解決數(shù)學問題的化歸策略
    湖北省隨州市曾都區(qū)草店中學 王厚軍 李華榮
    
    　　在解決某些數(shù)學問題時，我們常采用轉化手段，將待解決的問題歸結為相對容易解決或已有固定解決程式的另一問題，通過對這一問題的解決，得到原問題的解答。這種處理問題的方法就是化歸。它是轉化和歸結的簡稱，是解決數(shù)學問題的一般思想方法。選擇恰當?shù)霓D化手段進行正確有效的化歸是解決問題的關鍵。這里介紹幾種常用的化歸策略。
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    一、尋找恰當?shù)挠成洌▽P系）實現(xiàn)化歸
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    數(shù)學知識的內在聯(lián)系有許多是映射。利用映射，可將待解決的問題轉化為另一問題。
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    1、平面上的點與有序實數(shù)對集合的映射
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    笛卡爾通過建立坐標系，確定了平面上的點與有序實數(shù)對的一一對應關系，把幾何問題轉化為代數(shù)問題，創(chuàng)立了解釋幾何。由此我們可以把判斷點P（6，3）是否在拋物線
    上，變成判斷是否是方程的解；求直線與雙曲線交點問題，變成求方程組解的問題。
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    例1、已知：關于x的一元二次方程的一個根為，且二次函數(shù)的對稱軸是直線，則拋物線的頂點坐標為???????
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    分析??? 根據(jù)方程與函數(shù)的對應關系可知：方程的一個根為，那么，函數(shù)當自變量時，函數(shù)值???? 即點（2，3）在拋物線上；又因為拋物線的對稱軸是直線，則（2，3）為拋物線的頂點。
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    2、代換。變量替換、換元、增量替換、等代換都是特殊的映射。
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    例2、若a、b為互不相等的實數(shù)，且，，則
    的值為???????
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    分析：用變量x替換a、b。即根據(jù)條件的特殊結構，由方程解的定義可知：a、b是方程的兩個不等實根。由韋達定理得，。利用已知條件
    ，把所求代數(shù)式變形，再整體代換
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    例3、已知x、y、z為實數(shù)，且，
    ，求的值
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    分析：方法1?? 增量代換。取x與y的和8的平均值4為標準量，進行增量代換（也稱為均值換元法），設，，則，即
    
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    故；∴ 　　∴
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    方法2??? 變量代換。把已知條件變形，可知：x、y是關于t的一元二次方程……①的兩個根?！?sub>t=　
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    ∵方程①有實根　　∴　△_t≥0?? 則， ∴（以下略）
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    利用代換法解題，關鍵在于根據(jù)問題的結構特征，適當選取能夠以簡馭繁、化難為易的變換，實現(xiàn)問題的轉化。因此，要注意分析問題的結構特征，對已知條件適當變形，同時要善于發(fā)現(xiàn)題目中的特殊結構，挖掘題目中隱含的特殊關系，利用這些特殊條件進行代換。
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    二、轉換語義實現(xiàn)化歸
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    數(shù)學中，每一種數(shù)學語義（概念、關系等），一般都有一種確定的數(shù)學符號（式）表示，但不同的數(shù)學語義可能是由同一種數(shù)學符號（式）表示的。也就是說，一種數(shù)學符號（式），可作不同的語義解釋，如表示a與b差的絕對值，又表示數(shù)軸上a，b兩點的距離。語言是思維的載體，是思維的外部表現(xiàn)形式，同一種數(shù)學語義的內容可以用文字語言、符號語言、邏輯語言、圖形語言、表格等不同的數(shù)學語言形式表示。因此，通過語義轉換，能使一個問題轉化為另一個較簡單明了的問題。
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    1、等價轉換
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    將一種數(shù)學語言翻譯成另一種語言形式；或將一種形式意義翻譯成另一種形式意義，這種以對象“釋”對象，就是等價轉換。如點P在⊙O上（R為⊙O半徑）；兩圓外切（d為圓心距，R、r為兩圓半徑）；原命題等價于逆否命題。
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    2、數(shù)形轉化
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    數(shù)和形反映了事物的兩個方面，數(shù)無形，少直觀；形無數(shù)，難入微。因此，在解決問題時，常要把同一數(shù)學對象進行代數(shù)釋意與幾何釋意，實現(xiàn)“數(shù)”與“形”的語義轉化。也就是說，將數(shù)（量）與（圖）形結合起來進行分析、研究，通過數(shù)的計算去找圖形之間的聯(lián)系，用“數(shù)”的知識解決“形”的問題；根據(jù)條件畫圖形或結合所給圖形去尋找數(shù)之間的聯(lián)系，用“形”的知識解決“數(shù)”的問題，這種數(shù)形結合的思想是解決數(shù)學問題的切入點。
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    例4、△ABC中，AB=AC=4，BD交AC于E，，且CE=1。求（2001年全國初中數(shù)學聯(lián)賽）
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    分析?? 根據(jù)題意，由AB=AC，，可構造一個以A為圓心，AB為半徑的輔圓（如右圖，∠BDC為圓周角），直徑，，由相交弦定理可知，
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    例5、 計算
    
