學(xué)習(xí)等腰三角形的性質(zhì)和判定——分類(lèi)討論記心間
    山東惠民皂戶(hù)李鄉(xiāng)中學(xué)　　康風(fēng)星
    
    分類(lèi)思想是解題的一種常用思想方法，它有利于培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生思維的條理性、縝密性、靈活性，學(xué)生只有掌握了分類(lèi)的思想方法，在解題中才不會(huì)出現(xiàn)漏解的情況.在學(xué)習(xí)等腰三角形的性質(zhì)和判定時(shí)，分類(lèi)討論的思想尤為重要，希望同學(xué)們謹(jǐn)記心間，現(xiàn)舉幾例予以說(shuō)明：
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    一、由于題目條件的不確定性引發(fā)結(jié)論不唯一：
    ?
    　　
    例1、已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為65°則其頂角為（ ）
    ?
    　　A. 50° B. 65° C. 115° D. 50°或65°
    ?
    　　解析：65°角可能是頂角，也可能是底角。當(dāng)65°是底角時(shí)，則頂角的度數(shù)為180°－65°×2=50°；當(dāng)65°角是頂角時(shí)，則頂角的度數(shù)就等于65°。所以這個(gè)等腰三角形的頂角為50°或65°。故應(yīng)選D。
    ?
    提示：對(duì)于一個(gè)等腰三角形，若條件中并沒(méi)有確定頂角或底角時(shí)，應(yīng)注意分情況討論，先確定這個(gè)已知角是頂角還是底角，再求解。
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    　　例2、 已知等腰三角形的一邊等于3，另一邊等于4，則它的周長(zhǎng)等于_________。
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    　　解析：已知條件中并沒(méi)有指明3和4誰(shuí)是腰長(zhǎng)，因此應(yīng)由三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行分類(lèi)討論。當(dāng)3是腰長(zhǎng)時(shí)，這個(gè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)就是4，此時(shí)等腰三角形的周長(zhǎng)等于10；當(dāng)4是腰長(zhǎng)時(shí)，這個(gè)三角形的底邊長(zhǎng)就是3，則此時(shí)周長(zhǎng)等于11。故這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)等于10或11。
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    提示：對(duì)于底和腰不等的等腰三角形，若條件中沒(méi)有明確哪是底哪是腰時(shí)，應(yīng)在符合三角形三邊關(guān)系的前提下分類(lèi)討論。
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    　　例3、 若等腰三角形一腰上的中線(xiàn)分周長(zhǎng)為12cm和9cm兩部分，求這個(gè)等腰三角形的底和腰的長(zhǎng)。
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    　　解析：已知條件并沒(méi)有指明哪一部分是9cm，哪一部分是12cm，因此，應(yīng)有兩種情形。若設(shè)這個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)是xcm，底邊長(zhǎng)為ycm，可得 或?
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    　　?解得??或即當(dāng)腰長(zhǎng)是6cm時(shí)，底邊長(zhǎng)是9cm；當(dāng)腰長(zhǎng)是8cm時(shí)，底邊長(zhǎng)是5cm。
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    　　提示：這里求出來(lái)的解應(yīng)滿(mǎn)足三角形三邊關(guān)系定理。
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    　　二、由于題目條件得出的圖形不確定性引發(fā)結(jié)論不唯一：
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    　　例4、 等腰三角形一腰上的高與另一腰所成的夾角為55°，求這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)。
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    　　解析：依題意可畫(huà)出圖1和圖2兩種情形。圖1中頂角為35°，圖2中頂角為145°。
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    　　例5、 皂戶(hù)李中學(xué)為美化環(huán)境，計(jì)劃在校園的廣場(chǎng)用的草皮鋪設(shè)一塊一邊長(zhǎng)為10的等腰三角形綠地，請(qǐng)你求出這個(gè)等腰三角形綠地的另兩邊長(zhǎng)。
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    　　解析：在等腰ΔABC中，設(shè)AB=10，作CD⊥AB于D，由
    ，可得CD=6。如下圖，當(dāng)AB為底邊時(shí)，AD=DB=5，所以。
    ?
    　　
    ?
    　　如下圖，當(dāng)AB為腰且ΔABC為銳角三角形時(shí)，
    ?
    　　，所以，
    ?
    　　。
    ?
    　　
    ?
    　　如下圖，當(dāng)AB為腰且ΔABC為鈍角三角形時(shí)，
    ?
    　　，，
    ?
    　　所以。
    ?
    　　
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    　　提示：三角形的高是由三角形的形狀決定的，對(duì)于等腰三角形，當(dāng)頂角是銳角時(shí)，腰上的高在三角形內(nèi)；當(dāng)頂角是鈍角時(shí)，腰上的高在三角形外。
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    　　例6、在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂線(xiàn)與AC所在直線(xiàn)相交所得的銳角為45°，則底角∠B=____________。
    ?
    　　解析：按照題意可畫(huà)出如圖1和如圖2兩種情況的示意圖。
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    　　如圖1，當(dāng)交點(diǎn)在腰AC上時(shí)，ΔABC是銳角三角形，此時(shí)可求得∠A=45°，所以
    ?
    　　∠B=∠C=（180°－45°）=67.5°。
    ?
    　　如圖2，當(dāng)交點(diǎn)在腰CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，ΔABC為鈍角三有形，此時(shí)可求得
    ?
    　　∠BAC=135°，所以∠B=∠C=（180°－135°）=22.5°
    ?
    　　
    ?
    　　故這個(gè)等腰三角形的底角為67.5°或22.5°。
    ?
    提示：這里的圖2最容易漏掉，求解時(shí)一定要認(rèn)真分析題意，畫(huà)出所有可能的圖形，這樣才能正確解題。
    
    

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