一道例題復(fù)習(xí)的四步曲
山東省博興縣店子鎮(zhèn)第一中學(xué) 崔慶祥 劉紅梅
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程是一個(gè)不斷地探索和思考的過(guò)程。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，是單純地給學(xué)生現(xiàn)成的知識(shí)，還是為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一定的問(wèn)題情景，使學(xué)生有更多的機(jī)會(huì)去探索和思考，以便發(fā)揮其潛在能力，這是數(shù)學(xué)教學(xué)改革的核心問(wèn)題，一般地說(shuō)，數(shù)學(xué)教科書(shū)中的例題是學(xué)習(xí)的范例，學(xué)生要通過(guò)例題的學(xué)習(xí)，了解例題所代表的一類(lèi)知識(shí)的規(guī)律和理解方法。但這并不是說(shuō)，只要學(xué)生學(xué)會(huì)了書(shū)本上的例題就可以自然而然地解決與之相似的問(wèn)題。要能舉一反三，就還需要學(xué)生有一個(gè)深入思考的過(guò)程，甚至要經(jīng)過(guò)若干次錯(cuò)誤與不完善的思考，這樣才能達(dá)到一定的熟練程度。這更需要學(xué)生把書(shū)本上的知識(shí)內(nèi)化為自己的知識(shí)。而教材又是重要的教學(xué)資源，我從開(kāi)發(fā)教學(xué)資源的效益考慮，開(kāi)放教材例題，使例題更富有課改氣息，更富有挑戰(zhàn)性，也激活了教材。
一、復(fù)習(xí)鞏固：
現(xiàn)在就（人民教育出版社出版的八年級(jí)上冊(cè)《數(shù)學(xué)》）第131頁(yè)探究進(jìn)行剖析：
如圖
14.2—8（1），要在燃?xì)夤艿?/span>L上修建一個(gè)泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣。泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？
? 
??
思路分析：若
A、B兩點(diǎn)在直線a的異側(cè)，同學(xué)們能很自然地想到連結(jié)AB，交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)。但因?yàn)楸绢}中A、B兩點(diǎn)位于直線a的同側(cè)，如何將之轉(zhuǎn)化為異側(cè)呢？易聯(lián)想到全等三角形之中的“翻折”—“軸對(duì)稱(chēng)”。若作出其中任意一點(diǎn)A，A（或B）關(guān)于直線a的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′（或B′），交直線a于點(diǎn)M，則有MA=MA′（MB=MB′），故依次轉(zhuǎn)化就可解答此題。
作法：如圖2：（1
）作A點(diǎn)關(guān)于直線a的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′；（2）連A′B，交直線a于M點(diǎn)。則M點(diǎn)就是所求作的點(diǎn)。
證明：如圖3：在直線a上任取一點(diǎn)N，連結(jié)AN、BN、A′N、AM。
因?yàn)?/span>A、A
′兩點(diǎn)關(guān)于直線a對(duì)稱(chēng)，所以AM=A′M，A′N=AN。
在△A′BN中，BN+A′N＞A
′B，所以AN+ BN＞AM+BM。即AM+BM最小。
點(diǎn)評(píng)：對(duì)于這樣的極值問(wèn)題，學(xué)生雖已接觸，但難度較大，主要在兩個(gè)方面。一是遇到要找出某條線段（或線段的和）最短，無(wú)從下手，再就是證明中要另選一點(diǎn)，學(xué)生想不到，不會(huì)用。教學(xué)時(shí)老師要注意解決好這兩個(gè)難點(diǎn)問(wèn)題。
二、旁敲側(cè)擊：
如圖1在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A（1，2），B（3，4），P為x
軸上一點(diǎn)，且點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離和最短，你能求出點(diǎn)P的坐標(biāo)嗎？
??? 
?
思路分析：因?yàn)辄c(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離和最短，根據(jù)例題可知P點(diǎn)在經(jīng)過(guò)A點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′和點(diǎn)B的直線上，并且是直線與X軸相交的交點(diǎn)，怎樣求點(diǎn)
P的坐標(biāo)，就轉(zhuǎn)化成一次函數(shù)的內(nèi)容去解決。結(jié)合例題把問(wèn)題進(jìn)行了轉(zhuǎn)化。
解法：因?yàn)辄c(diǎn)A（1、2）關(guān)于X軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為A′（1，-2
），
設(shè)過(guò)A′、B的解析式為y=kx+b，∴
? 解之得
? ∴y=3x-5
則直線y=3x-5與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（
，0）。點(diǎn)評(píng)
:此題除了與例題有關(guān)外,還與點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)和一次函數(shù)的內(nèi)容有關(guān)。只有通過(guò)前后知識(shí)的結(jié)合，才能順利完成這道題，所以考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。
三、例題拓展：
如圖1所示，河的同側(cè)有A、B兩個(gè)村莊，要把
A處的產(chǎn)品運(yùn)往B處，并規(guī)定要走a千米的河岸路，要使路線最短，問(wèn)河邊碼頭應(yīng)建在何處？
?? 
??
指點(diǎn)迷律：如圖2所示，設(shè)碼頭分別為M、N，則從A到B的路線為AMNB，不妨假設(shè)先走河岸路，沿河岸方向?qū)?/span>A平移A′，使A A′=a，作B關(guān)于河岸L的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，連接A′B′與岸L交于點(diǎn)N，再將A′N平移回AM，則AMNB的長(zhǎng)為滿(mǎn)足條件的最短路線。顯然，沿L平移B到B′，使B B′=a，類(lèi)似地可得建碼頭的另一種方案。
解：如圖3所示。作法：1
。過(guò)點(diǎn)A作AE∥L，在AE上截取A A′=a；2。作點(diǎn)B關(guān)于L的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，連接A′B′，交L于點(diǎn)N；3。過(guò)A點(diǎn)作AM∥A′B′，交L于點(diǎn)M。則點(diǎn)M、N即為所求。
探究交流：本題涉及了兩種變換，即平移變換和軸對(duì)稱(chēng)變換，其實(shí)質(zhì)是相等的邊或角之間的轉(zhuǎn)化，本題運(yùn)用了一種探究問(wèn)題的方法，先假設(shè)圖形已作出，探究出解題思路后，再去解題。
四、例題應(yīng)用：
某同學(xué)打臺(tái)球，想通過(guò)擊主球，使主球B撞擊桌邊MN后返回?fù)糁胁是?/span>A
，請(qǐng)?jiān)趫D上標(biāo)明，使主球B撞在MN上，哪一點(diǎn)才能達(dá)到目的？
思路分析：設(shè)主球撞擊后與MN交于P點(diǎn)，為使反彈后擊中
A球，必有∠APM=∠BPN，為此，只要作B關(guān)于MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，連接A B′與MN交點(diǎn)即P點(diǎn)。
作法：作主球B
關(guān)于桌邊MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，連接A B′交MN于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)。
點(diǎn)評(píng)：本題是實(shí)際問(wèn)題，但如何把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題是解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)建，這就考查如何運(yùn)用例題的能力。
例題的作用不單是知識(shí)點(diǎn)的示范應(yīng)用,有大量潛在的數(shù)學(xué)功能需要開(kāi)發(fā),挖掘這些潛在功能的過(guò)程,正是學(xué)生獲得知識(shí)和技能的關(guān)鍵。通過(guò)提出問(wèn)題和解決問(wèn)題,擴(kuò)大解題的“武器庫(kù)”,進(jìn)行這方面的誘導(dǎo)和培養(yǎng),可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣, 培養(yǎng)和提高學(xué)生的探索能力和創(chuàng)新精神。
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