閘北區(qū)2011學年度第二學期高三數(shù)學（文科）高考模擬卷 2012.4 考生注意：分14題，要求在答題紙相應題序的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對得4分，否則一律得零分． 1．設復數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則 ． 2．計算 ． 3．設，則 ． 4．若以為增廣矩陣的線性方程組有唯一一組解，則實數(shù)的取值范圍為 ． 5．的二項展開式中，的系數(shù)是___________（用數(shù)字作答）． 6．從一堆蘋果中任取5只，稱得它們的質(zhì)量如下（單位：克）：125，124，121，123，127． 則該樣本的標準差 克． 7．若實數(shù)，滿足不等式組的最大值 8．設定點、，動點滿足：，則動點的軌跡方程為 ． 9．從名男、名女中選名組成一個，男、女都有 10．設直線與平面相交但不垂直，則在平面內(nèi)有且只有一條直線與直線垂直與直線平行的不可能與平面垂直與直線垂直的直線不可能與平面平行與直線平行的平面不可能與平面垂直的不等式的解集為，則的取值范圍為 ． 12．某城區(qū)從某年開始的綠化總面積（萬平方米）與時間（年）的關系為．則該城區(qū)綠化總面積從4萬平方米到12萬平方米所用的時間為 年．（四舍五入取整） 13．若對任意實數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍為 ． 14．對于任意的平面向量，定義新運算：．若為平面向量，，則下列運算性質(zhì)一定成立的所有序號是 ． ①； ②； ③； ④．二、選擇題（20分）本大題共有4題，每題都給出四個結(jié)論，其中有且只有一個結(jié)論是正確的，必須把答題紙上相應題序內(nèi)的正確結(jié)論代號涂黑，選對得5分，否則一律得零分. 15．圓關于直線對稱的圓方程是 （ ） A． B． C． D． 16．設函數(shù)的圖像關于軸對稱，又已知在上為減函數(shù)，且，則不等式的解集為 （ ） A． B． C． D． 17．的圓柱器皿中（底面水平放置），量得水面的高度為．若將這些水倒入軸截面是正三角形的倒置的圓錐形器皿中，則水面的高度是（ ） A． B． C． D． 18．設是公比為的等比數(shù)列，首項，對于，，當且僅當時，數(shù)列的前項和的取值范圍為 （ ） A． B． C． D．三、解答題（本題滿分7分）中，．（1）求該正四棱錐的體積；（2）設為側(cè)棱的中點，求異面直線與所成角的大小． 20．（本小題滿分14分，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分）已知函數(shù)，．（1）設是函數(shù)的一個零點，求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間． 21．（本小題滿分14分，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分）一自來水廠用蓄水池通過管道向所管轄區(qū)域供水．某日凌晨，已知蓄水池有水9千噸，水廠計劃在當日每小時向蓄水池注入水2千噸，且每小時通過管道向所管轄區(qū)域供水千噸．（1）多少小時后，蓄水池存水量最少？（2）當蓄水池存水量少于3千噸時，供水就會出現(xiàn)緊張現(xiàn)象，那么當日出現(xiàn)這種情況的時間有多長？ 22．（本小題滿分16分，第1小題滿分8分，第2小題滿分8分）設橢圓（常數(shù)）的左右焦點分別為，是直線上的兩個動點，．（1）若，求的值；（2）求的最小值． 23．（本小題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分8分，第2小題滿分6分） 如圖，，，…，，…是曲線上的點，，，…，，… 是軸正半軸上的點，且，，…，，… 均為斜邊在軸上的等腰直角三角形（為坐標原點）．（1）寫出、和之間的等量關系，以及、和之間的等量關系；（2）求證：（）；（3）設，對所有，恒成立，求實數(shù)的取值范圍． 閘北區(qū)2011學年度第二學期高三數(shù)學（理科）高考模擬卷 2012.4 考生注意：分14題，要求在答題紙相應題序的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對得4分，否則一律得零分． 1．設復數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則 ． 2．計算 ． 3．設，則 ． 4．若以為增廣矩陣的線性方程組有唯一一組解，則實數(shù)的取值范圍為 ． 5．的二項展開式中，的系數(shù)是___________（用數(shù)字作答）． 6．從一堆蘋果中任取5只，稱得它們的質(zhì)量如下（單位：克）：125，124，121，123，127． 