雙曲線中的面積問題
    湖北省黃石市下陸中學(xué)　宋毓彬
    
    學(xué)習(xí)反比例函數(shù)時(shí)，我們經(jīng)常遇到一些求解與其函數(shù)圖象雙曲線有關(guān)的面積問題。要解決好這些問題，應(yīng)注意以下幾個(gè)方面的基礎(chǔ)知識：
    設(shè)反比例函數(shù)式為y=。
    ⑴由雙曲線上一點(diǎn)向兩條坐標(biāo)軸做垂線段，由這兩條垂線段與兩坐標(biāo)州圍成的矩形的面積計(jì)算。（如圖1，以第一象限的圖象為例）
    　　　　　　　　　　　　
    由四邊形PMON為矩形。設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），P在y=圖象上，則有mn=k?！逴M=，ON=
    ∴S_{四邊形OMPN}=OM·ON=·
    ==
    ⑵由雙曲線上一點(diǎn)向其中一條坐標(biāo)軸的作垂線段，并連接這一點(diǎn)與原點(diǎn)的線段，由這兩條線段與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積的計(jì)算。（如圖2，仍以第一象限的圖象為例）
    　　　　　　　　　　　
    由圖象可知，S_{△
    POM}=S_△PON= S_{四邊形OMPN}=。
    ⑶理解點(diǎn)的坐標(biāo)的幾何意義：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），則表示P到y(tǒng)軸的距離；表示P到x軸的距離。
    ⑷用好雙曲線的對稱性：雙曲線關(guān)于原點(diǎn)O對稱，因此雙曲線y=
    與過原點(diǎn)O的正比例函數(shù)y=k₂x的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O對稱。
    ⑸會(huì)利用反比例函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=設(shè)雙曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)。如點(diǎn)P在雙曲線y=的圖象上，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，則P點(diǎn)的坐標(biāo)可表示為（m，）
    ⑹會(huì)用割補(bǔ)法求面積。尤其要注意有時(shí)需先利用坐標(biāo)軸構(gòu)造出特殊圖形（如矩形、梯形、直角三角形等）。
    ?
    一、用好雙曲線的對稱性
    ?
    例1　若函數(shù)y=kx（k＞0）與函數(shù)y=的圖象相交于A、C兩點(diǎn)，AB⊥x軸于B。則△ABC的面積為（?? ）。
    　　　　　　　　　　　
    A。1???? B。2? ????C。3?????? D。4
    解：由A在雙曲線y=上，AB⊥x軸于B。
    ∴S
    _△ABO=×1=
    又由A、B關(guān)于O對稱，S_△CBO= S_△ABO=?
    ∴S_△ABC= S_△CBO+S_△ABO=1??? 故選（A）
    ?
    二、正確理解點(diǎn)的坐標(biāo)的幾何意義
    ?
    例2　如圖，反比例函數(shù)y=－與一次函數(shù)y=－x+2的圖象交于A、B兩點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)M，交y軸于點(diǎn)N，則S_△AOB=???????? 。
    　　　　　　　　　　　　　
    解：由y=－x+2交x軸于點(diǎn)M，交y軸于點(diǎn)N
    M點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），N點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）?∴OM=2，ON=2
    由
    ?? 解得或
    ∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（－2，4），B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，－2）
    S_△AOB=S_△AON+S_△MON+S_△BOM
    ???? =ON·
    +OM·ON+OM·=6
    （或S_△AOB=S_△AOM+S_△BOM=OM·+
    OM·=6）
    ?
    　　三、注意分類討論
    ?
    例3　如圖，正方形OABC的面積為9，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)B在函數(shù)y=（k＞0，x＞0）的圖象上。點(diǎn)P（m、n）是函數(shù)函數(shù)y=上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作x軸、y軸的垂線。垂足分別為E、F，并設(shè)矩形OEPF中和正方形OABC不重合部分的面積為S。
    
