中考數(shù)學(xué)閱讀題解題探析
    山東沂源徐家莊中學(xué) 孫華山 左效平
    
    中考數(shù)學(xué)考閱讀解答題，是近幾年中考的熱點(diǎn)題型。下面就結(jié)合中考試題談?wù)勅绾谓忾喿x解答題。
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    　　一、改錯(cuò)型閱讀：此類問題，常常是事先給出詳細(xì)的解答過程，但在解答的過程中卻設(shè)下錯(cuò)誤的陷阱，解答者必須要認(rèn)真讀題，仔細(xì)審題，在“細(xì)”字上下功夫，可謂細(xì)節(jié)決定成功。
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    　　例1、閱讀下列題目的解題過程：
    ?
    　　已知a、b、c為的三邊，且滿足，試判斷的形狀。
    ?
    　　??? 解：
    ?
    　　???
    ?
    　　問：（1）上述解題過程，從哪一步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤？請寫出該步的代號：??????????????? ；
    ?
    　?。?）錯(cuò)誤的原因?yàn)椋?u>?????????????????????????????????????????????????????? ；
    ?
    （3）本題正確的結(jié)論為：??????????? . (06浙江臨安）
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    　　分析：本題主要考查在等式兩邊同除以同一個(gè)數(shù)或式子時(shí)，必須保證這個(gè)數(shù)或式的值是非零的才行。而在實(shí)際考試或?qū)W生在做練習(xí)時(shí)，常常忽視這一點(diǎn)，因而造成解題的失誤而丟分。
    ?
    　　解：(1) 上述解題過程，從C步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；
    ?
    　　(2) 錯(cuò)誤的原因?yàn)椋簺]有考慮
    ，就在等式的兩邊同除以了這個(gè)式子；
    ?
    　　(3) 當(dāng)本，得：a=b，所以△ABC是等腰三角形
    ?
    　　所以本題正確的結(jié)論為：△ABC是直角三角形或等腰三角形。
    ?
    　　二、方法遷移型閱讀：
    ?
    　　此類問題，常常是事先給出問題背景，但在問題背景中卻蘊(yùn)含某種數(shù)學(xué)思想或方法。她要求讀者通過閱讀與理解，不僅要看懂背景問題所提供的思想或方法，還要應(yīng)用所學(xué)到的思想或方法去解答后面所提出的新問題。
    ?
    　　例2、下面是數(shù)學(xué)課堂的一個(gè)學(xué)習(xí)片斷．閱讀后，請回答下面的問題：
    ?
    　　學(xué)習(xí)等腰三角形有關(guān)內(nèi)容后，張老師請同學(xué)們交流討論這樣一個(gè)問題：“已知等腰三角形ABC的角A等于30°，請你求出其余兩角”．同學(xué)們經(jīng)片刻的思考與交流后，李明同學(xué)舉手講：“其余兩角是30°和120°”；王華同學(xué)說：“其余兩角是75°和75°”．還有一些同學(xué)也提出了不同的看法．
    ?
    　?。?）假如你也在課堂中，你的意見如何？為什么？
    ?
    　?。?）通過上面數(shù)學(xué)問題的討論，你有什么感受？（用一句話表示）（05，安徽課改，）
    ?
    　　分析：本題以等腰三角形為背景提出一個(gè)學(xué)生很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤的問題。通過問題的正確解答，培養(yǎng)學(xué)生樹立用分類的思想去正確求解等腰三角形的相關(guān)問題。而在實(shí)際考試或?qū)W生在做練習(xí)時(shí)，學(xué)生常常忽視這一點(diǎn)，因而造成解題的失誤而丟分。
    ?
    　　解：（1）答：上述兩同學(xué)回答的均不全面，應(yīng)該是：
    ?
    　　其余兩角的大小是75°和75°或30°和120°．
    ?
    　　理由如下：
    ?
    　?。?/span>i）當(dāng)是頂角時(shí)，設(shè)底角是
