“求兩線段長度值和最小”問題全解析
    山東沂源縣徐家莊中心學(xué)?！∽筮M(jìn)祥
    
    在近幾年的中考中，經(jīng)常遇到求PA+PB最小型問題，為了讓同學(xué)們對這類問題有一個比較全面的認(rèn)識和了解，我們特此編寫了“求兩線段長度值和最小”問題全解析，希望對同學(xué)們有所幫助．
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    一、在三角形背景下探求線段和的最小值
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    1.1 在銳角三角形中探求線段和的最小值
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    例1　如圖1，在銳角三角形ABC中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC的平分線交BC于點D，M,N分別是AD和AB上的動點，則BM+MN的最小值為???????????? ．
    
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    分析：在這里，有兩個動點，所以在解答時，就不能用我們常用對稱點法．我們要選用三角形兩邊之和大于第三邊的原理加以解決．
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    解：如圖1，在AC上截取AE=AN，連接BE．因為∠BAC的平分線交BC于點D，所以∠EAM=∠NAM，又因為AM=AM， 所以△AME≌△AMN，所以ME=MN．所以BM+MN=BM+ME≥BE．因為BM+MN有最小值．當(dāng)BE是點B到直線AC的距離時，BE取最小值為4，以BM+MN的最小值是4．故填4．
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    1.2在等邊三角形中探求線段和的最小值
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    例2（2010 山東濱州）如圖4所示，等邊△ABC的邊長為6,AD是BC邊上的中線,M是AD上的動點,E是AC邊上一點.若AE=2,EM+CM的最小值為
    ???????? .
    
    分析：要求線段和最小值，關(guān)鍵是利用軸對稱思想，找出這條最短的線段，后應(yīng)用所學(xué)的知識求出這條線段的長度即可．
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    解：因為等邊△ABC的邊長為6,AD是BC邊上的中線,所以點C與點B關(guān)于AD對稱，連接BE交AD于點M，這就是EM+CM最小時的位置，如圖5所示，因為CM=BM，所以EM+CM=BE，過點E作EF⊥BC，垂足為F，因為AE=2，AC=6，所以EC=4，在直角三角形EFC中，因為EC=4, ∠ECF=60°，∠FEC=30°，所以FC=2,EF==2
    ．
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    因為BC=6，F(xiàn)C=2，所以BF=4．在直角三角形BEF中，BE=
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    =.
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    二、在四邊形背景下探求線段和的最小值
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    2.1在直角梯形中探求線段和的最小值
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    例3（2010江蘇揚州）如圖3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，點P是AB上一個動點，當(dāng)PC＋PD的和最小時，PB的長為__________．
    
    分析：在這里有一個動點，兩個定點符合對稱點法求線段和最小的思路，所以解答時可以用對稱法．
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    解：如圖3所示，作點D關(guān)于直線AB的對稱點E，連接CE，交AB于點P，此時PC＋PD和最小，為線段CE．因為AD＝4，所以AE=4．因為∠ABC＝90°，AD∥BC，所以∠EAP＝90°．
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    因為∠APE＝∠BPC,所以△APE∽△BPC，所以.因為AE=4，BC＝6，所以，所以，所以
    ,因為AB＝5，所以PB=3.
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    2.2在等腰梯形中探求線段和的最小值
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    例4　如圖4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中點EF直線上的一點，則PA+PB的最小值為????????????? ．
    
    分析：根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)知道，點A的對稱點是點D，這是解題的一個關(guān)鍵點．其次運用好直角三角形的性質(zhì)是解題的又一個關(guān)鍵．
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    解：如圖4所示，因為點D關(guān)于直線EF的對稱點為A，連接BD，交EF于點P，此時PA＋PB和最小，為線段BD．過點D作DG⊥BC，垂足為G，因為四邊形ABCD是等腰梯形，且AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，所以∠C=60°，∠GDC=30°，所以GC=,DG=．因為∠ABC＝60°，AD∥BC，所以∠BAD＝
    120°．因為AB=AD，所以∠ABD=∠ADB=30°，所以∠ADBC=30°，所以BD=2DG=2×=．所以PA+PB的最小值為．
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    2.3在菱形中探求線段和的最小值
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    例5　如圖
    5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中點，P是對角線AC上的一個動點，則PE+PB的最小值為??????????? ．
    
