一元二次方程根的判別式的綜合應(yīng)用
    ?
    四川省武勝縣中心鎮(zhèn)小學(xué)初中部　曹建局
    
    　　一、知識要點(diǎn)：
    ?
    1.? 一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)
    的根的判別式Δ=b²-4ac。
    ?
    定理1? ax²+bx+c=0(a
    ≠0)中，Δ＞0方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根.
    ?
    　　定理2? ax²+bx+c=0(a≠0)中，Δ=0方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根.
    ?
    　　定理3? ax²+bx+c=0(a≠0)
    中，Δ＜0方程沒有實(shí)數(shù)根.
    ?
    　　2、
    根的判別式逆用（注意：根據(jù)課本“反過來也成立”）得到三個(gè)定理。
    ?
    　　定理4? ax²+bx+c=0(a≠
    0)中，方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根Δ＞0.
    ?
    
    　　定理5? ax²+bx+c=0(a≠0)中，方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根Δ＝0.
    ?
    　　定理6? ax²+bx+c=0(a≠0)
    中，方程沒有實(shí)數(shù)根Δ＜0.
    ?
    
    　　注意：（1）再次強(qiáng)調(diào)：根的判別式是指Δ=b²-4ac。（2）使用判別式之前一定要先把方程變化為一般形式，以便正確找出a、b、c的值。(3)如果說方程有實(shí)數(shù)根，即應(yīng)當(dāng)包括有兩個(gè)不等實(shí)根或有兩相等實(shí)根兩種情況，此時(shí)b²-4ac≥0切勿丟掉等號。(4)根的判別式b²-4ac的使用條件，是在一元二次方程中，而非別的方程中，因此，要注意隱含條件a≠0.
    ?
    　　二.根的判別式有以下應(yīng)用：
    ?
    ①? 不解一元二次方程，判斷根的情況。
    ?
    例1．? 不解方程，判斷下列方程的根的情況：
    ?
    (1)???????? 2x
    ²+3x-4=0　(2)ax²+bx=0(a≠0)
    ????
    　　　解：(1) 2x²+3x-4=0
    ?
    　　　　　　a=2, b=3, c=-4,
    ?
    　　　　　∵Δ=b²-4ac=3²-4×2×(-4)=41>0
    ?
    　　∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。
    ?
    　　　(2)∵a≠0, ∴方程是一元二次方程，此方程是缺少常數(shù)項(xiàng)的不完全的一元二次方程，將常數(shù)項(xiàng)視為零，
    ?
    　　　　∵Δ=(-b)
    ²-4·a·0=b²,
    ?
    　　　　　∵無論b取任何關(guān)數(shù)，b²均為非負(fù)數(shù)，
    ?
    　　　　　∴Δ≥0，　　故方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根。
    ?
    ?、?span>? 根據(jù)方程根的情況，確定待定系數(shù)的取值范圍。
    ?
    　　例2．k的何值時(shí)？關(guān)于x的一元二次方程x²-4x+k-5=0（1）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）沒有實(shí)數(shù)根；
    ?
    分析：由判別式定理的逆定理可知（1）Δ＞0；（2）Δ=0；（3）Δ＜0；
    ?
    　　解：Δ=(-4)²-4·(k-5)=16-4k+20=36-4k
    ?
    　?。?）∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
    ?
    　　　∴Δ＞0，即36-4k＞0.解得k
    ＜9
    ?
    　　?。?）∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
    ?
    　　　　　∴Δ
    =0，即36-4k=0.解得k=9
    ?
    　　（3）∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
    ?
    　　∴Δ<0，即36-4k<0.解得k>9
    ?
    ③? 證明字母系數(shù)方程有實(shí)數(shù)根或無實(shí)數(shù)根。
    ?
    　　例3．求證方程(m²+1)x²-2mx+(m²+4)=0沒有實(shí)數(shù)根。
    ?
    
    　　分析：先求出關(guān)于x的方程的根的判別式，然后只需說明判別式是一個(gè)負(fù)數(shù)，就證明了該方程沒有實(shí)數(shù)根。
    ?
    　　證明：　　Δ=(-2m)²-4(m²+1)(m²+4)
    ?
    　　　=4m²-4(m⁴+5m²+4)
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    　　　=-4m⁴-16m²-16=-4(m⁴+4m²+4)
    ?
    　　　=-4(m²+2)²
    ?
    
    　　∵不論m取任何實(shí)數(shù)(m²+2)²>0,
    ?
    　　∴ -4(m²+2)²<0, 即Δ<0.
    ?
    　　∴
    關(guān)于x的方程(m²+1)x²-2mx+(m²+4)=0沒有實(shí)數(shù)根。
    ?
    　　小結(jié)：由上面的證明認(rèn)清證明的格式歸納出證明的步驟：
    ?
    　?。?）計(jì)算Δ（2）用配方法將Δ恒等變形（3）判斷Δ的符號（4）結(jié)論.其中難點(diǎn)是Δ的恒等變形，一般情況下配方后變形后為形如：a²,a²+2,(a²+2)², -a
    ², -(a²+2)²的代數(shù)式，從而判定正負(fù)，非負(fù)等情況。
    ?
    ④? 應(yīng)用根的判別式判斷三角形的形狀。
    ?
    
    　　例4．已知：a、b、c為ΔABC的三邊，當(dāng)m>0時(shí)，關(guān)于x的方程c(x²+m)+b(x²-m)-2ax=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。求證ΔABC為RtΔ。
    ?
    　　證明：整理原方程：
    ?
    
    　　方程c(x²+m)+b(x²-m)- 2ax =0.
    ?
    　　整理方程得：cx²+cm+bx²-bm-2ax =0
    ?
    　　(c+b)x²-2ax +cm-bm=0
    ?
    　　根據(jù)題意：
    ?
    
