用好一元二次方程及根的定義
湖北黃石市下陸中學(xué) 宋毓彬
“回到定義上去”是求解數(shù)學(xué)問題的重要方法之一.求解一元二次方程有關(guān)問題時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到需要根據(jù)相關(guān)定義特征進(jìn)行求解，準(zhǔn)確地用好定義則是解答這些問題的關(guān)鍵.
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一、一元二次方程的定義問題
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例1．下列方程是一元二次方程的是（????? ）.
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A．x
－2x=y； B．
－
＝3；? C．（2x－1）=4x； D．
x－2x=1?
分析：根據(jù)一元二次方程定義特征：①等號(hào)兩邊是整式；②只含有一個(gè)未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是2；④二次項(xiàng)系數(shù)不為0.
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A不符合②，B不符合①，C不符合③，只有D符合所有定義特征.故選（D）.
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例2．如果關(guān)于x的方程（m－3）x
－x+3=0是關(guān)于x的一元二次方程，那么m的值為：?
A.±3；??? B.3；???? C.－3；?? ???D.都不對(duì)
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分析：由一元二次方程的定義，未知數(shù)的最高次數(shù)是2，∴m
－7=2， m=±3，又二次項(xiàng)系數(shù)不為0，即m－3≠0，∴m≠3，∴m=3??? 故選（B）?
二、一元二次方程的項(xiàng)與系數(shù)的定義問題
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例3.把方程（2x－1）（3x－2）=x
+4化為ax+bx+c=0形式后，其二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別為：?
A.5，7，2；??? B.5，－7，2；? ???C.5，―7，―2；?? D.5，7，－2
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分析：形如ax
+bx+c=0（a≠0）的方程叫一元二次方程的一般形式.其中ax叫二次項(xiàng)，a叫二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫一次項(xiàng)，b叫一次項(xiàng)系數(shù)；c叫常數(shù)項(xiàng).注意：一元二次方程的系數(shù)包括前面的符號(hào).?
方程（2x－1）（3x－2）=x
+4，經(jīng)變形整理為：5x－7x－2=0?
∴a=5，b=－7，c=－2，故選（C）.
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三、一元二次方程根的定義問題
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例4.若x=1是一元二次方程ax
+bx+c=0的根，則a+b=??????? .?
分析：由方程根的定義，方程的根是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值.將方程的根代回到原方程中，方程左右兩邊必相等，這就是我們平常所說的“代根法”.
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將x=1代入原方程得，a+b－2=0，∴a+b=2.
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例5.若0是關(guān)于x的方程（m－2）x
+3x+m+2m－8=0的解，求實(shí)數(shù)m的值.并討論此方程解的情況.?
分析：由方程根的定義，將0代入方程中，m
+2m－8=0，（m+4）（m－2）=0，∴m
=－4，m
=2；?
⑴當(dāng)m
=2時(shí)，原方程為3x=0，方程的解為：x=0 ；⑵當(dāng)m=－4時(shí)，原方程為－6 x+3x=0，方程的解為：x=0，x=
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例6.已知關(guān)于x的一元二次方程(k+4)x
+3x+(k+4)(k－1)=0的一個(gè)根為0,求k的值.?
分析：0是方程的根，代入到方程中得，(k+4)(k－1)=0，∴k
=－4，k=1；?
又方程是一元二次方程，∴k+4≠0，k≠4???? ∴k=1.
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作者簡(jiǎn)介：宋毓彬，男，43歲，中學(xué)數(shù)學(xué)高級(jí)教師.在《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》、《數(shù)理天地》、《中學(xué)生數(shù)學(xué)》、《數(shù)理化學(xué)習(xí)》、《數(shù)理化解題研究》、《中學(xué)課程輔導(dǎo)》、《數(shù)學(xué)周報(bào)》、《數(shù)學(xué)輔導(dǎo)報(bào)》、《數(shù)理報(bào)》、《少年智力開發(fā)報(bào)》、《學(xué)習(xí)報(bào)》、《小博士報(bào)》等報(bào)刊發(fā)表教學(xué)輔導(dǎo)類文章60多篇.主要致力于初中數(shù)學(xué)中考及解題方法、技巧等教學(xué)方面的研究.
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