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        2012中考數學考點 解證比例線段

        字號:


            
        巧用比例性質,解證比例線段
            
        江蘇省東臺中學實驗初中 周禮寅
            

              比例的三條性質,是相似形中證明比例線段問題的基本依據,若能靈活加以應用,則可減少思維障礙,迅速打開解題突破口。
            1        巧用基本性質
               “三點形法”是證明線段等積的最常用也是最有效的方法。它是根據比例的基本性質,將等積式轉化為比例式,找出其中包含的幾個字母,是否存在可由“三點”定出的兩個相似三角形。
                例1、如圖1,在Rt△ABC中,∠BAC=,AB=AC,D為BC中點,E為AC上一點,點G在BE上,連結DG并延長交AE于F,若∠FGE=,(1)求證:BD·BC=BG·BE;(2)求證:AG⊥BE;(3)若E為AC的中點,求EF∶FD的值。
            
            分析:(1)將待證的等積式化為比例式:,橫看:比例式的兩個分子為B、D、E三點,兩個分母為B、G、C三點,均不能構成相似三角形;豎看:比例式左端BD、BG構成△BDG,右端BE、BC構成△BEC,依“三點形法”只需證△BDG∽△BEC;(2)、(3)分析略。
            在運用“三點形法”時,首先要化等積式為比例式,然后再橫看看、豎看看,找到相似三角形進而證明。但有時將等積式化為比例式后無法再用“三點形法”,此時還需運用以下三種常用的轉化方法進行證明:
            1.1  等線段轉化法
            例2、如圖2,△ABC中,AB=AC,AD是中線,P為AD上一點,過點C作CF∥AB,延長BP交AC于E,交CF于F,求證:=PE·PF
            
            分析:線段BP、PE、PF在同一條直線BE上,無法用相似三角形來證明。連結PC,可得BP=PC,故可用PC來替換BP。
            證明:連結PC,
            ∵△ABC中,AB=AC,AD是中線
            ∴AP平分∠BAC ,∠BAP=∠CAP
               ∴△BAP≌△CAP,
            ∴BP=CP,∠ABP=∠ACP
            又∵CF∥AB
            ∴∠ABP=∠F
            ∴∠ACP=∠F
            ∴△PCF∽△PEC
            ,=PE·PF
            而 BP=CP
            =PE·PF
            將某線段用與其相等的線段替換,以便能構成相似三角形,這是證明線段比例式和等積式的基本方法之一。
            1.等積轉化法
            例3、如圖3,在△ABC中,AD⊥BC于D,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,求證:AE·AB=AF·AC
            
                分析:待證結論中的線段雖然能構成△ABC與△AEF,但不能找到相似條件。注意到題目中的垂直關系較多,聯系課本中的“母子相似形”這一基本圖形的有關結論,可將待證結論轉化。
            證明:
            ∵AD⊥BC, DE⊥AB
            ∴Rt△ADB∽Rt△AED
            ,=AB·AE
              同理,=AF·AC
            ∴AE·AB=AF·AC
            “母子相似形”這一基本圖形是教材中的例題,它的基本結論有如下幾個:如圖,在Rt△ABC中CD⊥AB于D,則有
            
            ① △ABC∽△ACD∽△CBD
            ②  =BD·AD,
            =AD·AB,
            =BD·AB
            ③ CD·AB= BC·AC
            要特別注意這些結論的靈活運用。
            1.等比轉化法
            例4、已知如圖4,CD是Rt△ABC斜邊AB上的高,E為BC的中點,ED的延長線交CA于F,求證:AC∶BC=DF∶CF
            
                分析:將結論改寫為:,橫看,分子不能構成兩個三角形;豎看,雖依“三點形法”有△ABC與△DCF,但它們顯然不相似,只能另尋突破口。注意到“母子相似形”這一重要的基本圖形,有,故只需證,即證△FDC∽△FAD。
                證明:∵在Rt△ABC中,CD⊥AB
            ∴∠B=∠ACD,
            ∵△ACD∽△CBD
            
                又∵E為Rt△CDB中BC的中點
              ∴DE=BE=CE,∠B=∠EDB=∠ADF
              ∴△FDC∽△FAD
               ∴
                ∴   即AC∶BC=DF∶CF
            以上幾種方法都是利用比例的基本性質對待證結論進行的等價轉化,這種轉化是相似形中最常用的一種變形。
            2        巧用合比性質
                當待證結論經轉化后,其形式與合比性質相似,這時應再次運用合比性質將結論進一步轉化,直至找到相似三角形。
            例5、已知如圖5,在△ABC中,AD為∠BAC的角平分線,EF是AD的垂直平分線且交AB于E,交BC的延長線于F,求證:DC·DF=BD·CF
            
            分析:欲證:DC·DF=BD·CF
            即證:
            即證:
            若連結AF,則AF=DF
            故即證:
            只需證△FAB∽△FCA
            證明:
            連結AF,則AF=DF,∠FAD=∠FDA
            ∵AD平分∠BAC
            ∴∠BAD=∠CAD
            又∵∠FAD=∠CAD+∠CAF,∠FDA=∠B+∠BAD
            ∴∠B=∠CAF
            ∴△FAB∽△FCA,以下證明略。
            3        巧用等比性質
            例6、如圖6,I是△ABC三個內角平分線的交點,AI交對邊于D,求證:
            
            分析:觀察等式右邊,可用合比性質或等比性質轉化。但若用合比性質進行轉化,左邊不易轉化,故考慮用等比性質轉化待證結論。
            欲證:
            即證:
            由于BI、CI分別平分∠ABC、∠ACB,
            故有:
            由等比性質,得證。
            注:本題證明過程中應用了角平分線的性質,即如圖7,若AD平分∠BAC,則
            
            

            
            (圖7)
            
            
             
            
         
        相似三角形中比例線段的證明方法很多,也很靈活。我們只有在平時學習中主動探究,合作交流,注重總結,舉一反三,這樣才能真正做數學學習的主人。
             
            
            
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