則該樣本的標準差 克． 7．已知曲線的極坐標方程分別為，，則曲線與交點的極坐標為 ． 8．設定點、，動點滿足：，則動點的軌跡方程為 ． 9．設直線與平面相交但不垂直，則在平面內(nèi)有且只有一條直線與直線垂直過直線有且只有一個平面與平面垂直與直線平行的不可能與平面垂直與直線垂直的直線不可能與平面平行與直線平行的平面不可能與平面垂直，遇到紅燈時停留的時間都是2分鐘．則該校某個學生在上學路上因遇到紅燈停留的總時間的均值等于 分鐘． 11．若關于的不等式的解集為，則的取值范圍為 ． 12．某城區(qū)從某年開始的綠化總面積（萬平方米）與時間（年）的關系為．則該城區(qū)綠化總面積從4萬平方米到12萬平方米所用的時間為 年．（四舍五入取整） 13．若對任意實數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍為 ． 14．對于任意的平面向量，定義新運算：．若為平面向量，，則下列運算性質(zhì)一定成立的所有序號是 ． ①； ②； ③ ④； ⑤. 二、選擇題（20分）本大題共有4題，每題都給出四個結(jié)論，其中有且只有一個結(jié)論是正確的，必須把答題紙上相應題序內(nèi)的正確結(jié)論代號涂黑，選對得5分，否則一律得零分. 15．圓關于直線對稱的圓方程是 （ ） A． B． C． D． 16．設函數(shù)的圖像關于軸對稱，又已知在上為減函數(shù)，且，則不等式的解集為 （ ） A． B． C． D． 17．的圓柱器皿中（底面水平放置），量得水面的高度為．若將這些水倒入軸截面是正三角形的倒置的圓錐形器皿中，則水面的高度是（ ） A． B． C． D． 18．設是公比為的等比數(shù)列，首項，對于，，當且僅當時，數(shù)列的前項和的取值范圍為 （ ） A． B． C． D．三、解答題（本題滿分7分）19．（本小題滿分12分，第1小題滿分6分，第2小題滿分6分）如圖，菱形中，，其對角線的交點為，現(xiàn)將沿對角線向上翻折，使得．在四面體中，在上移動，點在上移動，且．（1）求線段的最大值與最小值；（2）當線段的長最小時，求異面直線與所成角的大?。?20．（本小題滿分14分，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分）已知函數(shù)，．（1）設是函數(shù)的一個零點，求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間． 21．（本小題滿分14分，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分）某市一家庭一月份、二月份、三月份天然氣用量和支付費用如下表所示：月份 用氣量（立方米） 支付費用（元） 一 4 8 二 20 38 三 26 50 該市的家用天然氣收費方法是：天然氣費＝基本費超額費保險費．現(xiàn)已知，在每月用氣量不超過立方米時，只交基本費6元；每戶的保險費是每月元；用氣量超過立方米時，超過部分每立方米付元． 設當該家庭每月用氣量立方米時，所支付費用為元．求關于的函數(shù)解析式． 22．（本小題滿分16分，第1小題滿分8分，第2小題滿分8分）設橢圓（常數(shù)）的左右焦點分別為，是直線上的兩個動點，．（1）若，求的值；（2）求的最小值． 23．（本小題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分8分，第2小題滿分6分） 如圖，，，…，，…是曲線上的點，，，…，，… 是軸正半軸上的點，且，，…，，… 均為斜邊在軸上的等腰直角三角形（為坐標原點）．（1）寫出、和之間的等量關系，以及、和之間的等量關系；（2）猜測并證明數(shù)列的通項公式；（3）設，集合，，若，求實常數(shù)的取值范圍． 閘北區(qū)2011學年度第二學期高三數(shù)學（文科）高考模擬卷答案 2012.4 一、1． 2． 3． 4． 5． 10 6． 2 7． 2 8． 9． 10． ②③ 11． 12． 8 13． 14． ①③ 二、15．D． 16．B． 17．三、為底面正方形中心，則為該正四棱錐的高由已知，可求得，，……………………4分所以，． ……………………2分（2）設為中點，連結(jié)、， 可求得，，，……………3分在中，由余弦定理，得．…………………2分所以， ……………………1分 20．解：（1）由題設知．因為是函數(shù)的一個零點，所以，………………2分即（）．………………………………………3分所以…………………………………2分（2） ． ………………………………………………………………5分當，即（）時，函數(shù)是增函數(shù)，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）． ……………………2分 21．