用與正方形有關(guān)的一個結(jié)論解題
    湖北省黃石市下陸中學(xué)　宋毓彬　湖北省黃石市二十一中　皮學(xué)軍
    
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    在以任意三角形兩邊向外作正方形時,可以得到如下一個有用的結(jié)論：以三角形任意兩邊為邊長向外作正方形，則有公共端點(diǎn)的兩個相鄰的正方形邊長所圍成的三角形面積與原三角形面積相等。
    一、結(jié)論的證明
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    如圖1，以△ABC的兩邊AB、AC為邊長分別向外作正方形ABDE、ACFG，連接GE。
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    求證：S_△AEG=S_△ABC。
    證明：⑴當(dāng)∠BAC＝90°時，顯然△EAG≌△BAC，∴S_△AEG=S_△ABC。
    ⑵當(dāng)∠BAC＜90°時，過C作CM⊥AB于M，過G作GN⊥AE的延長線于N。
    ∵∠GAN+∠NAC=∠GAC=90°，∠MAC+∠NAC=∠MAN=90°
    ∴∠GAN=∠MAC，又AC=AG，∠AMC=∠ANG=90°
    ∴△AMC≌△ANG，∴GN=CM
    又S
    _△AEG=AE·GN，S_△ABC=AB·CM???? ∴S_△AEG= S_△ABC
    ⑶當(dāng)∠BAC＞90°時，如圖中輔助線，仿照⑵，同理可證。
    綜合以上結(jié)論可知，命題成立。
    二、結(jié)論的應(yīng)用
    例1　如圖2，A在線段BG上，ABCD和DEFG都是正方形，面積分別為7平方厘米和11平方厘米。則△CDE的面積為?????? 。
    ?????????????????????????????????????????????????????
    解：由ABCD和DEFG都是正方形，面積分別為7平方厘米和11平方厘米，則AD=（厘米），DG=（厘米）
    在直角三角形ADG中，由勾股定理，可求得AG=2
    ∴S
    _△ADG= AD·AG=
    由上面的結(jié)論可知：S_△CDE= S_△ADG=
    例2　如圖3，圖甲中，正方形ABDE，CDFI，EFGH的面積分別為17、10、13，圖乙中DPQR為矩形。對照圖乙，計(jì)算圖甲中六邊形ABCIGH的面積。
    解：由圖甲，可求得：ED=，EF=
    ，DF=
    ??? 由圖乙，根據(jù)勾股定理可求得：ED=，EF=，DF=
    ??? 圖乙中，S_△DEF=S
    _矩形―S_△DPE－S_△EQF－S_△DRF
    ???????????????? =4×3－×4×1－×2×3－×3×1=5.5
    　　　　
    根據(jù)上面的結(jié)論：S_△DEF=S_△AEH= S_△FGI=S_△BDC=5.5
    六邊形ABCIGH的面積為：17+13+10+4×5.5=52
    ?
    三、小試身手
    ?
    園林小路，曲徑通幽。如圖4所示，小路由白色的正方形大理石和黑色的三角形大理石鋪成。已知中間的所有正方形的面積之和是a平方米，內(nèi)圈的所有三角形的面積之和是b平方米，這條小路一共占地??????? 平方米。
    （參考答案：a+2b）
    ?????????????????????????????????????????????????
    
    ?
    作者簡介：宋毓彬，男，45歲，中學(xué)數(shù)學(xué)高級教師。在《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》、《中學(xué)生數(shù)學(xué)》、《數(shù)理天地》、《語數(shù)外學(xué)習(xí)》、《數(shù)理化學(xué)習(xí)》、《數(shù)理化解題研究》、《中學(xué)課程輔導(dǎo)》、《數(shù)學(xué)周報》、《數(shù)學(xué)輔導(dǎo)報》、《數(shù)理報》、《中學(xué)生學(xué)習(xí)報》、《小博士報》、《少年智力開發(fā)報數(shù)學(xué)專頁》等報刊發(fā)表教學(xué)輔導(dǎo)類文章80多篇。主要致力于初中數(shù)學(xué)中考及解題方法、技巧等教學(xué)方面的研究。
    
    

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