學(xué)習(xí)等腰三角形的性質(zhì)和判定——分類討論記心間
山東惠民皂戶李鄉(xiāng)中學(xué) 康風(fēng)星
分類思想是解題的一種常用思想方法，它有利于培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生思維的條理性、縝密性、靈活性，學(xué)生只有掌握了分類的思想方法，在解題中才不會出現(xiàn)漏解的情況.在學(xué)習(xí)等腰三角形的性質(zhì)和判定時，分類討論的思想尤為重要，希望同學(xué)們謹(jǐn)記心間，現(xiàn)舉幾例予以說明：
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一、由于題目條件的不確定性引發(fā)結(jié)論不唯一：
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例1、已知等腰三角形的一個內(nèi)角為65°則其頂角為（ ）
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A. 50° B. 65° C. 115° D. 50°或65°
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解析：65°角可能是頂角，也可能是底角。當(dāng)65°是底角時，則頂角的度數(shù)為180°－65°×2=50°；當(dāng)65°角是頂角時，則頂角的度數(shù)就等于65°。所以這個等腰三角形的頂角為50°或65°。故應(yīng)選D。
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提示：對于一個等腰三角形，若條件中并沒有確定頂角或底角時，應(yīng)注意分情況討論，先確定這個已知角是頂角還是底角，再求解。
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例2、 已知等腰三角形的一邊等于3，另一邊等于4，則它的周長等于_________。
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解析：已知條件中并沒有指明3和4誰是腰長，因此應(yīng)由三角形的三邊關(guān)系進行分類討論。當(dāng)3是腰長時，這個等腰三角形的底邊長就是4，此時等腰三角形的周長等于10；當(dāng)4是腰長時，這個三角形的底邊長就是3，則此時周長等于11。故這個等腰三角形的周長等于10或11。
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提示：對于底和腰不等的等腰三角形，若條件中沒有明確哪是底哪是腰時，應(yīng)在符合三角形三邊關(guān)系的前提下分類討論。
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例3、 若等腰三角形一腰上的中線分周長為12cm和9cm兩部分，求這個等腰三角形的底和腰的長。
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解析：已知條件并沒有指明哪一部分是9cm，哪一部分是12cm，因此，應(yīng)有兩種情形。若設(shè)這個等腰三角形的腰長是xcm，底邊長為ycm，可得
或?
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?解得
??或
即當(dāng)腰長是6cm時，底邊長是9cm；當(dāng)腰長是8cm時，底邊長是5cm。?
提示：這里求出來的解應(yīng)滿足三角形三邊關(guān)系定理。
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二、由于題目條件得出的圖形不確定性引發(fā)結(jié)論不唯一：
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例4、 等腰三角形一腰上的高與另一腰所成的夾角為55°，求這個等腰三角形的頂角的度數(shù)。
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解析：依題意可畫出圖1和圖2兩種情形。圖1中頂角為35°，圖2中頂角為145°。
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例5、 皂戶李中學(xué)為美化環(huán)境，計劃在校園的廣場用
的草皮鋪設(shè)一塊一邊長為10
的等腰三角形綠地，請你求出這個等腰三角形綠地的另兩邊長。?
解析：在等腰ΔABC中，設(shè)AB=10
，作CD⊥AB于D，由
，可得CD=6。如下圖，當(dāng)AB為底邊時，AD=DB=5，所以
。?
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如下圖，當(dāng)AB為腰且ΔABC為銳角三角形時，
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，所以
，?
。?
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如下圖，當(dāng)AB為腰且ΔABC為鈍角三角形時，
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，
，?
所以
。?
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提示：三角形的高是由三角形的形狀決定的，對于等腰三角形，當(dāng)頂角是銳角時，腰上的高在三角形內(nèi)；當(dāng)頂角是鈍角時，腰上的高在三角形外。
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例6、在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂線與AC所在直線相交所得的銳角為45°，則底角∠B=____________。
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解析：按照題意可畫出如圖1和如圖2兩種情況的示意圖。
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如圖1，當(dāng)交點在腰AC上時，ΔABC是銳角三角形，此時可求得∠A=45°，所以
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∠B=∠C=
（180°－45°）=67.5°。?
如圖2，當(dāng)交點在腰CA的延長線上時，ΔABC為鈍角三有形，此時可求得
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∠BAC=135°，所以∠B=∠C=
（180°－135°）=22.5°?
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故這個等腰三角形的底角為67.5°或22.5°。
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提示：這里的圖2最容易漏掉，求解時一定要認(rèn)真分析題意，畫出所有可能的圖形，這樣才能正確解題。
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