    ⑴求點(diǎn)B的坐標(biāo)和k值。
    ⑵當(dāng)S=時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)。
    解：⑴設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），B在函數(shù)y=（k＞0，x＞0）的圖象上，∴S_{正方形OABC}= x₀y₀=9，∴x₀=y₀=3
    即點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，3），k= x
    ₀y₀=9
    ⑵①當(dāng)P在B點(diǎn)的下方（m＞3）時(shí)。
    設(shè)AB與PF交于點(diǎn)H，∵點(diǎn)P（m、n）是函數(shù)函數(shù)y=上，
    ∴S_{四邊形CEPF}=mn=9，S_矩形OAHF=3n
    ∴S=9－3n=，解得n=。當(dāng)n=時(shí)，
    =，即m=6
    ∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，）
    ②當(dāng)P在B點(diǎn)的上方（m＜3）時(shí)。 同理可解得：P₁點(diǎn)的坐標(biāo)為（，6）
    ∴當(dāng)S=時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，
    ）或（，6）。
    ?
    四、善用“割補(bǔ)法”
    ?
    例4　如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=k₁x+b的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象相交于A（1，4），B（3，m）兩點(diǎn)。
    　　　　　　　　　　　　　
    ⑴求一次函數(shù)解析式；⑵求△AOB的面積。
    解：⑴由A（1，4），在y=的圖象上，∴k₂=xy=4
    B（3，m）在y=的圖象上，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，）
    A（1，4）、B（3，）在一次函數(shù)y=k₁x+b的圖象上，
    可求得一次函數(shù)解析式為：y=－
    x+。
    ⑵設(shè)一次函數(shù)y=－x+交x軸于M，交y軸于N（如圖）。則M（4，0），N（0，）
    S△AOB=S△MON－S△OBM－S△AON=OM·ON—
    OM－ON
    ?????? =×4×－
    ×4×－××1=
    ?
    五、構(gòu)造特殊輔助圖形
    ?
    例5　如圖，已知直線y=x與雙曲線y=（k＞0）交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A橫坐標(biāo)為4。⑴求k的值；⑵若雙曲線y=（k＞0）上一點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為8，求△AOC的面積。⑶過原點(diǎn)O的另一條直線交雙曲線y=（k＞0）于P、Q兩點(diǎn)（P點(diǎn)在第一象限），若由點(diǎn)ABPQ為頂點(diǎn)組成的四邊形面積為24，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。
    　　　　　　　　　　　　　　
    
    解：⑴A橫坐標(biāo)為4，在直線y=x上，A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，2）
    A（4，2）又在y=上，∴k=4×2=8
    ⑵C的縱坐標(biāo)為8，在雙曲線y=上，C點(diǎn)坐標(biāo)為（1，8）
    過A、C分別作x軸、y軸垂線，垂足為M、N，且相交于D，則得矩形ONDM。S
    _矩形ONDM=4×8=32。
    又S_△ONC=4，S_△CDA=9，S_△OAM=4
    ∴S_△AOC= S_矩形ONDM―S_△ONC―S_△CDA―S_△OAM=32―4―9―4=15
    ⑶由反比例函數(shù)圖象是中心對稱圖形，OP=OQ，OA=OB，
    ∴四邊形APBQ是平行四邊形。S_△POA=S_{四邊形APBQ}=6
    設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，
    ），過P、A分別作x軸、y軸垂線，垂足為E、M。
    ∴S_△POE=S_△AOM=k=4
    ①若0＜m＜4時(shí)，如圖所示。
    ∵S_△PEO+S_梯形PEMA=S_△POA+S_△AOM，∴S_梯形PEMA=S_△POA=6
    ∴（2+）（4－m）=6?? 解得m=2或m=－8（舍去）? P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，4）
    ②若m＞4時(shí)，同理可求得m=8或m=－2（舍去），P點(diǎn)的坐標(biāo)為（8，1）
    ?
    作者簡介：宋毓彬，男，45歲，中學(xué)數(shù)學(xué)高級教師。在《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》、《數(shù)理天地》、《中學(xué)生數(shù)學(xué)》、《數(shù)理化學(xué)習(xí)》、《數(shù)理化解題研究》、《中學(xué)課程輔導(dǎo)》、《數(shù)學(xué)周報(bào)》、《數(shù)學(xué)輔導(dǎo)報(bào)》、《數(shù)理報(bào)》、《小博士報(bào)》、《少年智力開發(fā)報(bào)》等報(bào)刊發(fā)表教學(xué)輔導(dǎo)類文章60多篇。主要致力于初中數(shù)學(xué)中考及解題方法、技巧等教學(xué)方面的研究。
    
    

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