    ．
    ?
    　　，　．∴其余兩角是75°和75°．
    ?
    　?。?/span>ii）當(dāng)∠A是底角時(shí)，設(shè)頂角是β，
    ?
    　　， ．
    ?
    　　∴其余兩角分別是0°和120°．
    ?
    　　（2）感受答有：“分類討論”，“考慮問題要全面”等能體現(xiàn)分類討論思想的語句就可以。
    ??
    　　例3、在日常生活中如取款、上網(wǎng)等都需要密碼．有一種用“因式分解”法產(chǎn)生的密碼，方便記憶．原理是：如對于多項(xiàng)式
    ，因式分解的結(jié)果是，若取x=9，y=9時(shí)，則各個(gè)因式的值是：(x－y)=0，(x+y)=18，(x²+y²)=162，于是就可以把“018162”作為一個(gè)六位數(shù)的密碼．對于多項(xiàng)式，取x=10，y=10時(shí)，用上述方法產(chǎn)生的密碼是：　　　　_________．(寫出一個(gè)即可)
    ?
    　　分析：通過閱讀，要求學(xué)生不僅能夠靈活進(jìn)行因式分解，而且滲透了如何求代數(shù)式的值。
    ?
    　　解：答案為：101030
    ?
    　　三、歸納、猜想型閱讀
    ?
    　　此類問題，常常是事先給出問題背景，但在問題背景中卻蘊(yùn)含某種變化規(guī)律或不變性的結(jié)論。她要求讀者通過閱讀與理解，不僅要?dú)w納、猜想出背景問題所蘊(yùn)含的規(guī)律或結(jié)論，還要應(yīng)用所蘊(yùn)含的規(guī)律或結(jié)論去解答后面所提出的新問題。
    ?
    　　例4、閱讀下面材料并完成填空．
    ?
    　　你能比較兩個(gè)數(shù)2001²⁰⁰²和2002²⁰⁰¹的大小嗎？為了解決這個(gè)問題，先把問題一般化，即比較n^n＋1和(n＋1)ⁿ的大小(n≥1的整數(shù))．然后，從分析n＝1，n＝2，n＝3，……，這些簡單情形入手，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，經(jīng)過歸納，猜想出結(jié)論．
    ?
    　　(1)通過計(jì)算，比較下列①～③各組兩個(gè)數(shù)的大小(在橫線上填“＞”“＜”或“＝”)
    ?
    　?、?²______2¹；?、?³______3²；?、?⁴______4³；
    ?
    　　④4⁵＞5⁴；?、?⁶＞6⁵；　⑥6⁷＞7⁶；　⑦7⁸＞8⁷；…
    ?
    　　(2)從第(1)小題的結(jié)果經(jīng)過歸納，可以猜想出n^n＋1和(n＋1)ⁿ的大小關(guān)系是：_________．
    ?
    　　(3)根據(jù)上面歸納猜想得到的一般結(jié)論，可以得到2001²⁰⁰²______2002
    ²⁰⁰¹(填“＞”“＜”或“＝”)．
    ?
    　　解；1.①1²___＜ ___2¹；?、?³___＜___3²；?、?⁴__＞____4³；
    ?
    　　2、當(dāng)n≤2時(shí) n^n＋1＜(n＋1)ⁿ ;
    ?
    　　當(dāng)n＞2時(shí),n^n＋1＞(n＋1)ⁿ
    ?
    　　3、2001²⁰⁰²___＞___2002²⁰⁰¹
    ?
    　　四、補(bǔ)充完善型閱讀
    ?
    　　此類問題，常常是事先給出問題背景，但在問題背景中有著不完善的解答過程或蘊(yùn)含某種結(jié)論。她要求讀者通過閱讀與理解，不僅要完善的解答過程，還要解答后面所提出的新問題。
    ?
    　　例5、我們知道，兩邊及其中一邊的對角分別對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等．那么在什么情況下，它們會全等?
    ?
    　　(1)閱讀與證明：
    ?
    　　對于這兩個(gè)三角形均為直角三角形，顯然它們?nèi)龋?/span>
    ?
    　　對于這兩個(gè)三角形均為鈍角三角形，可證它們?nèi)?證明略)．
    ?
    　　對于這兩個(gè)三角形均為銳角三角形，它們也全等，可證明如下：
    ?
    　　已知：△ABC、△A₁B
    ₁C₁均為銳角三角形，AB=A₁B₁，BC=B₁C_l，∠C=∠C_l．
    ?
    　　求證：△ABC≌△A₁B₁C₁．
    ?
    
