)可以配成六對(duì)，先請(qǐng)你想一想，是怎樣配對(duì)的.這六對(duì)數(shù)的平均數(shù)分別是
12，13，15，17，19，20.
原四個(gè)數(shù)的平均數(shù)是多少？
解：每一個(gè)數(shù)與其他三個(gè)數(shù)可以配成三對(duì)，因此在上面六個(gè)平均數(shù)中，每個(gè)數(shù)都要被計(jì)算3次，每次計(jì)算中都用一個(gè)數(shù)的一半.因此，這六個(gè)平均數(shù)之和是A+B+C+D的3倍的一半.
那么A，B，C，D的平均數(shù)是
（12+13+5+17+19+20）×2÷3÷4
＝96×2÷3÷4
＝16.
還有另一種解法：
原四個(gè)數(shù)中，最小的兩個(gè)數(shù)之和應(yīng)是12×2，最大的兩個(gè)數(shù)之和應(yīng)是20×2.因此四數(shù)的平均數(shù)是
（12×2+20×2）÷4=16.
請(qǐng)大家思考，是否可以求出A，B，C，D四個(gè)數(shù).
例19 A，B，C，D四個(gè)數(shù)，每次去掉一個(gè)數(shù)，將其余三個(gè)數(shù)求平均數(shù)，這樣計(jì)算了四次，得到下面四個(gè)數(shù)
23，26，30，33.
A，B，C，D四個(gè)數(shù)的平均數(shù)是多少？
30，33這四個(gè)數(shù)相加，恰好是A，B，C，D這四個(gè)數(shù)之和，它們的平均數(shù)是（23+26+30+33）÷4=28.
例20有四個(gè)數(shù)，每次選取其中三個(gè)數(shù)，算出它們的平均數(shù)，再加上另外的一個(gè)數(shù)，用這樣的方法計(jì)算了四次，分別得到以下四個(gè)數(shù)
26，32，40，46.
那么原來(lái)四個(gè)數(shù)中，最大的一個(gè)數(shù)是多少？
解：很明顯，這道題與前一例題緊密相關(guān).我們來(lái)看一看，26，32，40，46這四個(gè)數(shù)相加是什么.
每一個(gè)數(shù)有兩部分，一部分是三個(gè)數(shù)的平均數(shù)，一部分是三個(gè)數(shù)之外的第四個(gè)數(shù)，把四個(gè)數(shù)的前一部分相加，根據(jù)前一例題，恰好得到四個(gè)數(shù)的和.把后一部分相加，也得到四個(gè)數(shù)的和.
因此 26+32+40+46=四個(gè)數(shù)之和×2.
這四個(gè)數(shù)的和是
（26+32+40+46）÷2=72.
另外，每一個(gè)數(shù)乘以3，將是三個(gè)數(shù)之和加上第四個(gè)數(shù)的3倍，這也可以看成是四個(gè)數(shù)之和加上一個(gè)數(shù)的2倍.它減去四個(gè)數(shù)之和72后，就是其中一個(gè)數(shù)的 2倍.
于是這四個(gè)數(shù)就可以按下面的計(jì)算求出：
（26×3-72）÷2=3，
（32×3-72）÷2=12，
（40×3-72）÷2=24，
（46×3-72）÷2=33.
四個(gè)數(shù)中最大的數(shù)是33.
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