    分析：根據(jù)菱形的性質(zhì)知道，點B的對稱點是點D，這是解題的一個關(guān)鍵點．
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    解：如圖5所示，因為點B關(guān)于直線AC的對稱點為D，連接DE，交AC于點P，此時PE＋PB和最小，為線段ED．因為四邊形ABCD是菱形，且∠BAD=60°，所以三角形ABD是等邊三角形．因為E是AB的中點，AB=2，所以AE=1，DE⊥AB，所以ED=
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    =．所以PE＋PB的最小值為．
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    2.4在正方形中探求線段和的最小值
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    例6　如圖6所示，已知正方形ABCD的邊長為8，點M在DC上，且DM=2，N是AC上的一個動點，則DN+MN的最小值為
    ?????????? ?．
    
    分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)知道，點B的對稱點是點D，這是解題的一個關(guān)鍵點．
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    解：如圖6所示，因為點D關(guān)于直線AC的對稱點為B，連接BM，交AC于點N，此時DN＋MN和最小，為線段BM．因為四邊形ABCD是正方形，所以BC=CD=8．因為DM=2，所以MC=6，所以BM==10.所以DN+MN的最小值為10.
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    例7（2009?達(dá)州）如圖7，在邊長為2cm的正方形ABCD中，點Q為BC邊的中點，點P為對角線AC上一動點，連接PB、PQ，則△PBQ周長的最小值為 ???????????????????cm．（結(jié)果不取近似值）．
    
    分析：在這里△PBQ周長等于PB+PQ+BQ，而BQ是正方形邊長的一半，是一個定值1，所以要想使得三角形的周長最小，問題就轉(zhuǎn)化成使得PB+PQ的和最小問題．因為題目中有一個動點P，兩個定點B,Q符合對稱點法求線段和最小的思路，所以解答時可以用對稱法．
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    解:如圖7所示，根據(jù)正方形的性質(zhì)知道點B與點D關(guān)于AC對稱，連接DQ，交AC于點P，連接PB．所以BP=DP，所以BP+PQ=DP+PQ=DQ．在Rt△CDQ中，DQ== ，所以△PBQ的周長的最小值為：BP+PQ+BQ=DQ+BQ= +1．故答案為+1．
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    三、在圓背景下探求線段和的最小值
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    例8（2010年荊門）如圖8，MN是半徑為1的⊙O的直徑，點A在⊙O上，∠AMN＝30°，B為AN弧的中點，P是直徑MN上一動點，則PA＋PB的最小值為(??? )
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    (A)2??? (B) ????(C)1??? (D)2
    
    分析：根據(jù)圓的對稱性，作出點A的對稱點D，連接DB，則線段和的最小值就是線段DB的長度．
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    解：如圖8，作出點A的對稱點D，連接DB，OB,OD．因為∠AMN＝30°，B為AN弧的中點，
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    所以弧AB的度數(shù)為30°，弧AB的度數(shù)為30°，弧AN的度數(shù)為60°．根據(jù)圓心角與圓周角的關(guān)系定理得到：∠BON＝30°．由垂徑定理得：弧DN的度數(shù)為60°．所以∠BOD＝∠BON +∠DON= 30°+60°=90°.所以DB==
    .所以選擇B．
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    四、在反比例函數(shù)圖象背景下探求線段和的最小值
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    例9（2010山東濟(jì)寧）如圖9，正比例函數(shù)y=x的圖象與反比例函數(shù)y=（k≠0）在第一象限的圖象交于A點，過A點作x軸的垂線，垂足為M，已知三角形OAM的面積為1.
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    （1）求反比例函數(shù)的解析式；
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    （2）如果B為反比例函數(shù)在第一象限圖象上的點（點B與點A不重合），且B點的橫坐標(biāo)為1，在x軸上求一點P，使PA+PB最小.
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    分析：利用三角形的面積和交點坐標(biāo)的意義，確定出點A的坐標(biāo)是解題的第一個關(guān)鍵．
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    要想確定出PA+PB的最小值，關(guān)鍵是明白怎樣才能保證PA+PB的和最小，同學(xué)們可以聯(lián)想我們以前學(xué)過的對稱作圖問題，明白了最小的內(nèi)涵，解題的過程就迎刃而解了．
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    解：（1）設(shè)點A的坐標(biāo)為（x，y），且點A在第一象限，所以O(shè)M=x,AM=y．
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    因為三角形OAM的面積為1，所以所以xy=2，所以反比例函數(shù)的解析式為y=
    ．
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    （2）因為y=x與y=相交于點A，所以=x，解得x=2，或x=-2.因為x＞0，所以x=2，所以y=1，即點A的坐標(biāo)為（2，1）．因為點B的橫坐標(biāo)為1，且點B在反比例函數(shù)的圖像上，所以點B的縱坐標(biāo)為2，所點B的坐標(biāo)為（1，2），所以點B關(guān)于x軸的對稱點D的坐標(biāo)為（1，-2）．設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b，所以
    ，
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    解得k=3，b=-5，所以函數(shù)的解析式為y=3x-5，當(dāng)y=0時，x=，所以當(dāng)點P在（，0）時，PA+PB的值最小．
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    五、在二次函數(shù)背景下探求線段和的最小值
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    例10（2010年玉溪改編）如圖10，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（1，） ，△AOB的面積是.
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    （1）求點B的坐標(biāo)；（2）求過點A、O、B的拋物線的解析式；
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    （3）在（2）中拋物線的對稱軸上是否存在點C，使△AOC的周長最小？若存在，求出點C的 坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
    