    ?
    　　(請你將下列證明過程補(bǔ)充完整)
    ?
    　　證明：分別過點(diǎn)B，B₁作BD⊥CA于D，
    ?
    　　??? B₁ D₁⊥C₁ A₁于D₁.
    ?
    　　??? 則∠BDC=∠B₁D₁C₁=90⁰，
    ?
    　　??? ∵BC=B₁C₁，∠C=∠C₁，
    ?
    　　??? ∴△BCD≌△B₁C₁D₁，
    ?
    　　??? ∴BD=B₁D₁．
    ?
    　　(2)歸納與敘述：
    ?
    　　由(1)可得到一個(gè)正確結(jié)論，請你寫出這個(gè)結(jié)論．(06浙江紹興)
    ?
    　　解：（1）分別過點(diǎn)B，B₁作BD⊥CA于D，
    ?
    　　??? B₁ D₁⊥C₁ A₁于D₁.
    ?
    　　??? 則∠BDC=∠B₁D₁C₁=90⁰，
    ?
    　　??? ∵BC=B₁C₁，∠C=∠C₁，
    ?
    　　??? ∴△BCD≌△B₁C₁D₁，
    ?
    　　??? ∴BD=B₁D₁．
    ?
    　　又∵AB=A
    ₁B₁，∠ADB=∠A₁D₁B₁=90°．
    ?
    　　??? ∴△ADB≌△A₁D₁B₁，
    ?
    　　??? ∴∠A=∠A₁，
    ?
    　　??? 又∵∠C=∠C₁，BC=B₁C₁，
    ?
    　　??? ∴△ABC≌△A₁B₁C₁．
    ?
    （2）若△ABC、△A₁B₁C₁均為銳角三角形，且AB=A₁B-₁，BC=B₁C₁，∠C=∠C₁，則△ABC≌△A₁B₁C₁．
    ?
    　?? 若△ABC、△A₁B₁C₁均為直角三角形，且AB=A₁B-₁，BC=B₁C₁，∠C=∠C₁，則△ABC≌△A₁B₁C₁．
    ?
    　　若△ABC、△A₁B₁C₁均為鈍角三角形，且AB=A₁B-₁，BC=B₁C₁，∠C=∠C₁，則△ABC≌△A₁B₁C₁．
    ?
    　　五、試驗(yàn)探究型閱讀
    ?
    　　此類問題，常常是事先給出一個(gè)試驗(yàn)背景，但在試驗(yàn)背景中卻蘊(yùn)含某種變化規(guī)律或不變性的結(jié)論或數(shù)學(xué)思想等等。她要求讀者通過對試驗(yàn)的閱讀與操作，要?dú)w納、猜想出背景所蘊(yùn)含的規(guī)律或結(jié)論。
    ?
    　　例6、我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”．?dāng)?shù)學(xué)中，數(shù)和形是兩個(gè)最主要的研究對象，它們之間有著十分密切的聯(lián)系，在一定條件下，數(shù)和形之間可以相互轉(zhuǎn)化，相互滲透．
    ?
    　　數(shù)形結(jié)合的基本思想，就是在研究問題的過程中，注意把數(shù)和形結(jié)合起來考察，斟酌問題的具體情形，把圖形性質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題，或者把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的問題，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，化難為易，獲得簡便易行的成功方案．
    ?
    　　例如，求1＋2＋3＋4＋…＋n的值，其中n是正整數(shù)．
    ?
    　　對于這個(gè)求和問題，如果采用純代數(shù)的方法（首尾兩頭加），問題雖然可以解決，但在求和過程中，需對n的奇偶性進(jìn)行討論．
    ?
    　　如果采用數(shù)形結(jié)合的方法，即用圖形的性質(zhì)來說明數(shù)量關(guān)系的事實(shí)，那就非常的直觀．現(xiàn)利用圖形的性質(zhì)來求1＋2＋3＋4＋…＋n 的值，方案如下：如圖，斜線左邊的三角形圖案是由上到下每層依次分別為1，2，3，…，n個(gè)小圓圈排列組成的．而組成整個(gè)三角形小圓圈的個(gè)數(shù)恰為所求式子1＋2＋3＋4＋…＋n的值．為求式子的值，現(xiàn)把左邊三角形倒放于斜線右邊，與原三角形組成一個(gè)平行四邊形．此時(shí)，組成平行四邊形的小圓圈共有n行，每行有（n＋1）個(gè)小圓圈，所以組成平行四邊形小圓圈的總個(gè)數(shù)為n（n＋1）個(gè)，因此，組成一個(gè)三角形小圓圈的個(gè)數(shù)為
    ，即1＋2＋3＋4＋…＋n＝．
    ?
    
    ?
    　?。?）仿照上述數(shù)形結(jié)合的思想方法，設(shè)計(jì)相關(guān)圖形，
    ?
    　　求1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）的值，其中 n 是正整數(shù)．
    ?
    　　（要求：畫出圖形，并利用圖形做必要的推理說明）
    ?
    　?。?）試設(shè)計(jì)另外一種圖形，求1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）的值，其中n是正整數(shù)．
    ?
    　?。ㄒ螅寒嫵鰣D形，并利用圖形做必要的推理說明）(06青島)
    ?
    　　解：（1）
    ?
    
    ?
    　　因?yàn)榻M成此平行四邊形的小圓圈共有n 行，每行有[（2n －1）＋1]個(gè)，即2n 個(gè)，所以組成此平行四邊形的小圓圈共有（n×2n）個(gè)，即2n²個(gè)．
    ?
    　　∴1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝＝n² ．
    ?
    　　
    ?
    　?。?）
    ?
    
    ?
    　　因?yàn)榻M成此正方形的小圓圈共有n 行，每行有n個(gè)，所以共有（n×n）個(gè)， 即n² 個(gè)．
    ?
    　　∴1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝n×n＝n² ． …
    
    

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