解：（1）設小時后，蓄水池有水千噸．………………………………………1分依題意，…………………………………………4分當，即（小時）時，蓄水池的水量最少，只有1千噸． ………2分（2）依題意， ………………………………………………3分解得：． …………………………………………………………………3分所以，當天有8小時會出現(xiàn)供水緊張的情況． ………………………………1分 22．解：設， ………………………………………………………1分則，由得 ①………………………………………………2分（1）由，得 ② …………………………………………………1分 ③ …………………………………………………1分由①、②、③三式，消去，并求得． ……………………………………3分（2）解法一：易求橢圓的標準方程為：．……………………………2分， ……4分所以，當且僅當或時，取最小值．…2分解法二：， ……………………………4分所以，當且僅當或時，取最小值． …2分 23．解：（1）依題意，有，，…………………………4分（2）證明：①當時，可求得，命題成立； ………………………2分 ②假設當時，命題成立，即有，……………………………………1分則當時，由歸納假設及，得．即解得（不合題意，舍去）即當時，命題成立． ……………………………………………………………4分綜上所述，對所有，． ………………… ……………………1分（3） ．………………………2分因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當時，最大為，即．…………………………………………………………………………………2分由題意，有． 所以，． ……………………………………………………………………2分 閘北區(qū)2011學年度第二學期高三數(shù)學（理科）高考模擬卷答案 2012.4 一、 1． 2． 3． 4． 5．10 6．2 7． 8． 9．②③ 10． 11． 12．8 13． 14．①④ 二、15．D． 16．B． 17．三、為坐標原點，如圖建立空間直角坐標系，……1分由已知可求得，，…2分 ． ………………………2 所以，當時，線段的最小值為．……1分（2），， ……2分 ……3分所以， ……………………1分解二：（1）如圖，過點作，則，…2分在中，由余弦定理，得．……3分所以，當時，線段的最小值為． ………………1分（2）過點作，在中，可求得，，由余弦定理可求． 20．解：（1）由題設知．因為是函數(shù)的一個零點，所以，………………2分即（）．………………………………………3分所以…………………………………2分（2） ． ………………………………………………………………5分當，即（）時，函數(shù)是增函數(shù)，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）． ……………………2分 21．解：根據(jù)題意，…………………2分因為，所以．由表格知，二、三月份的費用大于11，因此，二、三月份的用氣量均超過基本量，于是有 …………………………………………………………4分解得 （3）……………………………………………………2分假設一月份用氣量超過了基本量，即．將代入（2）得與（3）矛盾．…………………………………2分所以，所以，． …………………………………………2分因此，，，．所以， …………………………………………2分 22．解：設， ……………………………………………………1分則由得 ①………………………………………………2分（1）由，得 ② ……………………………………………………1分 ③ ……………………………………………………1分由①、②、③三式，消去，并求得． ……………………………………3分（2）易求橢圓的標準方程為：． …………………………………2分解法一：，4分所以，當且僅當或時，取最小值． …2分解法二：， ……………………………4分所以，當且僅當或時，取最小值．…2分 23．解：（1）依題意，有，， ………………………4分（2）由得，即．猜測． …………………………………………………………2分證明：①當時，可求得，命題成立； ……………………………1分 ②假設當時，命題成立，即有， …………………………………1分則當時，由歸納假設及，得．即解得（不合題意，舍去）即當時，命題成立． …………………………………………………………3分綜上所述，對所有，． ……………………………………1分（3） ．……………………2分因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，所以．…………………………………………………………………………2分 由，有或， 故，．………………………………………………………………2分
    

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