    　　∵方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
    ?
    　　∴Δ=(-2a)²-4(c+b)(cm-bm)=0
    ?
    　　　4ma²-4(c²m-bcm+bcm-b²m)=0
    ?
    　　　ma²-c²m+b²m=0
    ?
    　　∴Δ=m(a²+b²-c²)=0
    ?
    
    　　又∵ m>0,　　∴a²+b²-c²=0　　∴a²+b²=c²　　又∵a,b,c為ΔABC的三邊，　　∴ΔABC為RtΔ。
    ?
    ⑤?? 判斷當(dāng)字母的值為何值時(shí)，二次三項(xiàng)是完全平方式
    ?
    例5、（1）若關(guān)于a的二次三項(xiàng)式16a²+ka+25是一個(gè)完全平方式則k的值可能是（ ）;
    ?
    　　（2）若關(guān)于a的二次三項(xiàng)式ka²+4a+1是一個(gè)完全平方式則k的值可能是（）;
    
    ?分析：可以令二次三項(xiàng)等于0，若二次三項(xiàng)是完全平方式，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。即Δ
    =0
    ?
    解：（1）令16a²+ka+1=0
    ?
    
    　　　　∵方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
    ?
    ∴Δ=k²-4×16×25=0
    ?
    ∴k=+40或者-40
    ?
    （2）令ka²+4a+15=0
    ?
    　　　　∵方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ=16-4k=0? ∴k=4
    ?
    ⑥? 可以判斷拋物線與直線有無公共點(diǎn)
    ?
    例
    6:當(dāng)m取什么值時(shí)，拋物線與直線y=x＋2m只有一個(gè)公共點(diǎn)？
    ?
    解:列方程組
    消去y并整理得x²+x-m-1=0
    ?
    ??
    ，∵拋物線與直線只有一個(gè)交點(diǎn)，
    ?
    ∴Δ＝0，即　4m+5=0????? ∴
    ????
    ?
    (? 說明：直線與拋物線的交點(diǎn)問題也可歸納為方程組的解的問題。)
    ?
    ⑦?
    可以判斷拋物線與x軸有幾個(gè)交點(diǎn)
    ?
    分析：拋物線y=ax²+bx+c與x軸的交點(diǎn)? （１）當(dāng)y=0時(shí)，即有ax²+bx+c=0，要求x的值，需解一元二次方程ax²+bx+c=0?？梢姡瑨佄锞€y=ax²+bx+c與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是由對應(yīng)的一元二次方程ax²+bx+c=0的根的情況確定的，而決定一元二次方程ax²+bx+c=0的根的情況的，是它的判別式的符號，因此拋物線與x軸的交點(diǎn)有如下三種情形：??
    ? ①? 當(dāng)時(shí)，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，若此時(shí)一元二次方程ax²+bx+c=0的兩根為x₁、x₂，則拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（x₁，0）（x₂，0）。???
    ?②當(dāng)時(shí)，拋物線與x軸有唯一交點(diǎn)，此時(shí)的交點(diǎn)就是拋物線的頂點(diǎn)，其坐標(biāo)是（
    ）。???
    ?③當(dāng) 時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)。
    ?
    
    　　例7、判定下列拋物線與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：
    ?
    ? 　　（１）
    　　　（２）?　　　（３）
    ?
    　　? 解：（１）Δ＝16-12=4>0??? ∴拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)。
    ?
    ?????　　　 （２）Δ＝
    36-36=0????? ∴拋物線與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)。
    ?
    ????　　　? （３）Δ＝4-16=-12<0?? ∴拋物線與
    x軸無公共點(diǎn)。
    ?
    　　例8、已知拋物線
    ?
    　　? （１）當(dāng)m取什么值時(shí)，拋物線和x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)？
    ?
    　　? （２）當(dāng)m取什么值時(shí)，拋物線和x
    軸只有一個(gè)公共點(diǎn)？并求出這個(gè)公共點(diǎn)的坐標(biāo)。
    ?
    ?　　 （３）當(dāng)m取什么值時(shí)，拋物線和x軸沒有公共點(diǎn)？
    ?
    
    　　解：令y=0，則　　　Δ＝4-4(m-1)= -4m+8
    ?
    ?　　 ??(1)∵拋物線與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，　∴Δ>0，即 – 4m+8>0?????? ∴m<2
    ?
    ?　　?? (2)∵拋物線和x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，　∴Δ＝0，即 –4m+8=0??? ∴m=2
    ?
    ???????　　 當(dāng)m=2時(shí)，方程可化為，解得x₁=x₂= -1，∴拋物線與x軸公共點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,0）。
    ?
    　　??? (3)∵拋物線與x軸沒有公共點(diǎn)，　∴Δ<0，即?。?/span>4m+8<0
    ，　∴m>2
    ?
    ?????? ∴當(dāng)m>2時(shí)，拋物線與x軸沒有公共點(diǎn)。
    ?
    ⑧? 利用根的判別式解有關(guān)拋物線（Δ>0）與x軸兩交點(diǎn)間的距離的問題.
    ?
    　　分析:拋物線
    （Δ>0）與x軸兩交點(diǎn)間的距離，是對應(yīng)的一元二次方程 的兩根差的絕對值。它有以下表示方法：
    ?
    ?　　?例9: 求當(dāng)a為何值時(shí)
    ?二次函數(shù)?圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離是3。
    ?
    ?　　
    解：令y=0，得方程，設(shè)這個(gè)一元二次方程的兩根分別為x₁和x₂，則　由　得，即。進(jìn)而得　　∴a=或a=。??? ∴當(dāng)時(shí)，圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)間的距離是3。
    
    

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