    分析：在這里△AOC周長等于AC+CO+AO，而A,O是定點，所以AO是一個定長，所以要想使得三角形的周長最小，問題就轉(zhuǎn)化成使得AC+CO的和最小問題．因為題目中有一個動點C，兩個定點A,O符合對稱點法求線段和最小的思路，所以解答時可以用對稱法．
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    解：（1）由題意得: 所以O(shè)B=2．因為點B在x軸的負(fù)半軸上，所以點B的坐標(biāo)為（-2，）；
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    （2）因為B(-2,0),O(0,0),所以設(shè)拋物線的解析式為：y=ax（x+2），將點A的坐標(biāo)為（1，）代入解析式得：3a=，所以a=
    ，所以函數(shù)的解析式為y=+x．
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    （3）存在點C. 如圖10，根據(jù)拋物線的性質(zhì)知道點B與點O是對稱點，所以連接AB與拋物線的對稱軸x= - 1交AC于點C，此時
    △AOC的周長最小.設(shè)對稱軸與x軸的交點為E．
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    過點A作AF垂直于x軸于點F，則BE=EO=EF=1.因為△BCE∽△BAF,所以,
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    所以，所以CE=．因為點C在第二象限，所以點C的坐標(biāo)為（-1，）．
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    六、在平面直角坐標(biāo)系背景下探求線段和的最小值
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    例11（2010年天津）如圖11，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點O在坐標(biāo)原點，頂點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=3，OB=4，D為邊OB的中點.
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    （1）若E為邊OA上的一個動點，當(dāng)△CDE的周長最小時，求點E的坐標(biāo)；
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    （2）若E、F為邊OA上的兩個動點，且EF=2，當(dāng)四邊形CDEF的周長最小時，求點E、F的坐標(biāo).
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    分析：本題的最大亮點是將一個動點求最小值和兩個動點求最小值問題糅合在一起，并很好的運用到平面直角坐標(biāo)系中．
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    解：（
    1）如圖12，作點D關(guān)于x軸的對稱點，連接C與x軸交于點E，連接DE.
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    若在邊OA上任取點（與點E不重合），連接C、D、
    .
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    由D+ C=+ C
    ＞C= D+CE=DE+CE，所以△的周長最小.
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    因為 在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D為OB的中點，所以 BC=3，DO=
    O=2.
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    所以點C的坐標(biāo)為（3，4），點的坐標(biāo)為（0，-2），設(shè)直線C的解析式為y=kx+b，則，解得k=2，b=-2，所以函數(shù)的解析式為y=2x-2，令y=0，則x=1，所以點E的坐標(biāo)為（1，0）；
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    （2）如圖13，作點D關(guān)于x軸的對稱點，在CB邊上截取CG=2，連接G與x軸交于點E，在EA上截EF=2.因為 GC∥EF，GC=EF，所以 四邊形GEFC為平行四邊形，有GE=CF.
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    又 DC、EF的長為定值，所以此時得到的點E、F使四邊形CDEF的周長最小.
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    因為 在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D為OB的中點，CG=2,所以 BC=3，DO=O=2,BG=1.
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    所以點G的坐標(biāo)為（1，4），點的坐標(biāo)為（0，-2），設(shè)直線G的解析式為y=kx+b，則
    ，解得k=6，b=-2，所以函數(shù)的解析式為y=6x-2，令y=0，則x=，所以點E的坐標(biāo)為（，0）,所以點F的坐標(biāo)為（+2，0）即F的坐標(biāo)為（，0）
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