三視圖中的小正方體計數(shù)問題
湖北省黃石市下陸中學 宋毓彬
通過小正方體組合圖形的三視圖，確定組合圖形中小正方體的個數(shù)，在中考或競賽中經(jīng)常會遇到。解決這類問題如果沒有掌握正確的方法，僅僅依賴空間想象去解決，不僅思維難度很大，還很容易出錯。
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通過三視圖計算組合圖形的小正方體的個數(shù)，關(guān)鍵是要弄清楚這個小正方體組合圖形共有多少行、多少列、每行每列中各有多少層，理清了這些行、列、層的數(shù)量，小正方體的個數(shù)就迎刃而解了。在三視圖中，通過主視圖、俯視圖可以確定組合圖形的列數(shù)；通過俯視圖、左視圖可以確定組合圖形的行數(shù)；通過主視圖、左視圖可以確定行與列中的最高層數(shù)。
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以上方法可簡要地概括為：“主俯看列，俯左看行，主左看層，分清行列層，計數(shù)不求人。”
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一、結(jié)果唯一的計數(shù)
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例1 在一倉庫里堆放著若干個相同的正方體貨箱，倉庫管理員將這堆貨箱的三視圖畫了出來，如圖所示，則這堆正方體貨箱共有（???? ）。
A．9箱???? B．10箱????? C．11箱????? D．12箱
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分析：由三視圖可知，這堆貨箱共有從前到后3行，從左到右3列。由左視圖：第一行均為1層，第二行最高2層，第三行最高3層；由主視圖：第一列、第三列均為1層，第二列（中間列）最高為3層。故第二行、第二列為2層，第三行第二列為3層，其余皆為1層。各行、各列小正方體的個數(shù)如俯視圖中所表示。這堆貨箱共有3+1+1+2+1+1=9（箱）。
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二、結(jié)果不唯一的計數(shù)
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例2（“希望杯”數(shù)學邀請賽試題）如圖2，是由若干個（大于8個）大小相同的正方體組成的一個幾何體的主視圖和俯視圖，則這個幾何體的左視圖不可能是（????? ）。
分析：由給出的主視圖、俯視圖可以看出，該幾何體共有2行，3列。第1列均為1層，第2列最高2層，第3列最高3層。
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左視圖為A時，第1行、第2行最高均為3層。幾何體中，第1列第1行為1層；第2列第1行、第2行均可為1層或2層，，但不能同時為1層；第3列兩行均為3層。此時，小正方體的個數(shù)如俯視圖A所示，最少為1+2+1+3+3=10（個），最多為1+2+2+3+3=11個。
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左視圖為B時，第一行均為1層，第二行最高為3層。幾何體中，第1列第1行為1層；第2列第1行為1層，第2行均可為2層；第3列第1行為1層，第2行為3層。此時，小正方體的個數(shù)如俯視圖B所示。小正方體個數(shù)為1+1+1+2+3=8（個）。
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左視圖為C時，第1行最高為2層，第2行最高為3層。幾何體中，第1列第1行為1層；第2列第1行為1層或2層，第2行均為1層或2層，但不能同時為1層；第3列第1行為1層或2層（不能與第2列第1行同時都為1層），第2行為3層。此時，小正方體的個數(shù)如俯視圖C所示。小正方體最少為1+2+1+1+3=8（個），最多為1+2+2+2+3=10個。
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左視圖為D時，第1行最高為3層，第2行最高為2層。幾何體中，第1列第1行為1層；第2列第1行為1層或2層，第2行均為1層或2層，但不能同時為1層；第3列第1行為3層，第2行為1層或2層（不能與第2列第2行同時為1層）。此時，小正方體的個數(shù)如俯視圖C所示。小正方體最少為1+1+3+2+1=8（個），最多為1+2+2+2+3=10個。
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三、根據(jù)兩種視圖確定計數(shù)范圍
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例3（江陰市中考題）如圖，是由一些大小相同的小正方體組成的簡單幾何體的主視圖和俯視圖，若組成這個幾何體的小正方體的塊數(shù)為n，則n的所有可能的值之和為??????? 。
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分析：題設(shè)中給出了主視圖、俯視圖，可知這個幾何體有3列，2行。第1列均為1層，第2列最高2層，第3列最高3層。
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幾何體小正方形塊數(shù)最少的情況是：第1列只有1行，共1個小正方體；第2列兩行，至少有一行為2層，最少有2+1=3個小正方體，第3列兩行中至少有一行為3層，最少有1+3=4個正方體。因此幾何體最少塊數(shù)為1+3+4=8塊。
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幾何體小正方形塊數(shù)最多的情況是：第1列只有1行，共1個小正方體；第2列兩行，均為2層，共有2+2=4個小正方體，第3列兩行均為3層，共有3+3=6個正方體。因此幾何體最少塊數(shù)為1+4+6=11塊。
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故n的所有可能值為8，9，10，11，所有可能值之和為8+9+10+11=38。
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作者簡介：宋毓彬，男，
45歲，中學數(shù)學高級教師。在《中學數(shù)學教學參考》、《數(shù)理天地》、《中學生數(shù)學》、《數(shù)理化學習》、《數(shù)理化解題研究》、《中學課程輔導》、《語數(shù)外學習》、《數(shù)學周報》、《數(shù)學輔導報》、《數(shù)理報》、《少年智力開發(fā)報》、《學習報》、《小博士報》、《課程導報》等報刊發(fā)表教學輔導類文章80多篇。主要致力于初中數(shù)學中考及解題方法、技巧等教學方面的研究。
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