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    分析?? 方法1：將邊長為1的正方形割取一半；第二次再將余下矩形割取一半……依此分割（如圖），可以看出每次割取的部分（矩形）與余下的部分（矩形）面積相等。那么割取的各部分矩形面積之和應等于正方形的面積1減去最后一次余下的矩形面積。即
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    ? ?????……?①
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    方法2：將長為1的線段截取一半；第二次再將余下線段截取一半……依次截?。ㄈ鐖D），這樣每次截取的線段長與余下的線段長相等，則截取的各線段長度之和等于原線段長度1減去最后一次剩余線段的長度（計算如上式①）
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    （本題也可以用換元法來解：設……①?兩邊都乘以2得……②??????? ②-①得
    ）
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    三、一般化與特殊化
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    1、特殊化
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    “特殊”問題往往比“一般”性問題顯得簡單、直觀和具體，容易解決，并且在特殊問題的解決過程中，常常孕育著一般問題的解決方法。因此，在某個數(shù)學問題難以解決時，?？上妊芯克奶厥馇闆r，然后再把解決特殊問題的方法或結果應用、推廣到一般問題上而獲得解決。初中教材中有許多一般性問題是用特殊化法解決的，如圓周角定理的證明，先證明圓心在圓周角一條邊上這種特殊情況，然后把這種證明思路應用到圓心在角的內部、外部的非特殊情況證明上，最后進行歸納，使問題得以解決。
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    例5、如圖甲，正方形ABCD的對角線相交于點O，O又是正方形A₁B₁C₁O的一個頂點，兩個正方形的邊長相等，那么無論正方形A₁B₁C₁O繞點O怎樣轉動，兩個正方形重疊部分的面積，總等于一個正方形面積的（定值），想一想為什么？（新課標版八年級下冊教材第116頁）
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    分析?? 一般情況下，兩個正方形重疊部分是一個四邊形（圖甲陰影部分），不易確定其面積的大小。不妨將繞O旋轉的正方形置于特殊位置（圖乙），此時易得重疊部分（△AOB）的面積是正方形ABCD面積的
    ，余下的問題就是證明在一般情形下（圖甲），重疊四邊形OEAF的面積等于△OAB面積。用割補法，證即可。
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    2、一般化
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    一般化是與特殊化相反的一個過程。有些數(shù)學問題，由于其特殊數(shù)量或位置關系，孤立地考察問題本身，造成我們只見“樹木”不見“森林”，難以解決。這時，要把問題的某些因素或結構形式拓展到一般情況，借助一般化的結論或方法，使問題順利解決。
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    例6、計算
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    分析?? 數(shù)字較大，運算繁，不易發(fā)現(xiàn)隱含的一般性質，設，則
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    原式
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    運用一般化策略解決問題，要仔細觀察，分析題目的特征，從中找出能使命題一般化的因素，以便把特殊命題拓廣為包含這一特殊情況的一般問題，同時要求這一問題的解決應包含著特殊問題的解決。
    
    

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