巧構(gòu)圖形應(yīng)用勾股定理
湖北省黃石市下陸中學(xué) 宋毓彬 湖北省黃石市二十一中 皮學(xué)軍
構(gòu)造圖形，運(yùn)用幾何圖形的直觀性和數(shù)形結(jié)合的思想方法，應(yīng)用勾股定理可以解決一些十分棘手的代數(shù)問(wèn)題。
?
一、證明不等式
?
例1 試比較
－
與
（x＞y＞0）的大小，并說(shuō)明你的理由。解：因?yàn)椋?sub>
）2=（）2+（）2，聯(lián)想到勾股定理，以、
為邊作如圖1所示的直角三角形，則其斜邊長(zhǎng)為。由三角形兩邊之差小于第三邊，－＜。
?? ?例2 已知a、b、c均為非負(fù)數(shù)，求證：
???
+
+
≥
（a+b+c）??? 分析：由題設(shè)條件聯(lián)想到正方形對(duì)角線及勾股定理。
證明：如圖2，以（a+b+c）為邊長(zhǎng)作正方形，并在兩個(gè)鄰邊上按a、b、c大小將正方形分割成不同的矩形。
??? 由勾股定理可求得：
??? AE=
，EF=，F(xiàn)C=??? AC=
（a+b+c）??? 因?yàn)锳E+EF+FC≥AC
所以
++≥（a+b+c）。?
二、求特殊三角形面積
???
例3 若a、b均為正數(shù)，且
、
、
是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)。那么這個(gè)三角形的面積等于????????? 。??? 分析：直接用三角形面積公式求面積較為復(fù)雜，構(gòu)造圖形求面積則更簡(jiǎn)便。
解：如圖3，分別以2? a、2b為邊長(zhǎng)作矩形ABCD。取AB、BC中點(diǎn)E、F，連接EF、DF、DE。
??? 由勾股定理，可求得：
??? EF=
，F(xiàn)D=，ED=??? 故△EFD即為題設(shè)三角形。
??? S△EFD=S矩形ABCD－S△AED－S△BEF－S△CFD
???????? =4ab－ab－
ab－ab=
ab。?
三、求線段和的最小值
??
例4 已知正數(shù)a、b滿足a+b=2。求u=
+
的最小值。分析：由a+b=2，u=
+
= u=+
，構(gòu)造合適圖形可將其轉(zhuǎn)化為求兩條線段和的最小值問(wèn)題。解：由a+b=2，u=
+=
+構(gòu)造如圖4的圖形，取AC=2，BD=1，CD=2，作A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交CD于P，設(shè)PC=a，則PD=2－a，AP=
，BP=。此時(shí)A′B=AP+BP為最小值。
又作A′B′⊥BD于B′，則A′B′=CD=2，BB′=2+1=3
Rt△A′BB′中，A′B=
=
。即u的最小值為13。練習(xí)題：
1.對(duì)于正數(shù)a、b、c、d，如果a+b=c+d，試比較
+
與（a+b）的大小。（提示：a+b=c+d為邊構(gòu)造正方形，再分割成a、b、c、d為邊的矩形，用勾股定理證明）2.設(shè)a、b、c、d為正實(shí)數(shù)，a＜b，c＜d，bc＞ad，有一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為
、、
，求此三角形的面積。（提示：構(gòu)造如圖5的圖形求解）
3.求代數(shù)式
+
的最小值。（提示：將原式變形為
+
，仿例4，取CD=12。）?
作者簡(jiǎn)介：宋毓彬，男，44歲，中學(xué)數(shù)學(xué)高級(jí)教師。在《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》、《數(shù)理天地》、《中學(xué)生數(shù)學(xué)》、《語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)》、《數(shù)理化學(xué)習(xí)》、《數(shù)理化解題研究》、《中學(xué)課程輔導(dǎo)》、《數(shù)學(xué)周報(bào)》、《數(shù)學(xué)輔導(dǎo)報(bào)》《數(shù)理報(bào)》、《小博士報(bào)》等報(bào)刊發(fā)表教學(xué)輔導(dǎo)類文章70多篇。主要致力于初中數(shù)學(xué)中考及解題方法、技巧等教學(xué)方面的研究。
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